例谈基本不等式的应用

<正>运用基本不等式求最值是高中数学求最值的基本方法之一.在运用基本不等式求最值时应注意以下三个方面:(1)表达式中含变量的各项均为正;(2)表达式中含变量的各项之和(或积)应为定值;(3)表达式中含变量的各项可以相等.这三者缺一不可,下面通过2013年的高考题予以说明,仅供参考.     

用均值不等式求最值应注意的问题

<正>运用均值不等式求最值是中学数学求最值的基本方法之一,但有些同学在运用均值不等式求最值时经常出错,究其原因是没有弄清以下几点:一是表达式中含变量的项均为正;二是表达式中含变量的项之和(积)是定值;三是表达式中含变量的项可以相等.兹例说如下,供参考.一、注意化正如果含变量的项是负的,可通过添加负号,将其转化为正,以便于利用均值不等式及不等式的性质求解.     

用基本不等式求最值的常用技巧

运用基本不等式求最值,是中学数学中求最值的基本方法之一.众所周知用基本不等式求最值时,必须满足三个条件:(1)表达武中含变量的项是正的;(2)表达武中含变量的项之和(积)是定值;(3)表达式中含变量的项能够相等.以上三个条件通常简称为一正二定三相等.     

一类基本不等式题型的最值

本文通过具体例题总结了基本不等式求一类题型（x+y）（a/x+b/y）（x,y,a,b都是正数）的最值.苏教版必修五给出了基本不等式的形式:ab^1/2≤（a+b）/2（a≥0,b≥0）,当且仅当a=b时取等号,其变形形式有a+b≥2ab^1/2基本不等式的一个运用就是求最值:①当a≥0,b≥0时,若和a+b为定值P,则积ab有最大值ab≤p²/4,当且仅当a=b时取等号;②当a≥0,b≥0时,若积ab为定值S,则和a+b有最小值a+b≥2S^1/2,当且仅当a=b时取等号.我们来看下面3个问题:问题1:已知x,y为正数,求（x+y）（1/x+4/y）的最小值.问题2:已知z,y为正数且满足1/x+1/y=2,求x+2y的最小值.     

数形结合 独辟蹊径——例谈不等式的一种证明方法

<正>证明不等式的方法有很多,有基本不等式法、函数法等.本文从一个独特的视角,采用全新的方法来证明不等式,即数形结合法,透过不等式的表面发现其几何意义,构造相应的几何图形来阐述不等式,将抽象问题具体化,直观化.题目设a>0,b>0,证明不等式2ab/(a+b)≤(ab)^(1/2)≤(a+b)/2≤((a(1/2)≤(a+b)/2≤((a²+b2+b²)/2)2)/2)^(1/2),当且仅当a=b时等号成立.思路这是2017年苏州市的一道高考模     

例谈基本不等式的应用

运用基本不等式求最值是高中数学求最值的基本方法之一．在运用基本不等式求最值时应注意以下三个方面：（1）表达式中含变量的各项均为正;（2）表达式中含变量的各项之和（或积）应为定值;（3）表达式中含变量的各项可以相等．这三者缺一不可,下面通过2013年的高考题予以说明,仅供参考．     

基本不等式的别证及其它

基本不等式设a≥0,b≥0,则a+b/2≥√ab(当且仅当a=b时等号成立).最值原理设x>0,y>0.(1)若x+y=S(定值),则当且仅当x=y时,xy取得最大值S²/4;(2)若xy=P(定值),则当且仅当x=y时,x+y取得最大值2√P.     

基本不等式中等号成立的检验功能

<正>基本不等式包含两个不等式:(1)若a,b∈R,则a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取"="号).(2)a,b为正实数,则槡(ab)^(1/2)≤a+b2(当且仅当a=b时取"="号).但是,在平时的教学中,发现学生不会灵活运用这些不等式.其实,只要我们合理利用它的检验功能,在解题过程中必然能发现自己所犯的错误.     

利用基本不等式等号成立条件求解竞赛题

正基本不等式:1/2(ab)≤(a+b)/2(其中a≥0,b≥0)当且仅当a=b时等号成立,当1/2(ab)=(a+b)/2,此时即1/2(1/2a-1/2b)2=0,可看出a=b.a=b一方面可看作不等式成立的特殊情况,另一方面也可看作恒等式成立的条件.基本不等式等号成立的条件有两个:①两数非负,②两数相等,这就说明基本不等式等号成立对条件有着较强的要求.反过来如果基本     

高考基本不等式学习感悟

<正>在学习过程中,同学们会经常遇到不等式问题,经过归纳总结以及分析感悟,我觉得对于高中阶段的不等式问题,只要掌握了基本不等式的性质及解法,其他问题都会迎刃而解。1.基本不等式:(1)a,b∈R时,a²+b2+b²≥2ab,当且仅当a=b时取等号;其等价形式ab≤a2≥2ab,当且仅当a=b时取等号;其等价形式ab≤a²+b2+b²/2,当且仅当a=b时取等号。     

一个简单不等式的妙用

<正>本文先给出基本不等式的一个等价变形,再举例说明它的广泛应用.结论已知a、b、λ∈R,且b(a+b)> 0,则有ab≥-λ²+(λ+1)2+(λ+1)²a/(a+b),(*)当且仅当a=λb时取等号.证明由不等式a2a/(a+b),(*)当且仅当a=λb时取等号.证明由不等式a²+λ2+λ²b2b²≥2λab,得a2≥2λab,得a²≥2λab-λ2≥2λab-λ²b2b².两边同时加上ab并整理,得a(a+b)≥b[(2λ+1) a-λ2.两边同时加上ab并整理,得a(a+b)≥b[(2λ+1) a-λ²b].再两边同时     

巧用不等式 速解物理题

不等式定理之一:如果a、b都为正数,那么(a b)/2≥ab~(1/ab)(当且仅当a=b时,取“=”号)。该不等式表明:变量a、b,当a＞0,b＞0时,若a b=常数,则在a=b     

求可化y=x a/x b型函数的最值

对于求函数y=x a/x b(a>0,a、b均为常数)的最值,当x>0时,可利用均值不等式求其最值,当条件不具备时,可利用函数y= x a/x b的单调性求最值.我们利用函数单调性定义或导数知识可知该函数在(-∞,-a~(1/2)]与[a~(1/2), ∞)上为增函数,在[-a~(1/2),0)与(0,a~(1/2)]上为减函数,该数学模型渗透在多种求函数的最值问题之中,在高考题中较为多见,下面     

均值不等链的探究

<正>对a,b∈R*,a+b2≥ab(当且仅当a=b时等号成立),此不等式是证明其他相关不等式的基础,因此此不等式叫做基本不等式.基本不等式是每年高考的热点,且常考常新.考试大纲对基本不等式的教学要求是掌握基本不等式及其变形,了解其证明过程,会用其解决简单的求最值问题.     

一个最值定理的研究性学习

在高中数学的《不等式》一章有这样一个最值定理：已知a、b是正数，(1)如果和a b是定值s，那么当a=b时，积ab有最大值1/4s^2．(2)如果积ab是定值p，那么当a=b时，和a b有最小值2b．     

基本不等式求最值中“二定”的解法探究

<正>不等式"ab(1/2)≤(a+b)/2(a≥0,b≥0)"被称为基本不等式,它的最主要作用是求最值。利用基本不等式求最值时必须满足三个条件,即"一正,二定,三相等"。其中"一正"和"三相等"较好把握,"二定"则是求最值过程中的"拦路虎"。下面对如何解决"二定"问题进行一些方法总结。方法一:配凑法     

用好基本不等式的关键三步

运用基本不等式(a+b)/2≥(ab)~(1/2)(a>b,b>0)求函数的最值(值域)是一种常用的、重要的方法,而处理好一正、二定、三相等这关键的三步又是用好基本不等式的保证.第一步(一正):基本不等式成立的前提条件是各项恒为正,因此首先要判断运用基本不等式的两项是否为     

巧用均值凑数证明一类不等式

高中教材中的基本不等式(a b)/2≥ab~(1/ab)(a≥0,b≥0)是证明不等式时经常要用到的,取等号的条件是“a=b”,我们称之为“元等”。若对于a b＝p(定值)当且仅当a=b＝p/2(定值)时,ab~(1/ab)才取得最大值。利用这一结论,我们可以证明一类不等式:     

浅谈利用a b≥2(ab)~(1/2)(a、b∈R~ )求最值

不等式a b≥2ab(a、b∈R )(当且仅当a=b时等号成立)a b2≥ab(a、b∈R )(当且仅当a=b是等号成立),其中a b2、ab分别是a与b的算术平均数、几何平均数,故简称其为“均值”不等式或“均值”定理.另外均值不等式可推广为三个(或多个)变元的形式,即:a b c≥33abc(a、b、c∈R )(当且仅当a=b=c时等号成立)a1 a2 a3 … an≥na1a2a3…an(a1,a2,a3,…,an∈R )(当且仅当a1=a2=a3=…=an时等号成立)均值不等式的功能除用于比较数的大小及证明不等式外,主要用于求函数的最值,在使用均值不等式求最值时必须具有三个缺一不可条件,即为:一正:诸元皆正;二定:…     

由等差中项引出的若干性质及其应用

众所周知,a+b=2A=a,A,b成等差数列,其中A叫做a和b的等差中项.由不等式的基本性质及基本不等式,不难得到如下若干性质:(证明较简单,略.) (1)当a+b=2A时,可设a=A-d,b=A+d; (2)A≥ab~(1/ab);(a,b∈R+,当且仅当a=b时取等号.) (3)1/A2≤1/ab;