一道焦半径拓展题的探究

<正>一、问题的提出如图1,在椭圆x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)中,F_1、F_2分别是左、右焦点,点P是椭圆上任一点,对于焦点△PF_1F_2中的两条焦半径PF_1,PF_2,现有的研究已比较深入,我考虑延长PF_1交椭圆于点Q,延长PF_2交椭圆于点M,把两条焦半径的问题拓展为四条焦半径PF_1,PF_2,QF_1,MF_2的问题.由于点P是动点,所以     

焦半径公式应用类型探究

<正>焦半径公式:已知F1,F2是椭圆x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)的左、右焦点,P(x_0,y_0)是椭圆上一点,则|PF_1|=a+ex_0,|PF_2|=a-ex_0。证明:椭圆的左准线方程为x=-a2=1(a>b>0)的左、右焦点,P(x_0,y_0)是椭圆上一点,则|PF_1|=a+ex_0,|PF_2|=a-ex_0。证明:椭圆的左准线方程为x=-a²/c。由椭圆的第二定义,得|PF_1|/(x_0+a2/c。由椭圆的第二定义,得|PF_1|/(x_0+a²/c)=c/a,即     

对一道高考题的探究

<正>2015年高考四川卷理科第20题是高考试题中考察圆锥曲线的典型类型.该题内涵丰富,具有进一步研究的价值.本文通过"特殊到一般"的归纳和"类比"思想对其展开了一系列的探究.一、试题再现如图1,椭圆E:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)的离心率是     

对一类特殊的椭圆焦点三角形的研究

<正>引例已知F_1,F_2分别为椭圆(x²)/6+(y2)/6+(y²)/2=1的左,右焦点,在椭圆上是否存在一点P,使|OP|=|OF_1|?若存在,求点P的坐标,并求∠OF_(1)P的大小;若不存在,说明理由.设点P为椭圆(x2)/2=1的左,右焦点,在椭圆上是否存在一点P,使|OP|=|OF_1|?若存在,求点P的坐标,并求∠OF_(1)P的大小;若不存在,说明理由.设点P为椭圆(x²)/(a2)/(a²)+(y2)+(y²)/(b2)/(b²)=1(a>b>0)上(除长轴的两个端点外)任意一点,F_1,F_2为椭圆的两焦点,称△F_(1)PF_2为椭圆的焦点三角形.特别地,若∠F_(1)PF_2为直角时,不妨称     

一道求椭圆离心率问题的多角度分析

<正>求椭圆的离心率的思路就是构造一个a,b,c的方程,然后化简整理即可得。而求离心率的取值范围就属于一类较难问题了,其难点在于需要发现一个或多个限制a,b,c的不等式,即要构造一个关于a,b,c的不等式或不等式组。例题已知F_1,F_2是椭圆x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)的左右焦点,P是椭圆上一点,∠F_1PF_2=90°,求椭圆离心率的取值范     

椭圆焦点三角形的性质及其巧用

以椭圆上一点与椭圆两焦点为顶点的三角形叫椭圆焦点三角形.它具有下面的一些性质.若椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1(a>b>)中,F_1、F_2是两焦点,P为椭圆上任一点,∠PF_1F_2=α,∠PF_2F_1=β,e为离心率,则     

顺应“三新”趋势探索变式教学模式——数学变式征集活动解析几何专题试题选登

<正>【精选变式题组】【母题1】(2022·江西余干一中)已知⊙O的方程为x²+y²=4,过M(4,0)的直线与⊙O交于A,B两点,则弦AB的中点P的轨迹方程为____.【变式1】(知识变式)将母题中的“圆”换为“椭圆”已知椭圆C的方程为x²/4+y²=1,     

椭圆弦焦角的几个结论及应用

设 F_1、F_2 是椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1(a>b>0)的焦点,过 F_1、F_2的弦交椭圆于 P 点,称∠F_1PF_2为椭圆的弦焦角,如图。设∠F_1PF_2=2θ,则有下列结论.结论1|PF_1||PF_2|cos~2θ=b~2.证明:在△F_1PF_2中,由余弦定理|PF_1|~2 |PF_2|~2-     

２００１年上海高考数学试题（１８）题拓广

2001年上海高考数学试题(18)题:设F_1,F_2为椭圆9/x~2 4/y~2=1的两个焦点,P,F_1,F2是一个直角三角形的三个顶点,且|PF_1|>|PF_2|,求|PF_2|/|PF_1|的     

用焦半径公式 简解弦长问题

<正>椭圆、双曲线或抛物线上一点与焦点的线段,叫做圆锥曲线的焦半径。(1)已知椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F_1(-c,0)、F_2 (c,0),P(x_0,y_0)是椭圆上的动点,则PF_1=a+ex_0,PF_2=a-ex_0,且焦半径的长度的取值     

椭圆的一个有趣性质与应用

本文介绍椭圆离心率的一个有趣性质,并举例说明它在解题中的应用。 定理 椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1(a>b>0)的离心率为e,焦点为F_1、F_2,P为椭圆上一点,且∠PF_1F_2=o,∠PF_2F_1=夕,则 1-e/1 e=tgO/2tg厘/2 证明 由正弦定理与等比定理知: |PF_1|/sin丛=|PF_2|/sin竺=|F_1F_2|sin(止 二) |PF_1| |PF_2|/SinO Sin夕     

圆锥曲线离心率范围的六种求法

例题设椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F_1,F_2,若椭圆上存在点P,使∠F_1PF_2=90°,则离心率e的取值范围是.解解法一:利用曲线范围求解     

浅谈椭圆方程及其题型求解

<正>一、利用椭圆的定义解题例1已知椭圆方程(x~2)/~(a~2)+(y~2)/~(b~2)=1(a>b>0),焦点为F_1,F_2,P是椭圆上一点,∠F_1PF_2=α。求:△F_1、PF_2的面积(用a、b、α表示)。解:如图1,设P的坐标为(x,y),根据椭圆的对称性,不妨设P在第一象限。由三角形的余弦定理可知:|F_1F_2|~2=|PF_1|~2+|PF_2|~2-2|PF_1|·|PF_2|cosα=4c~2。①     

错在哪里

解析几何中的一个常见题“P是椭圆(x~2)/(a~2) (y~2)/(b~2)=1上一点,F_1、F_2是焦点,若∠F_1PF_2=α,求△PF_1F_2的面积”。下面给出二种解法. 解法一:S_△=1/2|PF_1|·|PF_2|sinα,|F_1F_2|~2=|PF_1|~2 |PF_2|~2-2|FF_1||PF_2|cosα=(|PF_1| |PF_2|)~2-2|PF_1|·|PF_2|-2|PF_1|·|PF_2|cosα=4a~2-2|PF_1|·|PF_2|(1 cosα)=4c~2, ∴|PF_1|·|PF_2|=(4a~2-4c~2)/(2(1 cosα))=(2b~2)/(1 cosα)。     

椭圆的焦点三角形

<正>由椭圆的两个焦点F_1,F_2和椭圆上任意一点P构成的三角形称为焦点三角形。由椭圆的定义,得椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和为定值,即|PF_1|+|PF_2|=2a,所以焦点三角形△PF_1F_2的周长为定值2a+2c。解答与焦点三角形相关的问题(如求△PF_1F_2的面积等)时,     

解析几何中过定点问题的“另类”解法

<正>1.问题的提出已知点A是椭圆C:x²/8+y2/8+y²/r=1的上顶点,过点A且斜率为k_1,k_2(k_1≠k_2)的两条直线分别与椭圆另交于点P、Q。若k_1k_2=2,证明:直线PQ过定点。2.常用方法回顾该题一般的解法有以下两种:解法1:先通过对称性或利用一些特殊的直线先找到定点;再利用点斜式设出直线AP、BP的方程,分别和椭圆方程联立解出点P、Q的坐标;最后通过证明三点共线来证     

椭圆切线的一个性质及其应用

命题:过椭圆焦点作椭圆任一切线的垂线,垂足在椭圆的大辅助圆上。证明:设P为椭圆上任意一点,过焦点F_1作过P点的切线l的垂线,垂足为C_1。又设焦点F_2与P的连线的延长线交F_1G_1于F_1’,连P、F_1,由椭圆切法线性质知∠1=∠2, ∴ F_1、F_1′关于切线l对称,G_1为F_1F_1′的中点。又连O、G_1, ∵ O为F_1F_2中点, ∴ OG_1=1/2 F_1′F_2=1/2(PF_1+PF_2)=a。∴ G_1在以O为圆心、a为半径的圆     

椭圆的另一个焦半径公式及其应用

<正>我们知道,如果焦点在x轴的椭圆上动点P横坐标为x0,F_1,F_2为左、右焦点,那么椭圆的焦半径公式为PF_1=a+ex_0,PF_2=a-ex_0,对这一公式及其应用通常都很熟悉.然而在一些高考试题中,对椭圆焦半径另一公式考查较多.而考生因对此不熟悉,导致在解涉及椭圆焦半径相关问题时,往往感到困难,无从下手,失分较多.椭圆焦半径及弦长问题,多涉及三角、离心率、直线斜率(或倾斜角)等高     

一道竞赛题的再推广

原题（2011年全国高中数学联合竞赛一试试题第11题）作斜率为1/3直线l与椭圆C:x2/36+y2/4=1交于A,B两点,且P(3 2^1/2,2^1/2在直线l的左上方.（1）证明:ΔPAB的内切圆的圆心在一条直线上;（2）略.文[1]将（1）的结论推广到一般情形:     

用“1”巧证不等式

1.利用"1=1ⁿ"例1设x,y,z∈R⁺,且x+y+z=1,求证:x²+y²+z²+2（3xyz）^1/2≤1.分析注意到原不等式左、右边式子中指数的差异及条件x+y+z=1,故把不等式右边的"1"构造为1=1²=（x+y+z）².证明原不等式可转化为