例谈应用直线参数方程求距离的误区

<正>大家知道,在直角坐标系中,过定点P(x_0,y_0)且倾斜角为α的直线l的参数方程为{x=x_0+tcosα,y=y_0+tsinα(其中t为参数).我们不妨称它为直线参数方程的标准形式,其中|t|表示直线l上的任意点A到定点P(x_0,y_0)的距离,即|PA|=|t|,t等于有向线段PA的长.当A在P的上方或右边时t为正,     

对直线参数方程及其应用的分析

我们知道,参数方程是解析几何中的一个难点,而直线的参数方程及其应用又是该章节的重点,因此,深刻系统全面地对直线的参数方程及其应用进行分析是十分必要的.在平面直角坐标系中,经过定点P_0(x_0,y_0),倾角为α(0≤α≤π)的直线(如图)的参数方程是x=x_0 tcosα y=y_0 tsinα其中t是参数.它的几何意义是:|t|的大小等于定点P_0(x_0,y_0)到动点P(x,y)的距离,而t表示有向线段P_0P的数量,P点在P_0点的上方t为正,P点在P_0点的下方t为负.     

深层理解简解题——关注直线参数方程中参数的几何意义

<正>直线的参数方程是由直线经过的定点和其倾斜角确定的.经过定点P_0(x_0,y_0),倾斜角为α的直线的参数方程为{x=x_0+tcosα,y=y_0+tsinα(为参数).我们不妨把直线参数方程的这种形式称之为直线参数方程的标准式.一、直线l参数方程中参数t的深层理解设直线l过定点P(x_0,y_0),P,P_1,P_2是直线l上的点,在参数方程标准式中相应参数值分別为t、t_1、t_2,则(1)P与P_0的距离为|PP_0|=|t|.     

巧用直线的参数方程与极坐标方程求距离

<正>我们知道,在直角坐标系中,过点P0(x0,y0)且倾斜角为α的直线l的参数方程为{x=x_0+tcosα,y=y_0+tsinα(t为参数),其中,|t|表示直线l上的任意点P(x,y)到定点P_0(x_0,y_0)的距离.在极坐标系中,过极点O且倾斜角为α的直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R),其中,ρ表示直线l上的任意点P(ρ,θ)到极点O的距离.作为高考选考内容之一的参数方程与极     

利用直线参数方程解两类常见题

<正>众所周知,平面内过定点P_0(x_0,y_0)、倾斜角为α的直线l的参数方程的标准形式为{x=x_0+tcosα,y=y_0+tsinα(t为参数).其中t表示直线l上以定点P_0为起点,任意一点P(x,y)为终点的有向线段^→P_0P的数量,当点P在P_0上方时t为正,当点P在P_0下方时t为负.纵观一些高考、模拟试题,对圆锥曲线     

园锥曲线参数方程应用的几个例子

我们熟知,直线的点斜式方程 y-y_1=k(x-x_1)与参数方程x=x_1 tCosα y=y_1 tSinα(其中 tgα=k)对应,而园锥曲线x~2/a~2 y~2/b~2=1,x~2/a~2-y~2/b~2=1和 y~2=2px分别与参数方程 x=aCost y=bsint,x=aSect,y=btgt,和x=2pt~2 y=2pt 对应。在直线的参数方程x=x_1 tCosα y=y_1 tSinα中,参数 t 有简单明确的几何意义——t 是对应的动点 P(x,y)到定点 M(x_1,y_1)的有     

关注直线参数方程中参数的几何意义

<正>笔者在平时的教学中发现,学生普遍对直线参数方程中参数的几何意义理解得不透彻,现总结如下.直线的参数方程是由直线经过的定点和其倾斜角确定的,经过点P_0(x_0,y_0),倾斜角为α的直线的参数方程为{x=x_0+tcosα,y=y_0+tsinα(t为参数).我们通常把直线参数方程的这种形式称之为直线参数方程的标准式.一、对直线l参数方程中的参数t的深层     

直线参数方程的应用

过定点P_0(x_0,y_0)、倾斜角为α(0≤α<π)的直线参数方程为其中t是这直线上点P(x,y)所对应的参数(t是实数),并且规定对于直线(*)上P_0上方的点,t>0;对于P_0下方的点,t<0。应当指出: 1.直线(*)上的点P(x,y)与参数t之间是一一对应的,且|t|=|P_0P|,所以     

例说用直线参数方程中参数的几何意义解题

在平面直角坐标中,直线参数方程的标形式为{x=x0+tcosα,y=y0+tsinα,其中P(x0,y0)为直线经过的定点,α为直线的倾斜角设点A(x,y)为直线上的动点.则参数t的几何意义是有向线段PA的长,且当点A在点P的上方时t=|PA|,当点A在点P的下方时t=-|PA|,当点A与P重合时t=0.     

直线参数方程中参数的几何意义

我们知道经过点P_1(x_1,y_1)倾角为α的直线l,其参数方程是: x=x_1+tcosa y=y_1+tsinα(t是参数) 一般课本上都是这样解释t的几何意义的:|t|就是动点 P(x,y)与已知点P_1(x_1,y_1)之间的距离。当P在P_1上方时,t是正值;当P在P_1下方时,t是负值。这样解释,学生不易接受,在解题时常常出错,尤其是在求直线l与二次曲线的交点到已知点P_1的距离的和、积这一类问题时,对t的正、负号搞不清。我在讲解这一问题时是这样向学生解释     

二次曲线动弦中点的轨迹方程及应用

定理设二次曲线方程为F(x,y)=Ax~2+2Bxy+Cy~2+2Dx+2Ey +F=0。(1)过平面上任意一定点M(x_0,y_0)(除去曲线的中心)作动直线,与曲线(1)交于P_1、P_2两点,则弦P_1P_2的中点轨迹方程是Φ(x-x_0,y-y_0)÷F_1(x_0,y_0)(x-x_0) ÷F_2(x_0,y_0)(y-y_0)=0(2)并且曲线(1)与曲线(2)同族。其中Φ(x,y)=Ax~2+2Bxy+Cy~2 F_1(x,y)=Ax+By+D F_2(x,y)=Bx+Cy+E 证明:设过定点M(x_0,y_0)的动直线为     

谈直线的参数方程及其应用

我们知道,平面直角坐标系中,经过定点p_0(x,y),倾角是θ(0≤θ≤π)的直线(如图)的参数方程是其中t是参数,它的几何意义是:|t|的大小等于定点p_0(x_0,y_0)到动点p(x,y)的距离,而t表示有向线段p_0p的数量,p点在P_0点的上方t为正,p点在p_0点的下方t为负。     

谈直线参数方程的应用

我们知道,过定点P_0(x_0,y_0)的直线l的参数方程的一般形式为: x=x_0+at,y=y_0+bt。(t为参数,a~2+b~2≠0) (1) 这时,如a~2+b~2≠1,则参数t没有明显的几何意义。通过“标准化”,即得到标准形式:     

直线参数方程应用举例

直线l的标准参数方程为x=x0+tcosθ y=y0+tsinθ(t为参数),其中定点M(x0,y0)∈l,θ为l的倾斜角,t是定点M(x0,y0)到动点P(x,y)∈l的有向线段的数量MP,就是这个t困惑了不少同学.以下举例谈直线参数方程的简单应用.一、求直线的倾斜角例1求直线x=3+tsin20° y=1-t{cos20°t为参数)的倾斜角.错解设直线方程为x=3+tcosθ y=1+tsinθ(t为参数,θ为倾斜     

直线标准参数方程的几个重要应用

设直线l经过点(x_0,y_0),倾斜角为a,则此直线的标准参数方程为■其中t是参数,|t|代表点(x,y,)到点(x_0,y_0)的距离。利用直线的上述标准参数方程,可以方便的推出许多重要的结果。本文仅就它在点到直线的距离公式、二次曲线的切线方程和二次曲线的直径方程中的应用作一简要介绍。     

直线参数方程的另一形式及其应用

通常所说直线参数方程指的是方程这是过定点P_0(x_0,y_0),倾角为α的直线的参数方程,t为参数,t的几何意义是直线上一动点P(x,y)到定点P_0(x_0,y_0)的有向距离。对于方程(Ⅰ)的应用本刊1985年第4期《谈直线的参数方程及其应用》一文较详尽的论述过。本文将介绍直线的另一种形式的参数方程。     

关于直线的参数方程与应用

在直角坐标系下,如果一条直线l经过已知点P_0(x_0,y_0),倾角为a,那么它的参数方程为 {x=x_0 tcosa y=y_0 tsina (t为参数) (*) 这个方程很重要,应让学生很好理解和掌握。 (一) 关于参数t的几何意义方程(*)中,参数t的几何意义是直线l上的定点P_0(x_0,y_0)与l上的任意一点P(x,y)所成的有向线段P_0P的数量P_0P,即t=P_0P。当P_0P与l同向时,有     

用代换法求轴对称

求已知点P(x_0,Y_0)关于直线y=kx m的对称点P＇(x,y),通常是解方程组 {1/2(y y_0)=k·1/2(x x_0) m (y-y_0)/(x-x_0)=-(1/k) 但当k=±1时,可直接用对称轴方程y=±x m即x=±y±m代换以求P＇点的位置。定理1 若P＇(x,y)是点P(x_0,y_0)关于直线y=x m的对称点,则 {x=y_0-m, y=x_0 m。证明比较简单,兹从略。特别地,当m=0时,点p(x_0,y_0)和点p＇(y_0,x_0)关于直线y=x对称。推论1 曲线f(x,y)=0关于直线y=x m对称的曲线方程是f(y-m,x m)     

每期一题

题:若抛物线y=ax~2- 1(a≠0)上存在关于直线l:x y=0对称的两点,试求a的范围。解法1(判别式法)设抛物线上关于直线l对称的相异两点分别为P、Q,则PQ方程可设为y=x b。由于P、Q两点的存在,所以方程组 y=x b 有两组不相同的实数 y=ax~2-1 解,即可得方程: ax~2-x-(1 b)=0 ①判别式△=1 4a(1 b)>0 ②又设P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2),PQ中点M(x_0,y_0)。由①得x_0=x_1 x_2/2=1/2a,y_0=     

关于直线参数方程的几点教学体会

高中《平面解析几何》参数方程和极坐标一章讲到,通过定点P(x,y),倾角为α值的直线l的参数方程是:x=x_0 tcosα,y=y_0 tsinα。