利用圆锥曲线系解决高考试题

<正>1过直线交点的圆锥曲线系我们知道,平面内任意3点不共线的5点可以确定唯一的一条二次曲线,其方程可以用F(x,y)-ax²+2bxy+cy²+2dx+2ey+f=0(a²+b²+c²≠0)表示,圆锥曲线分为以下类型:(1)椭圆型(包括圆、点和虚椭圆);(2)双曲线型(包括两条直线相交);(3)抛物线型(包括两条直线重合或平行及两条虚平行直线).     

一道课本习题的启发

<正>课本习题(《普通高中课程标准实验教科书》必修2第88页"探究·拓展"15)已知两条直线a_1x+b_1y+1=0和a_2x+b_2y+1=0都过点A(1,2),求过两点P_1(a_1,b_1),P2(a_2,b_2)的直线的方程.解因为直线a_1x+b_1y+1=0,a_2x+b_2y+1=0都过点A(1,2),所以a_1+2b_1+1=0,a_2+2b_2+1=0.由于P_1(a1,b1),P_2(a_2,b_2)均适合方程x+2y+1=0,且两点确定一条直     

关于三线共点的条件

关于三线共点的条件,中学教材中有两种表述方法: 一是:“方程a_1x+b_1y+c_1=0,a_2x+b_2y+c~2=0,a_3x+b_3y+c_3=0表示的三条直线共点的必要条件是二是:“三条互不平行的直线,共点的充要条件是: 上述两种提法,都是中学生不易理解的。本文想通过对三线共点问题的剖析,意在帮助学生加深理解。     

一个充要条件的应用

齐次线性方程组a_1x+b_1y+c_1z=0a_2x+b_2y+c_2z=0(*)a_3x+b_3y+c_3z=0的系数行列式是D=a_1 b_1 c_1a_2 b_2 c_2a_3 b_3 c_3显然,当 D0时,方程组(*)有唯一解,即x=y=z=0,或叫做零解.但当 D=0时,方程组(*)除零解外还有无穷多个非零解.关于方程组(*)有非零解的充要条件有下述定理:定理:齐次线性方程组(*)有非零解的     

用平面几何知识解决解析几何问题

<正>解答平面解析几何题往往运算量较大,而有时用平面几何知识却能减少运算量.下面举例说明这一解题方法.例1 设直线l_1:a_1(x+1)+b_1y=0,l_2:a_2(x-1)+b_2y=0,满足a_1a_2+b_1b_2=0,求l_1与l_2交点P的轨迹方程.分析本题中有四个参数,若直接求出交点P的坐标,再消去参数得出所求轨迹方程,技巧强,运算量大.而充分挖掘题目的隐含条件,运用平面几何知识,可获得简解.解由条件可知,直线l_1、l_2分别过定点A(     

用平面几何知识帮助解答平面解析几何题

<正>解答平面解析几何题往往运算量较大,而有时用平面几何知识却能减少运算量,下面举例说明这一解题方法.例1设直线l_1:a_1(x+1)+b_1y=0,l_2:a_2(x-1)+b_2y=0满足a_1a_2+b_1b_2=0,求l_1与l_2的交点P的轨迹方程.分析本题中有四个参数a_1,a_2,b_1,b_2,若直接求解,求出交点P的坐标后,再消去这四个参数,得出所求轨迹方程,消元技巧强,运算量大.而充分挖掘题     

多元因式分解的一种简捷方法

我们知道,关于多元二次多项式的因式分解,常常利用待定系数法来解决,但这种方法需解若干个方程组成的方程组,工作量很大。若利用一元二次三项式的因式分解来解决多元二次多项式的因式分解,就可收到事半功倍之效果。 [例1] 把f(x,y)=x~2+3xy+2y~2+4x+5y+3因式分解。分析:若f(x,y)能分解,则它必分解为。f(x,y)=(a_1x+b_1y+c_1)(a_2x+b_2y+c_2)之形式。事实上,就是确定a_1,b_1,c_1,a_2,b_2,c_2。关于对它们的具体确定可在下面过程中来完成。至于原理的推证,请读者自行完成。解:分别分解关于x,y的一元二次三项式。 x~2+4x+3=(x+1)(x+3)……① 2y~2+5y+3=(y+1)(2y+3)……②通过①、②可确定a_1=1,b_1=1,c_1=1,a_2=1,     

二次函数的叠加性质

对于二次函y_1(x)=a_1x~2+b_1x+c_1与y_2(x)=a_2x~2+b_2x+c_2,(a_1.a_2(/)0),能否找到常数λ,使叠加得到的y_0(x)=y_1(x)+λy_2(x)的函数值不改变符号(定正或定负)? 下面用纯粹初等的方法进行探索: 因y_0(x)=a_1[x~2+b_1/a_1x+c_1/a_1+λa_2/a_1(x~2+b_2/a_2x+c_2/a_2)],若记b_/a_1=b、c_/a_1=c、λa_2/a_1=μ、 b_2/a_2=b_0、c_2/a_2=c_0,即考查y(x)=x~2+bx+c+μ(x~2+b_0x+c_0) 仍记为y(x)=y_1(x)+μy_2(x)〕在哪些情况下可以选取到实数μ使其定号。     

体现在圆中的数学思想浅析

<正>在解析几何中,有关圆的问题是比较常见的,本文就解决这类问题体现的数学思想进行简单的分析。1.函数与方程思想函数与方程思想在圆的方程中应用较广泛,在求圆的方程、直线与圆的交点、圆与圆的交点等问题时都要用到函数与方程思想。例1已知直线x+2y-3=0与圆x²+y2+y²+x-6y+m=0相交于P,Q两点,且OP⊥OQ(O为坐标原点),求实数m的值。分析:由于OP⊥OQ,若设点P(x1,     

函数y=(a_1x~2 b_1x c_1)/(a_2x~2 b_2x c_2)(x∈A)的值域

形如y=(a_1x~2 b_1x c_1)/(a_2x~2 b_2x c_2)的分式线性函数的值域,特别是当x限制在某个区间上(x∈A)的值域问题是一个难点.一般是两边同乘以a_2x~2 b_2x c_2后整理成一个关于x的方程,通过研究该方程有解的条件(即     

借助圆锥曲线求一类无理函数值域

形如f(x)=a_1x~2 b_1x c_1±(a_2x~2 b_2x c_2)~(1/2)这类无理函数与圆锥曲线有密切联系,本文介绍借助圆锥曲线求其值域的两种方法。 1图象法 对于函数f(x)=a_1x~2 b_1x c_1±(a_2x~2 b_2x c_2)~(1/2)(a_1,b_1,c_1,a_2,b_2,c_2为常数,且a_2≠0),若视f(x)为参数m,则原函数式为a_1x~2 b_1x c_1-m=±(a_2x~2 b_2x c_2)~(1/2),令y=a_1x~2 b_1x c_1-m和y=±(a_2x~2 b_2x c_2)~(1/2)的图象分别为T_1,T_2,则当a_1=0时。T_1为直线,当a_1≠0时T_1为抛物线,由y=     

关于齐次微分方程的一些推广

齐次微分方程dy/dx=f(y/x)是用途颇广且极易用初等积分方法求解的微分方程,而且从教科书上我们还知道形如y'=f(a_1x b_1y/a_2x b_2y)的方程及形如y'=f(a_1x b_1y c_1/a_2x b_2y c_2)(a_1/a_2≠b_1/b_2)的方程通过适当的变形和变换后亦可化为齐次微分方程求解。其后两种方程也就是齐次方程的推广。本文的目的是将齐次方程进一步推广,以达到拓宽其应用的目的。     

两个方程有公共根的另三种思考方法

许多刊物都载文指出:两个一元二次方程 a_1x~2+b_1x+c_1=0,a_2x~2+b_2x+c_2=0(a_1a_2≠0)有一公共根条件是:当 a_1b_2≠a_2b_1时,(a_1c_2-a_2c_1)~2=(a_1b_2-a_2b_1)(b_1c_2-b_2c_1);当 a_1b_2=a_2b_1时,a_1:b_1:c_1=a_2:b_2:c_2有两个公共根.应用这些条件虽可解决一切公共根问题,但较难记忆,有时会带来较繁的运算.本文再提供另外三种思考方法.     

运用判别式求函数值域的探讨

(一)求有理分式函数y=(a_1x~2 +b_1x+c_1)/(a_2x~2+b_2x+c_2) 型的值域时,如果分子、分母没有公因式时,就可变形式形为 (a_2yg-a_1)x~2+(b_2y-b_1)x+c_2y-c_1=0(*) 设a_2y-a_1≠0时,方程*的判别式Δ≥0的解集为M,还不能确认集合M就是原函数的值域,因为当y=a_1/a_2时,方程*的二次项系数为零,此时必须考察y=a_1/a_2时,方程*是否有实数解,如果没有实数解,则所求的值域就是M,如果有实数解;所求的值域为     

两类绝对值方程的一种简便解法

本文给出下面两类绝对值方程的一种简便解法.定理(1) |(a_1x~2 b_1x c_1) (a_2x~2 b_2x c_2)|=|a_1x~2 b_1x c_1| |a_2x~2 b_2x c_2|(?)(a_1x~2 b_1x c_1)     

用直线的参数方程求弦长

已知直线的参数方程{x=x_0+at,y=y_0+bt和二次曲线ax~2+bxy+cy~2+dx+ey+f=0当直线和二次曲线相交时,如何计算弦的长度,这是解析几何中一个常见的问题。本文试图给出应用直线的参数方程求弦长的一般万法。     

圆系方程问题再探讨

1.问题背景 文[1]及文[2]讨论了⊙C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0及⊙C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0无公共点时,方程x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+ F2)=0的意义,但均没有指明方程表示何种曲线. 本文试图通过对方程x2+ y2+ Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0及x2+ y2+ D1x+E1y+F1+λ(x2+ y2+ D2x+E2y+ F2)=0的分析,从而阐明:当直线l与⊙M及⊙C1与⊙C2相交(以下简称“相交圆系”)时,上述方程一定表示圆;当直线l与⊙M及⊙C1与⊙C2不相交(以下简称“非相交圆系”)时,上述方程可能表示何种曲线.     

二元函数的条件最值问题的解几计算法

最值问题是中学数学教材中的主要内容之一.多元函数的条件最值问题可以通过约束条件使其变成一元函数的最值问题求解.本文拟给出某些二元函数条件最值问题的两种简捷、明晰的解几计算方法.例1若x²+y²=k（k>0）,求x+y的最大、最小值.分析:题目的几何意义十分明显,x²+y²=k表示圆心在原点,半径为k^1/2的圆.若令x+y=m,即y=-x+m（m为参数）,它表示斜率为-1的直线族.求x+y的最值,即求直线和y轴交点的最高,最低位置,但因受条件的约束,该直线不能离开圆,故必切于此圆（图1）.于是得解法如下.     

曲线系与二次曲线的曲率圆

<正> 本文试图不用微分法而用曲线系方程求二次曲线的曲率圆,因而也就求出二次曲线在某点的曲率。为此,需要用到下列有一些引理。 引理1 设曲线f(x,y)=0与g(x,y)=0相交,则过它们的交点的曲线系方程为:f(x,y)+λ·g(x,y)=0,λ∈R。     

过两曲线交点的曲线系方程的应用

我们知道:过两曲线c_1:f(x,y)=0;c_2:g(x,y)=0的交点(如果存在的话)的曲线系方程为:f(x,y)+λ-g(x,y)=0(λ为参数)。在进行高三数学综合复习时,使学生能够熟练地使用曲线系方程来解决问题,对培养解题的能力是大有好处的。下面举例说明在教学大纲的范围内的一些应用。例1:已知两条相交曲线:x~2/16-y~2/9=1和x~2/25+y~2/9=1,试证:(1) 这两条曲线的交点在椭圆2x~2/41+y~2/41=1上;(2) 有无穷多条双曲线过这两曲线的交点。此题若按一般解法,求交点,再代入椭圆方程检