利用共轭性质巧解复数高考题

高考中的复数试题,历年来重税考查复数的概念及运算,但往往运算繁杂,影响临场的解题速度及正确性,而灵活运用诸如|z|~2=z(?)等复数的有关概念及性质,便可达到化繁为简,化难为易的功效.1 求模例1 (1995年全国高考文科试题)设复数 z=cosθ isinθθ∈(π,2π),求复数 z~2 z 的模.解:∵|z|=1,∴z(?)=1,z (?)=2cosθ.∴|z~2 z|~2=|z|~2|z 1|~2=|z 1|~2     

不等式｜｜z_1｜-｜z_2｜｜≤｜z_1±z_2｜≤｜z_1｜+｜z_2｜的建立与证明

教师 :设z1 、z2 是非零复数 ,如何用几何方法作出复数z1 +z2 对应的向量 ?学生 :分别作出复数z1 、z2 对应的向量OA、OB ,以OA、OB为邻边作平行四边形OACB ,则向量OC就是复数z1 +z2 对应的向量 .如图 1所示 .教师 :图 1所给出的解答完善吗 ?学生 :不完善 .当向量OA、OB共线时 ,平行四边形OACB就不存在了 .对角线向量OC也就随之消失 .因此 ,这时不便用平行四边形法则来作出z1+z2 对应的向量 .教师 :此时 ,如何作出z1 +z2 对应的向量 ?学生 :先作出复数z1 对应的向量OA ,然后以A为起点作向量AB ,使AB与复数z2 对应 ,则向量OB就…     

巧用复数模

若有复数z=x十yi,则式子(√x2 y2)称为复数z的模,简称复数模,记为}z|=(√x2 y2).     

勿忘复数“0”(高二、高三)

在推算复数问题时,复数“0”容易被忽视. 例1 试求满足z·z—i·3z=1—3i的复数z.     

巧用复数的模长解题

<正>求复数模长是掌握复数知识的基本要求之一,同时,考查复数知识,求解复数模长也是高考中一个热点考查内容,所以大家对求解复数模长的思路方法应当重视并掌握。一、以复数方程为背景求解复数模长例1已知z满足|z|=|z+1|=1,求     

一道常见复数题的推广及其应用

1 对一道常见的复数题的推广 下面是一道常见的复数题,我们记作 命题1 若z是非零复数,那么 z 1/z是实数的充要条件是z是实数或│z│=1. 推论 若z是虚数,则z 1/z是实数的充要条件是│z│=1. 很自然地,我们会思考式子z 1/z中的常数若不是1而是任一正实数α,将会推得什么结果?于是,有: 命题2 若z是非零复数,a∈R~ ,则z a/z∈R的充要条件是z是实数或│z│~2=a. 证明 充分性显然,下证必要性.     

用“刚体运动”解一类轨迹与最值问题

我们先看一个例题 :例 1　已知动点 P在上半圆 x2 y2 =1(y≥ 0 )上运动 ,定点 Q(2 ,0 ) ,线段 PQ绕点Q顺时针旋转 90°到 QR,求动点 R的轨迹以及 R到圆心 O的距离的最大值和最小值 .这类问题的解法较多 ,较常规也较简单的解法是“复数法”:图 1先把圆方程改写成复数方程 :| z|= 1 ,设动点 P,R的复数为 z P,z R,定点 Q的复数为 z Q= 2 .再利用复数的向量旋转性质可得关系式 :(z R- z Q) i=z P- z Q,解得 z P=(z R- z Q) i z Q,代入圆的复数方程得| (z R- z Q) i z Q| =1 ,代入相关数据 ,并设动点 R(x,y) ,化为普通方程即是(x…     

平移在复数中的应用

由复数加法法则可知,两个复数相加的几何意义是把加数中的一个复数对应的点进行有规律的平移,平移后得到的点对应的复数就是其和。利用这一观点解决有关复数问题更简捷。 依据:z=x+yi,z_0_a+bi(x,y,a,b∈R)由复数加法法则知z+z_0=(x+a)+(y+b)i 结论:复数z对应复平面内的点z,点z+(a+bi)是把点z沿实轴方向移动|a|个单位(a>0时向右移动;a<0时向左移动)再沿虚轴方向移动,61个单位(b>0时向上移动,b<0时向下移动)得到的。 本文称这种方法为平移法,下而举例说明这种方法的应用。 例1.如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,求|z+1+i|的最小值。 解:由复数的几何意义知复数z为以A(0,-1),B(0,1)为端点的线段AB,而z+1+i表线段AB向右平移一个单位,再向上平移一个单位得到的线段A′B′,(如图所示),而|z+1+i|最小值表线段A′B′上的点到原点的最短距离,即|z+1+i|_(min)=|OA′|=1。     

复数的三种形式和解题的四种思路

在中学,复数 z 有三种表示形式:代数形式(z=α bi,其中,α,b∈R),三角形式(z=r(cosθ isinθ),其=中 r>0)与几何表示(复数 z=α bi 与复平面内的点Z(a,b)或向量■一一对应),因此,在解决复数问题时,就可以利用复数的代数表示、三角表示或几何表示中的一种加以解决.在某些问题中,把复数 z 看作一个整体加以处理,也是一种思路.总之,在解决复数问题时,有上述四种解题思路,其中前三种是常用的.问题的关键之一是恰当的选择复数 z 的某种表示,从而可以优化解题过程.下面举几个例子说明.     

巧用"共轭"解决复数问题

解决复数问题时 ,若能巧妙利用共轭复数的性质 ,不仅能使学生更好的理解这些性质 ,熟练的进行复数运算 ,而且还会使解题过程大为简化 ,计算结果迅速呈现 ,下面就利用共轭复数的一些性质所解决的几类问题举例说明 .1　利用“z1=z2 z1= z2 ”巧解复数方程方程问题的常规解法是设z =a+bi　 (a ,b∈R) ,然后依复数相等的条件解关于a ,b的方程组 ,但若利用上述性质来解 ,效果更佳 .例 1　在复数C中解方程z2 = z ,解　∵z2 = z ①∴ ( z) 2 =z ,②把①代入②得z4 =z ,即z(z3- 1) =0 ,∴z=0 ,或z=1,或z =- 12 ± 32 i,例 2　解方程z z- 3i z =1+…     

复数运算与初等函数运算

复数有三种表示式:一般式z=x+iy三角式z=|z|[cos(argz)+isin(argz)]指数式z=|z|e~(iargz)复数z由它的实部x和虚部y所确定,或者由它的模|z|和幅角argz所确定。不论是作复数的加、减、乘、除、乘方、开方运算,还是求初等函数的值,其目的都是要把它们的运算结果最终表为复数的三种表示式之一。     

复数|z-z_0|的几何意义及应用

复数|z-z1|的几何意义:表示复平面中复数z对应的点与复数z0对应点的距离.下面针对|z-z0|的几种应用给出具体说明. 一、依据|z-z0|确定最值例l 已知复数z的模为2,则|z-i|的     

用一道习题组织复数单元复习

有这样一道题,其多种解法可贯串复数这一单元的所有内容,因之,设计了如下边复习、边解题的教学方案,就教于同行。 1 识属 题 已知p,q都是正实数,复数z满足条件|z-p|=p和z (q/z)是实数,求z 首先引导学生识题。依题意,显然z≠0,欲求的解答是用p,q表示z。当z是实数时,容易由条件|z-p|=p求出z=2p(注意z=0应舍去),因而,解出此题的关键是求满足题意的虚数。这样就自然地考虑应用复数的概念,复数的三角形式、共轭复数或复数的几何意义等来求解。     

解复数题的策略与技巧

本文举例介绍解复数问题时常用的策略与技巧.1.取值估算【例1】　当23相似文献   

一题六法,各有特色(高二、高三)

第12届“希望杯”高二第2试17题是:复数z满足z+z·|z|3=0,则z=____.本文从不同角度给出六种解法,繁简有别,各有特色,体现了求解复数方程的方法. 解法1 用复数的代数形式令z=a+bi(a,b∈R),则     

利用|Z|~2=Z·Z解题

|z|~2=z·z是复数模的一个很重要的性质。利用它解决与复数模有关的问题特别有效。例1 若|z|=1,试证:z/(1 z~2)∈R(z~2≠-1)。证明:∵|z|=1,∴|z|~2=z·z=1, z/(1 z~2)=z·z/(z z~2z)=1/(z z), ∵z z∈R, z/(1 z~2)∈R。例2 已知复数a、b、c的模均为1,且a b c≠0,求证:     

复数法证明平面几何问题

(本讲适合高中) 由于复数与平面上的点存在着一一对应关系,所以许多平面几何问题,特别是涉及规则图形(如正多边形、等腰直角三角形、矩形、圆等)的几何问题,都可以通过建立坐标系,利用复数方法求解。笔者近年来一直研究这方面的问题,发现一点规律,现总结如下。 文中涉及的一些复数的基本知识: (1)复数的三种表示法:代数式z=a bi;三角式z=r(cosθ isinθ);指数式z=re~(iθ)。 (2)Rez表示复数z的实部;Imz表示复数z的虚部.     

平行四边形在复数中的应用探究

在学习了复数的几何意义后,我们知道复数在复平面中与点、向量构成了一一对应关系,这样很多复数的问题就可以转化成平面向量的问题,而复数的模就对应向量的模,即有向线段的长度。本文就以下几个复数的模｜z1｜、｜z2｜、｜z1＋z2｜、｜z1-z2｜之间的关系作初步探究。     

复平面上的圆的方程

在复平面上,任意一点(x,y)可用复数z=x iy表示;反之,任意一个复数z=x iy亦表示复平面上的一个点(x,y)。复数与复平面上的点之间建立了一一对应关系。同样,从原点O到复数z=x iy所引的向量与这复数Z也建立一一对应关系。为了方便,我们将“复数”、“点”与“向量”不加区别。     

巧解两道竞赛题

<正> 题1(2001年全国高中数学联赛第8题)若复数z1、z2满足|z1|=2,|z2|=3,3z1-2z2=3/2-i,则z1z2=__.分析若用复数的代数形式来解,则需要解四元二次方程组,运算量大且繁琐;若用复数的三角形式来解,则需用到复杂的三角公式,不少学生由于未记牢三角公式而半途而废.若能抓住已知条件