关于正多边形密铺

利用等边长的正多边形进行密铺,看似简单,真实隐含着丰富的数学知识. 为了研究方便,我们从在一个顶点密铺入手,所谓在一个顶点密铺是指在平面内共顶点的若干个等边长正多边形在此顶点各内角之和为360°. 显然,由于正多边形的内角满足60°≤α≤180°, 所以这样的密铺,共顶点的正多边形个数m满足3≤m≤6, 当且仅当用等边长的正三角形进行密铺时,m=6.     

正多边形基本镶嵌探秘——对一节“探究性活动”教学内容的探究

平面内 ,如果用若干个边长相等且有一个公共顶点的正多边形将公共顶点周围既无缝隙 ,又不重叠地全部覆盖 ,那么所得到的图形叫做以这个公共点为顶点的基本镶嵌 .若ｋ个正多边形组成一个基本镶嵌 ,则它们的内角之和必须等于一个周角 .假定它们的边数分别为ｎ1 、ｎ2 、…、ｎｋ,则(ｎ1 -2 ) 180ｎ1 + (ｎ2 -2 ) 180ｎ2 +… +(ｎｋ -2 ) 180ｎｋ =3 60 .整理 ,得1ｎ1 + 1ｎ2 +… + 1ｎｋ =ｋ-22 .不妨设ｎ1 ≤ｎ2 ≤…≤ｎｋ.由于正多边形最少有 3条边 ,所以ｎ1 ≥ 3 ;由于正多边形的内角α满足 60°≤ａ <180° ,3 60°60° ≥ 3 60°α>3 60…     

关于瓷砖铺地

用正多边形瓷砖铺地,讨论其实现的可能性是颇有趣味的问题.假定各顶点处正多边形的配置是一样的,且不允许正多边形的顶点放在另一正多边形的边上,在上述假定下,本文给出瓷砖铺地的所有可能解. 一、用一种正多边形铺地正n边形的内角为n-2/n·180°,所以正n边形若能铺满平而,必须有正整数k满足 n-2/n·180°×k=360°。从而 k=2n/n-2=2 4/n-2故必须 n-2|4,n只能取3、4、6. 另一方面,易知正三角形、正方形、正六边形是能铺满平面的(具图1、图2、图3).     

密铺中的学问

用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接,彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一个平面,这就是平面图形的密铺,又称做平面图形的镶嵌,下面我们来研究正多边形的密铺问题．一、用一种正多边形密铺对于给定的某种正多边形,能否拼成一个平面图形而不留一点空隙,关键在于正多边形内角的度数．当顶点拼在一起的若干个正多边形的一个内角加在一起恰为360°时,就密铺成一个平面图形．     

细说多边形的内角和外交和

知识展台 n边形的内角和等于(n-2)×180°; n边形的边=(内角和÷180°)+2; 过n边形一个顶点有(n-3)条对角线,n边形共有n×(n-3)÷2个对角线; n边形外角和等于n·180°-(n-2)·180° =360°; 多边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角,所以n边形内角和加外角和等于n·180°.     

重理解 会应用 讲灵活——关于“多边形内角和”的学习

在研究四边形内角和时,我们作一条对角线将它分成两个三角形,得四边形内角和为2×180°,即360°.由此,进一步启发我们,研究多边形的内角和,也可以过n边形A_1A_2A_3…A_n的一个顶点A_1作对角线A_1A_3,A_1A_4,A_1A_5,…,A_1A_(n-1)(图1),这样共可作(n-3)条对角线,它们将n边形分成(n-2)个三角形,所     

从凸多边形内角和公式谈起

请同学们回顾一下,凸n边形的内角和公式S_n=(n-2)·180°是如何推导出来的?推导公式的指导思想是把求多边形的内角和问题转化为求三角形的内角和问题,“转化”的办法是将多边形分割为若干三角形,由于分割多边形有多种方法,所以推导多边形内角和的方法也有多种: (1)在图1中,由n边形的某个顶点引对角线,将n边形分成(n-2)个三角形,每个三角形内角和为180°,故S_n=(n-2)·180°。     

图形的认识与证明 考点分析及复习研究 二、四边形

考点1多边形的概念与性质[知识要点]1.四边形的内角和等于,n边形的内角和等于.2.四边形的外角和等于,任意多边形的外角和等于.3.n边形的对角线条数为.31典型考题解析例1(2005年江苏省南通市)如果一个多边形的内角和是540°,那么这个多边形是边形.例2(2004年天津市)已知一个正多边形的每一个内角都等于120°,则这个多边形是().(A)正方形(B)正八边形(C)正五边形(D)正六边形说明例1、例2计算的主要根据是n边形的内角和公式(n-2)·180°.要注意这个公式的反用,即由内角和求边数.任意多边形的外角和都为360°,它与边数无关.例3(2005年无锡市)用…     

如何确定多边形的边数

确定多边形的边数主要用到以下知识:(1)n边形的内角和定理:n边形的内角和是(n-2)·180°.(2)n边形的外角和定理:n边形的外角和是360°.(3)过n边形的一个顶点有n-3条对角线,它将n边形分成(n-12)个三角形;n边形共有n(n-3)/2条对角线.     

第十届美国数学竞赛试题及解答

美国第十届数学竞赛于今年五月举行。下面是竞赛题和解答。 1.已知一角大小为180°/n,其中n为不能被3整除的正整数。证明:这个角可以用欧几里得的作图工具(圆规与直尺)三等分。解:因为n是不能被3整除的正整数,所以n=3K±1。如果n=3K+1,由于180°/3-K×180°/n=180°/3n(n-3K)=180°/3n,且180°/n为已知角,所以K×180°/n可用圆规与直尺作出,显然180°/3=60°可用圆规直尺作出,所以180°/3n可作。也就是说,这时180°/n可以用圆规直尺三等分。如果 n=3K-1,那么由于 K×180°/n-180°/3=180°/3n(3K-n)=180°/3n     

猜想·证明·评价——《多边形内角和》教学案例与评析

案例一、合理猜想、创设情境师:三角形内角和为180°,四边形内角和为360°,五边形内角和为540°,我们能猜想一下n边形的内角和吗? (教师展示如下课件)生:n边形内角和应为(n-2)·180°。师:你是怎么猜想的?你能证明你的猜想吗?     

从数学大师的惊人妙语谈起

n边形的内角和(An)、外角和(Bn)如下表:n3456……nAn180°360°540°720°……(n-2)·180°Bn360°360°360°360°……360°基于上述事实,国际数学大师陈省身,1980年在北京大学的一次讲学中妙语惊人:“人们常说,三角形内角和等于180°.但是,这是不妥的!”讲学大厅里爆发出一阵笑声,怎么回事呢?陈教授对大家的疑问作了精辟的解答:“三角形内角和等于180°”不妥,不是说这个事实不对,而是说这种看问题的方法不对”.应当说:“三角形三外角的和等于360°”,“外角定理的优点是对任意多边形都对,多边形的外角和总是等于360°.”采用“外角定理…     

从凸多边形内角和公式谈起

请同学们回顾一下,凸n边形的内角和公式S_n=(n-2)·180°是如何推导出来的?推导公式的指导思想是把求多边形的内角和问题转化为求三角形的内角和问题,“转化”的办法是将多边形分割为若干三角形,由于分割多边形有多种方法,所以推导多边形内角和的方法也有多种。 (1)在图1中,由n边形的某个顶点引对角线,将n边形分成(n-2)     

与多边形有关的计算

与多边形有关的计算题,是初中数学中的一个知识点,屡见于各省市中考试题中。下面举几例供同学们参考。一、判定多边形的边数例1 已知一个多边形的内角和等于外角和的3倍,则这个多边形的边数为____。(1995年云南省中考题) 解设这个多边形的边数为n,则(n-2)×180°=3×360°,解之得n=8。例2 一个多边形的内角和与外角和的差为900°,则此多边形是____     

多边形中计算公式的推导及应用

一、多边形内角和计算公式多边形相邻两边所组成的角叫做多边形的内角。我们知道 ,三角形的内角和等于 180°,那么 ,任意多边形的内角和是多少呢 ?自然我们会把思路放在将多边形分成若干个三角形的问题上来研究。如图 1,在 n边形 A1A2 ……An 中 ,我们从一个顶点出发 ,如从 A1作对角线 A1A3、 A1A4、…… A1An-1,显然 ,把这个 n边形分成了 (n- 2 )个三角形 ,那么这个 n边形的内角和就等于 (n-2 )个三角形的内角和 ,故 n边形内角和应为 :(n- 2 )· 180°。将多边形分成若干个三角形 ,还可采用下面两种办法 :一种办法是如图 2 ,将出发点 …     

用什么样的正多边形才能镶嵌

用形状相同或不同的平面封闭图形．把一块地面既无缝隙又不重叠地全部覆盖，叫做平面镶嵌．也叫做密铺．在日常生活中．最常见的是正多边形的镶嵌．由于镶嵌的正多边形的边必与另一正多边形的边重合，所以镶嵌的正多边形的边都必须相等。且在每个顶点处镶嵌的各个正多边形的内角和为360°．我们关心的问题是选择什么样的正多边形才能镶嵌．现就几种类型分类探究如下，供同学们参考．     

三角形内角和定理及其推论的应用

知识链接　　三角形内角和定理 :三角形三个内角的和等于180° .推论 1:直角三角形的两个锐角互余 .推论 2 :三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 .推论 3 :三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 .一、求角度例 1　若一个三角形的三个内角之比为 4∶3∶2 ,则这个三角形的最大内角为 .(2 0 0 0年山西省中考题 )解　设三个内角分别为 4ｘ ,3ｘ ,2ｘ ,则由三角形内角和定理 ,得 4ｘ + 3ｘ + 2ｘ =180° .解得ｘ =2 0° .故最大内角 4ｘ =80° .例 2　如图 1,已知∠ 1=2 0° ,∠ 2 =2 5° ,∠Ａ =3 5° ,则∠ＢＤＣ的度数为 …     

探究平面镶嵌问题

用形状相同或不同的平面封闭图形,把一块地面既无缝隙、又不重叠地全部覆盖,叫做平面镶嵌,也叫做密铺.在日常生活中,最常见的是正多边形的镶嵌.由于镶嵌的正多边形的边必与另一正多边形的边重合,所以镶嵌的正多边形的边都必须相等,且在每个顶点处镶嵌的各个正多边形的内角和为360°.我们关心的问题是选择什么样的正多边形才能镶嵌,现就几种类型分类探究如下,供同学们参考.     

多边形的内角和与边数的计算

有关多边形内角和与边数的计算问题,通常先设多边形的边数为n,再根据条件和多边形内角和定理及其推论,列代数方程解答．例1已知一个多边形的内角和与外角和的总和为2700°,求它的边数．解设此多边形的边数为n,则其内角和为（n－2）×180°,外角和为360°．由题意,得（n－2）×180°＋360°＝2700°．解之,得n＝15．故这个多边形的边数为15．例2已知一个多边形的每个内角都比与它相邻的外角的3倍还多M,求它的内角和．解设这个多边形的边数为n．由于该多边形的每个内角都比与它相邻的外角的3倍还多N,故它的内角和应比外角和的3倍还…     

多边形内角和与边数的计算方法

我们知道，若设n边形的内角和为S，则由此等式可知，若知道多边形的边数，则可求它的内角和S；反之，若知道多边形的内角和S，则可求它的边数n．同时我们还知道，任何多边形的外角和都等于360°．因此，若多边形的每一个外角都等于α°，则根据外角和可求多边形的边数，进而可求多边形的内角和．例1已知多边形的内角和与外角和的差是1440°，求它的边数．解设多边形的边数为n，则它的内角和为（n－2）·180°．又因为多边形的外角和为360o，所以依题意得关于n的方程解此方程，得n=12例2已知多边形的每一个外角都等于36°，求它的内用和分…