成果集锦

成果集锦关于正规闭折线的几个等周定理如果一个点位于一条闭折线所有顶角的内部，就称其为正规内点．有正规内点的单折边封闭折线，称为正规闭折线，ｋ环正规闭折线Ａ１Ａ２…Ａｎ论证Ａｋ（ｎ），任一Ａｋ（ｎ）总可看成ｋ个大小不同的多边形连结而成，其中较小的含在较...     

圆内接闭折线垂心的一个有趣性质

本文揭示圆内接闭折线垂心的一个有趣性质 .为了节省篇幅 ,沿用文献 [1 ]中的有关概念而不复述其意义 .本文得到的结果是 :定理　设 3≤ｋ <ｎ ,Ａ1Ａ2 Ａ3 …ＡｎＡ1内接于圆Ｏ ,其垂心为Ｈ ,且其顶点子集 {Ａ1,Ａ2 ,… ,Ａｋ}、{Ａｋ,Ａｋ+ 1,… ,Ａｎ,Ａ1}、{Ａ2 ,Ａ3 ,… ,Ａｋ-1}、{Ａｋ + 1,Ａｋ+ 2 ,… ,Ａｎ}的垂心分别为Ｈ1、Ｈ2 、Ｈ3 、Ｈ4,则△ＨＨ1Ｈ2 ≌△ＯＨ4Ｈ3 证明　以圆心Ｏ为原点建立直角坐标系ｘＯｙ ,设顶点Ａｉ 的坐标为 (ｘｉ,ｙｉ) (ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ) ,点Ｈ、Ｈ1、Ｈ2 、Ｈ3 、Ｈ4的坐标分别为 (ｘ ,ｙ)、(ｘ1,ｙ…     

成果集锦

关于闭折线的“可对称化”问题随着闭折线研究的深入,其应用前景日益看好．由于“对称的”闭折线有着多方面的应用,因此,什么样的闭折线可画成对称形的问题,引起关注．比如,边数为３,４,５的闭折线,均可用适当方式画成（轴）对称形（图１）：图１图２但有的六边闭折线（如图２所示）,只要不改变每条边的折性,则无论如何,画不成对称形．定义　如果不改变闭折线任一条边的折性,而通过适当改变边的长度和顶角的大小能把它画成轴对称图形的,就称为可对称化的闭折线．定理１　对ｎ≥３,凸ｎ边形可对称化．我们业已证明［１］,ｎ边…     

圆内接闭折线的k级垂心线长公式

本文推导了圆内接闭折线的k级垂心线长公式.     

关于球内接多面体的一个轨迹命题

文[1]得到了一个关于圆内接闭折线的一个轨迹命题:命题若闭折线的各顶点均为定圆 O 上的动点,且各顶点到平面内一定点 P(异于圆心O)的距离的平方和为定值,则这条动闭折线的重心的轨迹是圆 O 的一条弦,这条弦与 OP 互相垂直.本文将该命题推广到球内接多面体中.     

圆外切闭折线的折心及其性质

本文建立了一般圆外切闭折线的折心概念，并揭示了它的若干基本性质．     

谈圆外切闭折线的奈格尔点的性质

文献[1]建立了圆外切闭折线的奈格尔点的概念,并研究了它的若干性质.本文对圆外切闭折线的奈格尔点的性质作进一步探讨.首先引入圆外切闭折线的奈格尔点的定义. 定义[1] 设闭折线1231nAAAAAL(以下简记为()An)外切于⊙(,)Ir,以圆心I为原点建立直角坐标系xIy,设顶点iA的坐标为(xiy)(i=1,2,L,n), 令 1nNiixx==, 1nNiiyy== (1) 则点N(,NNxy)称为闭折线()An的奈格尔点. 定理1设闭折线()An外切于⊙(,)Ir,其奈格尔点为N,设闭折线的内角11iiiAAA-+=qi(1,2,,in=L,且0A为1,nnAA+为1A), 则 2222122(1)cscnijijniANAAnr??+=-邋…     

也谈圆内接闭折线垂心的性质

贵刊[1]、[2]、[3]研究了圆内接闭折线垂线的一系列性质.笔者在研究这一问题时,发现其中有一种奇特的中心对称关系.利用这种中心对称性,较为简洁地证明了圆内接闭折线垂心的几个性质.为节省篇幅,本文沿     

关于圆外切闭折线的几个不等式

设△ＡＢＣ的三边长为ａ,ｂ,ｃ,其内切圆为⊙(Ｉ,ｒ),则有下面的不等式(证略):ＡＩ2+ＢＩ2+ＣＩ2≥14(ａ2+ｂ2+ｃ2)+3ｒ2(1)文献[1]中还有以下不等式:ＡＩ+ＢＩ+ＣＩ≥6ｒ(2)(1),(2)中等号成立当且仅当ａ=ｂ=ｃ.定理1　设平面闭折线Ａ1Ａ2Ａ3…ＡｎＡ1有内切圆为⊙(Ｉ,ｒ),其边长为|ＡｉＡｉ+1|=ａｉ(ｉ=1,2,…,ｎ,且Ａｎ+1为Ａ1),则有:∑ｎｉ=1ＡｉＩ2≥14∑ｎｉ=1ａ2ｉ+ｎｒ2(3)当且仅当ａ1=ａ2=…=ａｎ时取等号.　　证明　设已知闭折线的边ＡｉＡｉ-1,ＡｉＡｉ+1分别与内切圆切于点Ｂｉ-1,Ｂｉ(如图1),设|ＡｉＢｉ-1|=|ＡｉＢｉ|=ｘｉ(ｉ…     

关于圆外切闭折线的一个性质

对于三角形,下面的结论是熟知的[1]: 命题1 平分三角形的周长和面积的直线必经过三角形的内心. 这一性质可以推广到任意的圆外切多边形中[1]: 命题2 平分圆外切多边形的周长和面积的直线必经过三角形的内心. 本文拟将这一性质作进一步推广,证明关于圆外切闭折线的一个性质. 约定 符号121nAAAADL表示闭折线12AA 1nAAL的有向面积[2],ABCD表示△ABC的有向面积. 定理 设闭折线121nAAAAL有内切圆⊙(,),,IrMN分别是边12AA、1kkAA (1,kn相似文献   

圆内接闭折线的一个美妙性质

众所周知,关于三角形有如下命题: 定理1 设△ABC三条边BC、CA、AB 的中点分别为D、E、F,则△ABC的外心是△DEF的垂心．本文拟应用向量方法,将这个定理推广到一般圆内接闭折线中．为了叙述简便起见,本文约定:符号A(n)表示任意一条平面闭折线     

八谈圆内接闭折线垂心的性质

本文沿用拙文[1]中的有关概念,揭示圆内接闭折线垂心的两个有趣性质. 定理1 设闭折线1231nAAAAAL内接于⊙(,)OR,其垂心为H,其二级顶点子集jmV的垂心为(1)jmHjmn相似文献   

欧拉圆心与顶点重合的闭折线的性质

顶角为120°的等腰三角形有一个不太引人注目的奇特性质(根据欧拉圆的定义容易验证):它的欧拉圆心恰与等腰三角形的顶点重合. 本文研究一般的圆内接闭折线当它的欧拉圆心[1]与某一顶点重合时的特殊性质.为便于叙述,特作如下约定: 符号⊙(,)OR表示平面内以点O为圆心R为半径的圆;符号()An表示任意一条内接于⊙(,)OR的闭折线1231nAAAAAL;平面内以()An的外心O为原点已建立了直角坐标系xOy. 定义 (I)由闭折线()An的任意(1kk# )n个顶点1'A2,',A…,'kA所组成的集合{1'A2,',A…,'kA}称为()An的一个顶点子集; (II)设闭折线)(nA的任意一个…     

也谈圆外切闭折线的优美性质

贵刊文[1]揭示了圆外切闭折线的一个优美性质,读后得盖匪浅.本文试对该性质作进一步的推广. 我们约定:符号()An表示外切于⊙(,)Ir的任意一条闭折线1231nAAAAAL. 在闭折线()An的两条边上各取一点M和N,为了确定起见,不妨设点M在边12AA上,点N在边1kkAA+上(1kn#,且1nA+为1A,如下图).于是 (i)M和N两点将()An分成两条开折线,即 23kMAAANL ① 和 121kknNAAAAM++L. ② 本文约定:这两条开折线的长分别记作1l和2l. (ii)在开折线①和②中连结MN,可以得到两条闭折线,即 23kMAAANML …     

圆内接闭折线的k号心定理——三角形垂心定理的奇妙推广

众所周知，关于三角形有如下共点线定理： 定理1三角形的三条高（所在的三条直线）必相交于同一点． 这个点称为三角形的垂心．定理1称为三角形的垂心定理． 本文拟应用向量方法，对定理1作多方位地类比推广，导出一个更具普遍性的、关于一般圆内接闭折线之k号心的共点线定理，供读者赏析．     

七谈圆内接闭折线垂心的性质

在拙文[1]~[6]中,我们对圆内接闭折线垂心的性质已作过多方面的探讨.这里再作点补充. 为了叙述简便起见,本文约定:符号()An表示内接于⊙(,)OR的任意一条闭折线 1231nAAAAAL. 从闭折线()An的n个顶点中,任意除去两个顶点jA和mA,其余(2)n-个顶点组成的集合,称为()An的二级顶点子集,记作(1jmV j)mn相似文献   

关于圆内接闭折线的一个轨迹命题

文献[1]中有下面的一个轨迹命题:命题平面内到已知闭折线的各顶点的距离的平方和为定值的点的轨迹,是以这闭折线的重心为圆心的一个圆.反过来,如果一条闭折线的各顶点是定圆上的动点,且各顶点到平面内一定点的距离的平方和为定值,那么这条动闭折线的重心的轨迹是什么?本文将证明,这条动闭折线的重心的轨迹是一条线段,即有定理1 若闭折线的各顶点均为定圆O     

n边闭折线最大自交数公式简证

定理　若ｎ≥ 4为偶数 ,则ｎ边闭折线Ｚｎ 的最大自交数θ0 (ｎ) =ｎ2 -4ｎ 22 .这是杨林、王方汉早已得到的公式 ,这里给以简证 .设Ｚｎ 某边与其不相邻的ｎ -3边都相交 ,因ｎ为偶数 ,则在该边同侧的顶点下标奇偶性必相同 (记此结果为① ) ;如果闭折线Ｚｎ 上有 3条边上自交     

The Minimum Norm of Solutions of the Boolean Matrix-Equation A~k=J

设Ａ是一个布尔矩阵，γ（Ａ）是布尔矩阵方程Ａｋ＝Ｊ成立的最小整数ｋ，σ（Ａ）是Ａ中元素“１”的数目．本文考察了参数Ｍ′（ｋ，ｎ）＝ｍｉｎ｛σ（Ａ）｜Ａｋ＝Ｊ，ｔｒａｃｅ（Ａ）＝０｝，并得到Ｍ′（２，ｎ）和Ｍ′（ｋ，ｎ）ｆｏｒｋ≥２ｎ－６．另外，该文还完全确定了满足ｔｒａｃｅ（Ａ）＝０，且σ（Ａ）＝３ｎ－３的Ａ２＝Ｊ的解的特征     

“一般折线”研究综述(续)

“一般折线”研究综述（续）天津市宝坻县教研室杨之四、星形折线研究除在折线一般性质研究中取得的成果外，还对一种特殊折线：回式星形折线（Ｓ（ｎ）＝０，也叫单折边星形）进行了研究，以下简称星形．１９５１年５月，我国数学教育家傅种孙在著名讲演《从五角星谈起》...