一类抽象函数单调性的证明

有一类抽象函数,它的单调性可以通过函数方程及附加条件来进行证明．这类抽象函数的附加条件大致可分为两类：第Ⅰ类是当x〈1或x〉1时。f（x）〉a或f（x）〈a;第Ⅱ类是当x〈0或x〉0时,f（x）〉0或f（x）〈a．判断与证明这两类附加条件下抽象函数的单调性,一般可通过以下方式来进行．     

三次函数零点个数的判别

定理1 设函数 f（x）=ax^3＋bx^2＋cx＋d（a≠0）的两个极值分别为y1和y2,则f（x）有三个零点的充分必要条件是{b^2-3ac〉0,y1y2〈0.     

对一道高考压轴题的探究

2013年上海高考理科数学压轴题如下：给定常数c〉0，定义函数f（x）=2｜x＋c＋4｜-｜x＋c｜．数列a1，a2，a3，…满足an＋1=f（an），n∈N＊．     

一道导数调研试题的解法探究

题目 已知函数f（x）=x^2-2acoskπ·lnx（k∈N^＊,a∈R,且a〉0）． （1）讨论函数f（x）的单调性;     

把握问题本质 洞悉解题奥秘——2013年高考数学（四川卷）“压轴题”解题思路评析

一、试题再现 已知函数f（x）={x2＋2x＋a,x〈0, lnx,x〉0,其中a是实数．设A（x1,f（x1））,B（x2,f（x2））为该函数图像上的两点,且x1〈x2.     

利用导数解题应注意的几个问题

一、利用导数求函数的单调区间应注意单调区间的写法 例1 求函数f（x）=x^4-2x^2＋3的单调区间. 解f′（x）=4x^3-4x=4x（x＋1）（x-1）． 由f′（x）〉0,可得x〉1或-1〈x〈0; 由f′（x）〈0,可得x〈-1或0〈x〈1． ∴f（x）的增区间为[-1,0],[1,＋∞）;减区间为（-∞,-1],[0,1]．     

二次函数零点与二次方程根的分布处理策略

1一元二次函数图象与一元二次方程根的关系一元二次函数f（x）=ax2＋bx＋c（a〉0）一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a〉0）Δ=b2-4ac.1）当Δ〉0时,f（x）的图象与x轴有2个交点,f（x）=0有2个相异实根;     

何谓非零函数？

题目 若非零函数f（x）对任意的实数a,b均有f（a＋b）=f（a）f（b）,且当x〈0时,以f（x）〉1．求证：     

奇思妙解函数中的“恒成立”

例题show：已知函数f（x）=1＋x/1-xe^-ax.（Ⅰ）设a〉0，讨论以y=f（x）的单调性；（Ⅱ）若对任意x∈（0，1）恒有f（x）〉1，求a的取值范围。     

全国卷Ⅱ（理）第22题

题目 设函数f（x）=1-e^-x． （Ⅰ）证明：当x〉-1时,f（x）≥x/x＋1; （Ⅱ）设当x≥0时,f（x）≤x/ax＋1,求a的取值范围．     

能力小题训练2——函数

1．已知函数f（x）=a^x（a〉0,a≠1）的图象经过点P（1/2,1/2）,则常数a的值为（ ）．     

2010、2009年高考中的分段函数

1 分段函数的求值（域）问题 例1 （2010陕西文）已知函数f（x）＝{3x＋2,x〈1,x2＋ax,x≥1,若f（f（0））＝4a,则实数a＝__. 解析 f（0）=2,f（f（0））=f（2）=4＋2a=4a,所以a=2.     

2014年高考数学必做解答题——导数及其应用

第1点导数与函数（）必做1已知函数f（x）=eax·（a/x+a+a）,其中a≥-1.（1）求f（x）的单调递减区间;（2）若存在x₁>0,x₂<0,使得f（x₁）2）,求a的取值范围.牛刀小试破解思路第（1）问求出导数后,分a=-1,-10求出单调递减区间.第（2）问注意理解条件是存在x₁>0,x₂<0,使得f（x₁）2）,可以直接论证或者构造反例求解.     

一道竞赛题的解法分析与命题背景

2009年浙江省高中数学竞赛试题第20题： 题目设函数f（x）=3ax^2-2（a＋b）x＋b，其中a〉0，b为任意常数．证明：当0≤x≤1时，有｜f（x）｜≤max{f（0）,f（1）}．     

例谈“恒成立不等式”问题

本文“恒成立不等式”问题的界定：形如，f（x,a）〉0（或≥0或〈0或≤0），当x∈区间D时恒成立，求a的范围的问题．所谓“x∈D时，f（x,a）〉0恒成立”，从集合的观点看，就是D是不等式f（x,a）〉0的解集的子集；从数形结合的观点看，就是当x∈D时，函数y=f（x,a）的图象在x轴上方；从函数观点看，就是x∈D时，函数y=f（x，a）的最小值大于0．     

更正两道流传很广的函数题的答案

题1已知函数f（x）=x/ax＋b（a,b为常数,且a≠0）,满足f（1）=1/2,f（x）=x有唯一解,求函数f（z）的解析式和f[f（-3）]的值．     

江苏卷第20题（2）

题目 设f（x）是定义在区间（1,＋∞）上的函数,其导函数为f′（x）．如果存在实数a和函数h（x）,其中h（x）对任意的x∈（1,＋∞）都有h（x）〉0,使得f′（x）=h（x）（x^2-ax＋1）,则称函数f（x）具有性质P（a）．     

函数图像新题展示

1．函数f（x）=xln │x│（x≠0）的大致图像是 2．函数y=│x│ax/x（a〉1）的图像的大致形状是     

谈谈有效课堂的构建——倪红老师一节课的教学特色与学习体会

1问题1 （1）熟悉的问题y=ax和y=b/x． （2）“叠加”之后新的问题：f（x）=ax＋b/x（a〉0,b〉0）． （3）先来研究特殊情形：f（x）=x＋1/x． （4）留有思考余地：f（x）=ax＋b/x（a〉0,b〉0）。     

2006女子数学奥林匹克

第一天 1．设a＞0，函数f：（0，＋∞）→R满足f（a）=1．如果对任意正实数x、y，有f（x）f（y）＋f（a/x）f（a/y）=2f（xy）, 求证：f（x）为常数。