数学奥林匹克高中训练题(70)

第一试一、选择题 (每小题 6分 ,共 36分 )1 .若集合A =lgx ,lgy ,lgx yx 的一个子集是B ={0 ,1 },则A的最大元素的最大可能值是 (　　 ) .(A) 1　 (B) 2lg 3　 (C)lg 1 1　 (D)lg 1 52 .ABCD是单位正方形 ,P是边AB的中点 .沿着PC和PD把ABCD折叠成四面体PACD(A与B重合 ) ,则四面体PACD的体积等于 (　　 ) .(A) 330 　 (B) 32 4 　 (C) 32 0 　 (D) 31 23.若某圆柱的体积与表面积在数值上恰好相等 ,则该圆柱的体积的最小可能值是(　　 ) .(A) 48π (B) 50π (C) 54π (D) 6 6π4 .设f0 =0 ,f1=1 ,fn 2 =fn 1 fn(n =0 ,1…     

数学奥林匹克高中训练题(69)

第一试一、选择题 (每小题 6分 ,共 36分 )1 .如果x、y >0 ,logxy logyx =1 03,xy =1 4 4,那么 ,x y的值是 (　　 ) .(A) 2 0 3　　　　 (B) 2 6 3(C) 2 4 3(D) 1 0 32 .设z=m ni是方程az4 ibz3 cz2 idz e=0的一个复数根 ,这里a ,b ,c ,d ,e,m ,n∈R .则下列各数一定是方程的根的是 (　　 ) .(A)m -ni　　　 (B) -m ni(C)n mi　　　 (D) 1 -m ni3.已知等差数列 {an}和等比数列 {bn}的各项都是正数 ,且a1=b1,a2n 1=b2n 1.那么 ,一定有 (　　 ) .(A)an 1 1　　 (D)an 1≥bn 14.在…     

数学奥林匹克初中训练题(70)

第一试一、选择题 (每小题 7分 ,共 4 2分 )1 .已知实数a、b满足 1a 1b=1 ,M =ba ab,N =ba2 ab2 .则M、N的大小关系是(　　 ) .(A)M >N　　　 (B)M =N(C)M 0 )上的两个点 ,AC⊥x轴于点C ,BD⊥y轴于点D ,AC、BD交于点E .则△ADE与△BCE的面积关系是 (　　 ) .(A)S△ADE>S△BCE (B)S△ADE=…     

数学奥林匹克初中训练题(69)

第一试一、选择题 (每小题 7分 ,共 4 2分 )1 .已知a、b、c、d是四个不同的实数 ,且(b d) (b a) =1 ,(c d) (c a) =1 .则 (b d) (c d)的值为 (　　 ) .(A) 1　　 (B) - 1　　 (C) 2　　 (D) 02 .某班进行一次测试 ,试卷由 2 0道选择题组成 .每题答对得 5分 ,不答得 1分 ,答错得 0分 .那么 ,下列分数 (　　 )是不可能的 .(A) 91　　 (B) 92　　 (C) 95　　 (D) 973.O、I分别是锐角△ABC的外心、内心 .O′、I′分别是O、I关于BC的对称点 .已知A、B、O′、C四点共圆 .那么 ,点I′的位置是 (　　 ) .(A)在⊙O外　　 (B)在⊙O内(C)…     

数学奥林匹克高中训练题(71)

第一试一、选择题 (每小题 6分 ,共 36分 )1 .已知a、b∈N ,a10 0 是一个 1 2 0位数 ,ab是一个 1 0位数 .则b的值是 (　　 ) .(A) 7　　 (B) 8　　 (C) 9　　 (D) 1 02 .已知对每一对实数x、y ,函数f满足f(x) f(y) =f(x y) -xy - 1 .若f( 1 ) =1 ,则满足f(n) =n(n∈Z)的个数是 (　　 ) .(A) 1个　　 (B) 2个　　 (C) 3个(D)无数多个3.在绘制f(x) =ax2 bx c(a≠ 0 )的图像时先造一个表 ,当表中对x的值以相等间隔的值增加时 ,函数f(x)所对应的值依次为 :384 4,396 9,4 0 96 ,4 2 2 7,4 356 ,4 489,4 6 2 4 ,4 76 1 .其中有一个值不正…     

数学奥林匹克问题

R、r分别表示△ABC的外接圆、内切圆半径 .证明 :设BC =a ,CA =b ,AB =c ,AP交BC于点D .由重心性质知BD =DC .因为AG =23AD ,GD =13AD ,DP =BD·DCAD =a24AD,又AD2 =12 b2 c2 - 12 a2 ,所以 ,AG·GP =23AD 13AD a24AD =29AD2 16 a2=29× 12 b2 c2 - 12 a2 16 a2=19(a2 b2 c2 ) .易知a2 b2 c2 ≥bc ca ab .故AG·GP≥ 19(bc ca ab) .①设△ABC的三边BC、CA、AB上的高分别为ha、hb、hc.易证bc =ha2R ,ca =hb2R ,ab =hc2R .故bc ca ab =2R(ha hb hc) .②又ha=a b ca ·r,hb=a b cb ·r ,hc=a …     

2005中国数学奥林匹克的不等式题

2005年中国数学奥林匹克的试题比2004年容易些,只有第4题较困难.如下:已知数列{an}满足条件a1=2116,2an-3an-1=32n 1,n≥2.①设m为正整数,m≥2.证明:当n≤m时,有an 32n 31mm-23n(m-1)m相似文献   

数学奥林匹克问题

本期问题初 1 4 3　凸四边形ABCD的四边都与⊙O相切 ,且各边长分别为a、b、c、d .求证 :OA·OC OB·OD =abcd .(黄全福　安徽省怀宁县江镇中学 ,2 4 6 1 4 2 )初 1 4 4　已知ABCD是正方形 ,P是边BC上的一点 ,直线DP交AB的延长线于点Q .若DP2 -BP2 =BP·BQ ,试求∠CDP的度数 (答案不能用反三角函数表示 ) .(吴伟朝　广州大学数学与信息科学学院 ,51 0 4 0 5)高 1 4 3　设△ABC的垂心H位于形内 ,O为△ABC的外心 .若OH⊥OA ,则π4 <∠A <π3.(阚政平　安徽师范大学附中 ,2 4 1 0 0 1 )高 1 4 4　已知a、b、c为正实数 .证…     

数学奥林匹克问题

本期问题初 1 4 1　如图 1 ,已知△ABC内接于⊙O ,图 1AB >AC ,弦EF∥BC ,FA、EA的延长线分别与BC的延长线交于点P、Q ,AD为∠BAC的平分线 .求证 :1CD- 1BD=1DP 1DQ.(郭　璋　北京市朝阳区教育研究中心 ,1 0 0 0 2 8)图 2初 1 4 2　如图 2 ,∠ABC =∠AEF =90°,∠BAC =∠EAF ,且A、C、F三点共线 ,BF交射线EC于点P .求证 :AP⊥BE .(黄全福　安徽省怀宁县江镇中学 ,2 4 6 1 4 2 )高 1 4 1　求所有的函数f:R→R ,使得对任意的x、y∈R ,都有f(xf(y) ) =( 1 -y)f(xy) x2 y2 f(y) .(吴伟朝　广州大学数学与信息科学学院…     

2003女子数学奥林匹克

(2 0 0 3- 0 8- 2 7—0 8- 2 8,武汉)第一天1.已知D是△ABC的边AB上的任意一点,E是边AC上的任意一点,连结DE ,F是线段DE上的任意一点.设ADAB=x ,AEAC=y ,DFDE=z.证明:(1)S△BDF=(1-x)yzS△ABC,S△CEF=x(1-y) (1-z)S△ABC;(2 ) 3 S△BDF 3 S△CEF≤3 S△ABC.2 .某班有4 7个学生,所用教室有6排,每排有8个座位,用(i,j)表示位于第i排第j列的座位.新学期准备调整座位,设某学生原来的座位为(i,j) ,如果调整后的座位为(m ,n) ,则称该生作了移动[a ,图1b]=[i-m ,j-n],并称a b为该生的位置数.所有学生的位置数之和记为S .求…     

首届女子数学奥林匹克

(2 0 0 2 0 8 1 6～ 0 8 1 7,珠海 )第一天一、求出所有的正整数ｎ ,使得 2 0ｎ +2能整除2 0 0 3ｎ +2 0 0 2 .二、夏令营有 3ｎ(ｎ是正整数 )位女同学参加 ,每天都有 3位女同学担任值勤工作 .夏令营结束时 ,发现这 3ｎ位女同学中的任何两位 ,在同一天担任值勤工作恰好是一次 .(1)问 :当ｎ =3时 ,是否存在满足题意的安排 ?证明你的结论 ;(2 )求证 :ｎ是奇数 .三、试求出所有的正整数ｋ ,使得对任意满足不等式ｋ(ａｂ +ｂｃ+ｃａ) >5 (ａ2 +ｂ2 +ｃ2 )的正数ａ、ｂ、ｃ,一定存在三边长分别为ａ、ｂ、ｃ的三角形 .四、⊙Ｏ1和⊙Ｏ2 相交于Ｂ…     

2004中国数学奥林匹克

第一天( 2 0 0 4 - 0 1 - 0 8)一、凸四边形EFGH的顶点E、F、G、H分别在凸四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上,且满足AEEB·BFFC·CGGD·DHHA=1.而点A、B、C、D分别在凸四边形E1F1G1H1的边H1E1、E1F1、F1G1、G1H1上,满足E1F1∥EF ,F1G1∥FG ,G1H1∥GH ,H1E1∥HE .已知E1AAH1=λ.求F1CCG1的值. (熊　斌　供题)二、已给正整数c ,设数列x1,x2 ,…满足x1=c ,且xn=xn -1 2xn -1- (n 2 )n 1,n =2 ,3,…,其中[x]表示不大于x的最大整数.求数列{xn}的通项公式. (黄玉民　供题)三、设M是平面上n个点组成的集合,满足:(1)…     

2004西部数学奥林匹克

第一天 一、求所有的整数n,使得n4+6n3+11 n2+3n+31是完全平方数.     

2003年中国数学奥林匹克

第一天 ( 2 0 0 3 0 1 1 5)一、设点Ｉ、Ｈ分别为锐角△ＡＢＣ的内心和垂心 ,点Ｂ1、Ｃ1分别为边ＡＣ、ＡＢ的中点 .已知射线Ｂ1Ｉ交边ＡＢ于点Ｂ2 (Ｂ2 ≠Ｂ) ,射线Ｃ1Ｉ交ＡＣ的延长线于点Ｃ2 ,Ｂ2 Ｃ2 与ＢＣ相交于Ｋ ,Ａ1为△ＢＨＣ的外心 .试证 :Ａ、Ｉ、Ａ1三点共线的充分必要条件是△ＢＫＢ2 和△ＣＫＣ2 的面积相等 .二、求出同时满足如下条件的集合Ｓ的元素个数的最大值 :(1)Ｓ中的每个元素都是不超过 10 0的正整数 ;(2 )对于Ｓ中任意两个不同的元素ａ、ｂ ,都存在Ｓ中的元素ｃ ,使得ａ与ｃ的最大公约数等于 1,并且ｂ与ｃ的最大…     

2O08中国数学奥林匹克

第一天 1.设锐角△ABC的三边长互不相等,O为其外心,点A′在线段AO的延长线上,使得∠BA′A＝∠CA′A.过A′作A′A1⊥AC、A′A2⊥AB,垂足分别为A1、A2,作AHA⊥BC,垂足为HA.记HAA1A2的外接圆半径为RA,类似地可得RB、RC.求证:     

2001年中国数学奥林匹克

第一天 (2001-02-13 9∶30-14∶00 香港) 一、给定a,2~(1/2)相似文献   

2009中国数学奥林匹克

第一天 1.给定锐角△PBC,PB≠PC.设A、D分别是边PB、PC上的点,联结AC、BD交于点O.过O分别作OE⊥AB于E,OF⊥CD于F,线段BC、AD的中点分别为 M、N.