直角三角形“破解”抛物线中的平行四边形

<正>在直角坐标系内,已知平行四边形的两个顶点,确定另外两顶点(一顶点在抛物线上,另一顶点在直线上)的类型,是抛物线中一类比较综合的题目,也颇受中考命题者的青睐.笔者通过构造直角三角形,利用平移和全等的知识有效地结合了平行四边形的两个判定(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形和对角线互相平分的四边形是平行四边形),实现了对这一类型问题的轻松解答.试举三例,帮助读者体会在解决问     

一道二次函数应用题的编制历程

<正>一、试题展示已知直线l:y=kx+b与抛物线y=x²相交于A(-1,m),B(2,n).(1)求直线l的解析式.(2)将原抛物线向下平移t(t> 0)个单位,得到的新抛物线与直线l相交于C,D两点(C在D左侧).(1)求证:AC=BD;(2)点Q在x轴上,设新抛物线顶点为P,当四边形PCDQ为平行四边形时,求它的面积.二、命题过程1.命题立意考查的主要知识点:点的坐标,一次函数的解析式、二次函数     

直角坐标系中的图形平移 课标人教版七年级

【题目】 如图1,在平面直角坐标系中,已知O为原点,四边形ABCD为平行四边形,A、B、C的坐标分别是A(一3刁牙),B(一2,3涯),C(2,3涯),点D在第一象限. (1)求D点的坐标; (2)将平行四边形ABcD先向右平移涯个单位长度,再向下平移涯个单位长度,所得的四边形A,B,c,D,四个顶点坐标是多少? (3)求平行四边形ABCD与四边形A,B、CID,重叠部分的面积?李朗 【解答】 (1)’.’B、C的坐标为B(一2,3涯),C(2,3涯), :。BC一4. :.由A(一3,涯)向右平移4个单位长度得D(1,在); (2)A(一3,万),B(一2,3万),C(2,3涯),D(l,涯),先向右平移万个单位,分别得(一3…     

最短距离问题的解题策略

正最短距离问题在近几年中考中频繁出现,经常与角、三角形、四边形、坐标轴、抛物线等相结合,学生在解题时常常找不到解题思路.其实常见的最短距离问题归纳起来有四种基本模型,下面结合例题谈谈这一类型题目的解题策略.一、两点一线"两点一线"是指有两个定点A、B和一条直线(如图1和图2),在直线l上取一点P,使AP+BP最短(即两个定点和一个动点).下面分为两种基本模型讨论.     

抛物线中平行四边形形状的判定

抛物线与平行四边形的融合,是近年来中考命题的新亮点,一方面考查学生平行四边形的判定,另一方面考查学生抛物线的知识.这类题目通常和动点问题相联系,综合考查学生分类讨论的数学思想.一、一动点在一定线段上运动例1(2009年江西)如图1,抛物线y=-x~2+2x+3与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C,顶点为D.(1)直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴;(2)连接BC,与抛物线的对称轴交于点E,     

四边形性质探索

平行四边形的性质与判定A组1.在平行四边形 A BCD中 ,若∠ A∶∠ B =5∶ 4 ,则∠ C的度数是 .2 .已知 ABCD的周长为 6 0厘米 ,对角线交于 O,△ BOC的周长比△ AOB的周长小 8厘米 ,则 AB =厘米 ,BC =厘米 .3.以过不在同一直线上的三个顶点 A、B、C为顶点 ,可作平行四边形的个数是 (　　 )( A) 3个 .　 ( B) 2个 .　 ( C) 4个 .　 ( D) 1个 .4 .下列说法正确的是 (　　 )( A)一组对边相等 ,另一组对边平行的四边形是平行四边形 .( B)两组邻角互补的四边形是平行四边形 .( C)相邻的两角都互补的四边形是平行四边形 .( D)一组对…     

一道高考几何题存在性问题的代数证明

(2005年重庆第16题)连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是(填写所有正确选项的序号).①菱形②有3条边相等的四边形③梯形④平行四边形⑤有一组对角相等的四边形本小题是一个区分度较高的试题,很多学生无从下手,因其是几何作图的存在性问题,所以没有办法构造出适合题意的四边形,要根据以往的解题经验联想,从而构造出特殊的四边形,特殊化是解决此题的思维利器.显然,平行四边形和菱形不可能,梯形是可能的.条件②有3条边相等的四边形,如图1所示,构造如下:设点D是抛物线的顶点,点A,C是抛物线上关于其对称轴对称的两点,以点C为圆心,DC为半径…     

四边形性质探索

平行四边形的性质与判定A组1.在平行四边形ABCD中,若∠A∶∠B=5∶4,则∠C的度数是.2.已知ABCD的周长为60厘米,对角线交于O,△BOC的周长比△AOB的周长小8厘米,则AB=厘米,BC=厘米.3.以过不在同一直线上的三个顶点A、B、C为顶点,可作平行四边形的个数是()(A)3个.(B)2个.(C)4个.(D)1个.4.下列说法正确的是()(A)一组对边相等,另一组对边平行的四边形是平行四边形.(B)两组邻角互补的四边形是平行四边形.(C)相邻的两角都互补的四边形是平行四边形.(D)一组对边平行,一组对角互补的四边形是平行四边形.5.某平行四边形的对角线长为a,b,…     

分类例说几何中考题

<正>本文对河北中考中出现的由"形动"而引发的动态几何问题略作分析.举例如下:1.直线的平移运动问题例1(2000年)在如图1所示的直角坐标系中,点C在y轴的正半轴上,四边形OABC为平行四边形,OA=2,∠AOC=60°,以OA为直径的⊙P经过点C,点D在y轴上,DM为始终与y轴垂直且与AB边相交的动直线.设DM与AB边的交点为M(点M在线段AB上,     

利用抛物线的对称性解题

我们知道,抛物线y=ax~2+bx+c是以直线x=-b/2a为对称轴的轴对称图形,它的顶点在对称轴上.由此可以讲一步得到如下结论:(1)抛物线上纵坐标相同的两点是对称点,抛物线上对称两点的纵坐标相同.(2)若抛物线上有两点(x_1,y_1),(x_2,y_1),则抛物线的对称轴为:直线x=x_1+x_2/2.解决有关抛物线的问题     

圆锥曲线中一类充要条件的应用(高二、高三)

研究近年高考试题,发现一些有关圆锥曲线的试题,同以下两个充要条件有密切关系.1.M、N是抛物线y2=2px(p>0)对称轴上的两点(非顶点),过点M的直线与抛物线交于A、B两个点,直线AN、BN斜率分别为k1,k2,则k1 k2=0是M、N关于顶点对称的充要条件(如图1、图2).     

梯形常用辅助线的添加方法

梯形是一种特殊的四边形,它是平行四边形和三角形的"综合".可以通过适当地添加辅助线,构造三角形、平行四边形,再运用三角形、平行四边形的相关知识去解决梯形问题.下面就梯形中辅助线的常见添加方法举例说明.一、平移1.平移一腰:从梯形的一个顶点作一腰的平行线,把梯形转     

一道容易出错的竞赛题

86年江苏省初中数学竞赛第五题: 在平面上任意给定5个点,其中任何三点不在一条直线上,并且它们不是凸五边形的顶点,证明下列两个结论中必有一个成立: (1) 存在以某四点为顶点的凸四边形,而另一点在该四边形内;     

抛物线中过定点的一个推广

<正>我们知道抛物线中有一个过定点定理:过抛物线y2=2px(p>0)的顶点O(0,0)作两条垂直的直线OP、OQ分别交抛物线于P、Q两点,则直线PQ必过定点B(2p,0).如果把定理中的"顶点"改为"抛物线上一特殊点A(a,b)",那么直线PQ又会过哪个定点呢?【例题】(2013年吉安市一模考试试题)已知抛物线y2=4x上的一个点A(1,2),过A作两条垂直的直线AP、AQ分别交抛物线于P、Q两点,则原点O到直线     

立体几何中的计数问题

一、选择题1.对于已知直线 a,如果直线 b 同时满足下列三个条件:①与直线 a 异面;②与直线 a 所成的角为定值θ;③与直线 a 的距离为定值 d.那么,这样的直线 b 有( ).A.1条 B.2条 C.3条 D.无数条2.如果一条直线与一个平面垂直,那么,称此直线与平面构成一个"正交线面对".在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的"正交线面对"的个数是( ).A.48 B.36 C.24 D.183.球面上有10个圆,这10个圆可将球面分成 n个区域,则 n 的最大值与最小值之和等于( ).A.193 B.153 C.103 D.634.设四棱锥 P-ABCD 的底面不是平行四边形,用平面 a 去截这个四棱锥,使得截面四边形是平行四边形,则这样的平面α( ).A.不存在 B.只有1个C.恰右4个 D.有无数个     

一道值得回味的竞赛题

1986年江苏省初中数学竞赛有下面一道试题:“在平面上任意给定5个点,其中任何三点不在一条直线上,并且它们不是凸五边形的顶点。证明下列两个结论中必有一个成立: (1)存在以某四点为顶点的凸四边形,使得另一点在该四边形内;(2)存在以某三点为顶点的三角形,使得其余两点在该三角形内。”这道题仅仅涉及三角形、凸四边形与五边形等最基本的概念,证明所需要的几何知识也     

“k·PA+PB”型几何最值问题的解题策略

<正>"k·PA+PB"型的动点几何最值问题是近几年全国各地中考试题中的热点,也是难点.本文选取几例中考题,谈谈此类问题的解题思路,希望能给大家一点启发.一、构造二次函数模型求解例1(2018年重庆中考题)抛物线■与x轴交于点A,B(点A在点B的左边),与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.(1)如图1,连结CD,求线段CD的长;(2)如图2,点P是直线AC上方抛物线上     

对抛物线两个命题的探究

本文将对以下两个与抛物线有关的命题进行探究．命题1在抛物线y2=2px(p>0)中,过顶点O作两直线交抛物线于A、B两点,若(OA|→). (DB|→)=0,则直线AB过x轴上一定点(2p,0)．命题2在抛物线y2=2px(p>0)中,过焦点F(p/2,0)作不过顶点O的一条直线交抛物线     

抛物线的一个有趣性质的引申及应用

《中学数学杂志》2005年第2期《新发现圆锥曲线的一个性质》一文(下称文[1])中,姜坤崇老师给出了抛物线的一个有趣性质.本文对文[1]的性质给予引申并提出过抛物线上一点的切线的一个新作法.为方便起见,先摘录文[1]的性质.性质1[1]给定抛物线C:y2=2px(p>0),O是顶点,过y轴上一点M(0,m)(m≠0)引直线交C于P、Q两点,记kOP,kOQ分别为直线OP、OQ的斜率,则kOP+kOQ为定值2mp.1该性质的几个引申引申1给定抛物线C:y2=2px(p>0),O是顶点,P、Q为抛物线上两点,记kOP,kOQ分别为直线OP、OQ的斜率.若kOP+kOQ为定值K(K≠0),则直线PQ必与y轴相交…     

抛物线平移问题的归类例析

<正>二次函数y=ax2+bx+c的图象平移时,图象的开口方向和形状都不变,即a不变,变化的只是它的位置.图象的变化规律和顶点的变化规律是一样的,因此,抛物线的平移可以看做是顶点的平移,其规律可以概括为:平移变化在顶点.下面结合抛物线平移的几种常见题型予以剖析.一、原抛物线、新抛物线、平移过程中的抛物线,已知任意两个求第三个例1抛物线y=2x2-8x+5向左平移4个单位,再向上平移2个单位,求平移后的解析式.