旋转变换在解题中的运用

<正>旋转是平面几何三大基本变换之一,它在中考命题和解题中有着广泛的应用.本文利用旋转来解决与等腰三角形有关的求角度、求线段长度、求最值等问题,供读者参考.一、 求角度例1 如图1,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D为△ABC内一点,连结AD,DC,BD.若CD=1,AD=2,BD=3,求∠ADC的度数.解析 如图1,将△ADC绕点A顺时针旋转90°得到△AEB,连结ED,则得等腰Rt△AED.     

全等模型手拉手 拓展相似再探究

<正>引例如图1,△ABC、△ADE均是顶角为45°的等腰三角形,BC、DE分别是这两个等腰三角形的底边.图中△ACE可以看成由哪个三角形通过怎样的旋转得到的？解析由题意知AB=AC,AD=AE,∠BAD=∠CAE=45°-∠CAD,所以△ABD≌△ACE(SAS),观察图1容易发现,若将△ACE绕点A顺时针旋转45°,便可以与△ABD完全重合.     

“平移与旋转”探索与思考题

1.如图1,在直角△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,BC=1,把该三角形的斜边AB放在定直线l上,按顺时针方向在l上转动.求:图1(1)顶点C运动到C″的位置时,点C经过的路线长;(2)画出点A运动到A″的位置时,所经过的路线长;(3)按照以上旋转规律,△ABC至少经过几次旋转可看成由一次平移得到?2.如图2,△ABC中,∠BAC=120°,以BC为边向外作等边图2△DBC,现以D点为旋转中心,把△ADC绕D点逆时针旋转60°到△EDB的位置:(1)画出旋转后的图形.(2)此时,A,B,E三点是什么位置关系?为什么?(3)若AB=1,AC=3,你可以求出图中哪些线段的长?(答案见下期)“平…     

一道中考试题的巧解及由来

一、试题 已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,有一个圆心角为45°,半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转,且直线CE,CF分别与直线AB交于点M,N．     

巧用等腰三角形旋转解题

<正>图形的旋转很好地把静态的几何动起来,使考题也活起来,从而更好地考查同学们的几何能力.本文就等腰三角形中的图形旋转举例分析.例题引入例1如图1,点O是等边三角形ABC内一点,∠AOB=105°,∠BOC等于α,将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,连接OD.     

一道中考压轴题的解法分析与教学反思

<正>一、原题重现(2018年广东初中学业水平考试题)已知Rt△OAB,∠OAB=90°,∠ABO=30°,斜边OB=4,将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60°,如图1,连结BC.(1)填空:∠OBC=°;(2)如图1,连结AC,作OP⊥AC,垂足为P,求OP的长度;(3)如图2,点M、N同时从点O出发,在△OCB边上运动,M沿O→C→B路径匀速运动,N沿O→B→C路径匀速运动,当两点相遇时运动停止.已知点M的运动速度为1. 5单     

巧旋转，妙解题（二）

六、证线段的等量关系例6如图6,点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点,且∠EAF=45°,求证:EF=BE DF.分析:由正方形考虑将△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG的位置,从而把BE、DF拼接在△AFG中,只要证EF=GF即可.证明:将△ABE绕点A逆时针旋转90°至则GD=BE,GA=AE,∠GAE=90°,∠G     

一道中考试题的巧解及由来

<正>一、试题已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,有一个圆心角为45°,半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转,且直线CE,CF分别与直线AB交于点M,N.(1)当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时,如图1(1),求证:MN~2=AM~2+BN~2;(2)当扇形CEF绕点C旋转至图1(2)的位置时,关系式MN~2=AM~2+BN~2是否仍然成     

巧用旋转模型解题

<正>在几何问题中,有一类求解多条线段之间关系的问题,这类问题难度较大,通过旋转,可以把分散的几何条件集中在一起,运用旋转的不变性,再结合特殊三角形三边关系,可以使这类问题迎刃而解.以下笔者结合实例,以不同的旋转模型加以说明.一、等腰半角模型例1 如图1,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,∠DAE=45°,BD=3,CE=4.求DE的长.解析如图1,将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACF,连结EF.由旋转不变     

旋转法应用五例(初二、初三)

旋转法,是将图形旋转一个角度后使得分散的互不联系的条件有了联系,便于探索出解题的途径．例1 如图1,点P是等边△ABC内一点,且PA=3,PB= 5,PC=4,求∠APC的度数．分析将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°至△ADB处,连接DP,得等边△ADP．所以DP=3,∠ADP=60°, 又因为DB=PC=4,PB=5, 而 32 42=52, 即△BDP中,有BD2 DP2=PB2．图1     

一道中考题结论的拓展

<正>中考题是命题者智慧的结晶.教师在平常的教学中,若能创造性地利用中考题,是化解"题海战术"的重要方法.本文将2019年广西贵港一道中考题的结论作如下拓展,与同行们作一交流.一、原题呈现已知:△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,将△ABC绕点C顺时针方向旋转得到△A′B′C,记旋转角为α,当90°<α<180°时,作A′D⊥AC,垂足为D,A′D与B′C交于点E,(1)如图1,当∠CA′D=15°时,     

平行四边形“搭好台” 旋转变换点“唱好戏”

<正>1试题呈现(绍兴中考第24题)在平行四边形ABCD中(顶点A,B,C,D按逆时针方向排列),AB=12,AD=10,∠B为锐角,且sin B=4/5。(1)如图1,求AB边上的高CH的长。(2)P是边AB上的一个动点,点C,D同时绕点P按逆时针方向旋转90°得点C’,D’。(1)如图2,当点C’落在射线CA上时,求BP的长。(2)当△AC’D’是直角三角形时,求BP的长。     

2008年第8期问题

181.如图,△ABC的两条线段BQ、CR交于点P,且AR=BR=CP,∠BRC=120°.求证:CQ=PQ.(重庆市云阳县江口中学404506姜官扬提供)182.如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,BE平分∠B交AC于E,CF是AB     

动点问题三例

例1如图1,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=6,AC=8,点D是BC的中点,DE⊥BC交边AC于点E,点P在射线AB上运动,点Q在AC上运动,且∠PDQ=90°．     

旋转和翻折数学问题浅析

在新课标理念下,中考试题不断创新,不断出现一些图形的“旋转”和“翻折”数学问题,以考查同学们的空间想像能力。为帮助同学们了解和掌握有关问题,现举两例分析如下:一、旋转问题例1(2005年武汉市中考试题)将两块含30ο角且大小相同的直角三角板如图1摆放。(1)将图1中△A1B1C绕点C顺时针旋转45ο得图2,点P1是A1C与AB的交点。求证:CP1=22AP1;图1图2(2)将图2中△A1B1C绕点C顺时针旋转30ο到△A2B2C(如图3),P2是A2C与AB的交点,线段CP1与P1P2之间存在一个确定的数量关系,请你写出这个关系式并说明理由;(3)将图3中线段CP1绕点C顺时…     

等腰直角三角形旋转问题的分类探析

<正>等腰直角三角形在旋转变换下的探究性问题,是近几年中考数学命题的热点,其探究过程常与三角形的全等和相似、勾股定理、正方形的性质以及函数方程等知识有关,是一类对能力要求较高的问题.现以中考试题为例,具体归纳为以下几种类型进行分析.一、90°角绕直角顶点旋转例1(2015年汕尾)在Rt△ABC中,∠A=90°,AC=AB=4,D,E分别是边AB,AC的中点.若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转,得     

巧作辅助圆 妙解综合题

圆有许多性质,与圆有关的问题在综合题中比较常见;而有些综合题,看似与圆无关,若作辅助圆,则可使思路变得清晰,问题变得简单明了。例1子已知Rt△ABC中,AC=5,BC=12,∠ACB=90°,P是AB边上的动点(与点A、B不重合)。Q是CB边上的动点(与点B、C不重合)。(1)如图,当PQ∥AC,且Q为BC的中点时,求线段CP的长.     

一道中考题的解法、不足和改进

如图1,已知△ABC 中,AB=BC=1,∠ABC=90°,把一块含30°角的直角三角板 DEF 的直角顶点 D 放在 AC 的中点上(直角三角板的短直角边为DE,长直角边为 DF),将直角三角板 DEF 绕 D 点按     

构造正三角形证几何题的八种方法

文[1]中有这样一道平几问题：如图1,△ABC中,点R,Q分别在AB、AC上,BQ与CR交于点P,且AR=BR=CP,∠BRC=120°.求证：CQ=PQ.分析本题的已知条件中有三条边相等及一个角为120°,文[1]答案是采用倍长中线这一常用的添线方法,然后运用正三角形和全等三角形证得结论.     

举一反三 触类旁通

一个几何命题经过细致的考察、变异、拓广 ,常可导出许多新的命题 ,用这种方法学习、研究几何问题 ,有助于洞察几何问题的本质 ,收到举一反三、触类旁通的效果 ,对培养我们良好的学风和思维方法有重要作风 .下面举例说明 .原题　如图 1 ,在△ABC中 ,AB=AC ,∠A=2 0° ,点D在AC上 ,∠CBD =6 0° ,点E在AB上 ,∠BCE =50°,求∠BDE的度数 .(答案 :3 0°)1　构造逆命题原题中抹去线段AE、AD ,延长DE和CB使之相交 .变题 1　在△ABC中 ,∠B =70°,∠C=80°,点D在AC上 ,∠CBD =4 0°,点E在AB上 ,∠BCE =3 0° ,求∠BDE的度数 …