利用阿波罗尼斯圆巧解平面向量、立体几何问题

普通高中课程标准实验教科书数学必修2中多处涉及到阿波罗尼斯圆.利用阿波罗尼斯圆作题根解决问题,可以化繁为简,提高解题效率.已有文献主要研究了阿波罗尼斯圆在解决解析几何问题中的应用,本文通过在平面向量、立体几何问题中对阿波罗尼斯圆条件的挖掘探究,体会阿波罗尼斯圆在解决平面向量、立体几何问题中的简洁明快之处.     

揭开“阿波罗尼斯圆”的神秘面纱

<正>在高三数学教学中,在复习《直线与圆》这个章节时经常会遇到一些定点定值类的问题,在这些问题中有一种情形就是著名的阿波罗尼斯圆问题,下面我们就来揭开它神秘的面纱.一、阿波罗尼斯圆定义在平面上给定相异两点A,B,设P点在同一平面上且满足PA PB=λ,当λ>0且λ≠1时,P点的轨迹是个圆,这个圆我们称作阿波罗尼斯圆.这个结论称作阿波罗尼斯轨迹定理.设M,N分别为线段AB按定比λ分割的内分点和外分点,则MN为阿波罗     

关注几何性质 透析命题视角——以“阿波罗尼斯圆”为例

一、问题的由来众所周知,在平面内到两个定点距离之比等于定值k(k>0且k≠1)的动点的轨迹是圆.常把此圆称为阿波罗尼斯(Apollonius)圆.近年来以阿波罗尼斯圆为背景的试题在高考中频频出现,如2006年     

“阿波罗尼斯圆”高考现身

阿波罗尼斯（希腊,Apollonius of Perga,260——190B．C）是亚历山大时期的著名数学家,“阿波罗尼斯圆”是他的主要研究成果之一：     

轨迹法在最值问题中的应用

本文将通过三个例题来讨论轨迹法在最值问题中的应用.为叙述方便,我们先介绍一下阿波罗尼斯圆.     

阿波罗尼斯圆及其应用

阿波罗尼斯圆在高中教材中没有直接提出,但却一直是高考命题的热点.对阿波罗尼斯圆知识的考查,即可作为文化试题直接考查,也可逆向考查线段之间的数量关系,还常以线段比例的形式,隐含在解三角形或立体几何相关知识中,成为在知识交汇处命题的着眼点.     

阿波罗尼斯圆的性质及应用

<正>一、阿波罗尼斯圆及其性质1．阿波罗尼斯圆结论 平面内到两个定点A,B的距离之比是一个常数λ(λ> 0且λ≠1)的点的轨迹是一个圆(简称阿氏圆)．证明1 (代数法)如图1，以AB的中点为原点建立直角坐标系，设点A(-a,0),B(a,0)(a> 0)，动点P(x,y)．由PA/PB=λ，     

对一类“隐形圆问题”的探究和思考

<正>近几年来,阿波罗尼斯圆就像一个老朋友一样常来拜访我们.如下面的高考题:试题(2008年江苏高考题)满足条件AB=2,AC=2^(1/2)BC的△ABC面积的最大值是.从此开始,一类与"阿波罗尼斯圆"相关的试题便反复出现在各大试卷中,成为了命题的热点.转眼间九年过去了,就好像细胞会变异一样,阿氏圆也开始慢慢的演化,悄无声息的演变为一类"隐形圆"问题.笔者根据近三年在高三教学的一些切身体会和经验,谈     

例谈阿波罗尼斯圆的应用

文章从阿波罗尼斯圆的定义入手，给出近年来中考相关试题的解法，为学生学习高中解析几何打下良好的基础.     

阿氏圆性质及应用

<正>近年来,在中考数学试题中频繁出现a+kb型几何最小值问题,其中有一类是以古老的阿氏圆问题为背景命制的,却给学生造成很大困扰,如何突破这类问题的思维困境呢?下面给予相关探究.背景阿波罗尼斯(约公元前262¹90年)与阿基米德、欧几里德齐名,被称为亚历山大时期数学三巨匠.阿波罗尼斯对圆锥曲线有深刻而系统的研究,其主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书,阿波     

基于阿波罗尼斯圆的逆向探究

正我们知道,对于平面内不同的两点A,B,满足(|PB|)/(|PA|)为常数λ(λ≠1)的点P的轨迹是圆,称为阿波罗尼斯圆,此时A,B在该圆的一条对称轴上.现在的问题是,对于一个确定的圆,在其对称轴上,是否存在确定的     

关于阿波罗尼斯圆的一种变形

<正>阿波罗尼斯圆,不仅是高考的热点,而且在很多文章中都有提及.前段时间在高二讲圆的习题课时遇到下面这样一道习题,有些体会,和大家分享,也可看作是阿波罗尼斯圆的另一种变形叙述吧!在圆的习题课上笔者讲了这样一道习题: 已知圆Ο:x2+y2=1和圆M:(x-4)2+(y-2)2=9.设点P是圆M上的任意一点,过点P向圆O引切线,切点为Q.试探究在平面内是否存在定点R,使为定值?若存在,求出定点R的坐标和定值.假设存在这样的定点R(a,     

题中无圆心有圆 圆来就这么简单

研究近年高考数学试题,发现解析几何对“椭圆”和“抛物线”的考查难度有所下降,“直线与圆”的地位大幅度提升,具有数学文化背景的题目层出不穷.其中,有一类圆的问题在已知条件中没有直接给出圆的有关信息,而是隐藏在条件中,需要通过分析转化,从而发现圆(或圆的方程),进而利用圆的知识求解,这类问题称为“隐形圆”问题.比如“蒙日圆”、“阿波罗尼斯圆”等.“隐形圆”问题综合性强,充分考查了学生数形结合、化归与转化等数学思想方法,学生答题有一定的难度.本文以几道高考题和模拟题为例,探寻“隐形圆”问题求解策略.     

“阿波罗尼斯圆”的尺规作图分析

本文从初中几何尺规作图的角度去再挖掘它"形"的一面,使学生从"形"到"数"的角度全面认识"阿波罗尼斯圆"。     

圆的几何性质应用举例

圆具有高度的对称性,有着丰富的几何性质。我们经常利用两条直线的垂直相交的条件来判断点共圆;阿波罗尼斯圆的性质体现了圆半径和到两定点距离比值之间的关系。在解题过程中注意数形结合,利用好圆的几何性质,能够简化运算,达到事半功倍的效果。     

利用阿波罗尼斯圆解竞赛题

（本讲适合高中） 1关于阿波罗尼斯圆 AB为平面内的定长线段,C为一个动点,满足CA/CB=a/b（a≠b）,则点C的轨迹是一个圆．这个圆直径的两端是按定比a/b内分AB和外分AB所得的两个分点．     

阿波罗尼斯圆的新性质及应用

<正>设M,N是平面上两个定点,则满足|PM|=k|PN|(k>0,k≠1)的点的轨迹是一个圆,通常称之为阿波罗尼斯圆,其中k为比例常数,此圆的圆心在直线MN上.随之产生一个问题,对于任意一个圆和常数k(k≠1),如何寻找两定点M,N,使圆上任意一点P满足阿氏圆的定义|PM|=k|PN|(k≠1),本文给出的定理解决了这一问题,利用这一定理可很快解决2015     

可视化模拟在高中物理教学中的运用

借助计算机Simulink工具箱和Geo Gebra等作图工具,直观呈现高中物理教学中两例问题的可视化模拟;绘制不等量异种电荷的场线关系,讨论电荷连线上场强、电势的变化特征,并牵引阿波罗尼斯圆等概念在电学习题中的应用;数值模拟含二极管的理想变压器电路中电表示数问题,直观让学生看到物理情景和动态数据,激发高中生研究性学习...     

教学及高考中的阿波罗尼斯圆

1 阿波罗尼斯及其《圆锥曲线论》 阿波罗尼斯,约公元前262～前190,古希腊人,其英文名称为Apollonius of Perga,由于习惯不同有些文献上将其名称翻译为“阿波罗尼奥斯”．他年轻时去亚历山大城向欧几里德的后继者学习数学,嗣后他卜居该地和当地的大数学家合作研究．     

阿波罗尼斯定理的推广

阿波罗尼斯定理:平行四边形两对角线的平方和等于各边的平方和,即在ACBD中AB2 CD2=2(CA2 CB2)(如图图11),由此可得三角形中线公式,设E为△ABC中AB的中点,则CE2=12(CA2 CB2)-AE2,所以,阿波罗尼斯定理也可叙述为三角形两边的平方和等于所夹中线与第三边一半的平方和的两倍。阿波罗尼斯定理是众所周知的一个几何定理。本文作出该定理的几个推广,旨在将初等几何中的某些有关内容有机地联系起来,使之系统化。推广1　把中点E向边上的任意点推广图2定理1　设E为△ABC中AB边上的点,则CA2.EB CB2.AE=CE2.AB AE.EB.AB证明　如图2…