列方程解平几计算题

几何计算题中一般含有已知几何量和未知几何量,它们共处在题设图形中,具有一定的几何数量关系。因而可列出有关方程,用以求未知的几何量。这种做法类似于列方程解应用题.下面举出几例: 例1 如图1,正方形ABCD边长为1,以边BC为直径在正方形内作半圆⊙O,过A作⊙O的切线,切点为F,交边CD于E。求DE∶AE的值.     

这样求阴影图形的面积

下面介绍四种常见的求图形面积的方法． 1．代数法 例1如图1,正方形的边长为a,以各边为直径在正方形内画半圆,求围成的图形（阴影部分）的面积．     

数学奥林匹克问题

本期问题初179如图1,在正方形ABCD中,以图1边AB的中点O1为圆心、A2B长为半径画半圆⊙O1,半圆⊙O2的圆心O2在边BC上,并与边CD相切,与半圆⊙O1外切于点P.求证:DP是⊙O1和⊙O2的公切线.初180证明:对每一个正整数n,n5-n能被30整除.注:译自国外竞赛题.高179设n为正整数,Sn=sin1-sin4+…+(-1)n-1sin(3n-2).求证:Sn≠0.高180在△ABC中,求证:tan2B·tan2C+1cosA+tan2C·tan2A+1cosB+tan2A·tan2B+1cosC=2.上期问题解答初177在以AB为直径的半圆⊙O上取一点C,过C引CD⊥AB于D,CD将半圆⊙O分为两个图形,这两个图形的内切圆分别切AB…     

数学奥林匹克问题

本期问题初177在以AB为直径的半圆⊙O上取一点C,过C引CD⊥AB于D,CD将半圆⊙O分为两个图形,这两个图形的内切圆分别切AB于E、F.求证:AAFE··FEBB=DDFE.初178如图1,⊙O1与⊙O2外切于D,等腰Rt△ACB内接于⊙O1,切点D在半图1圆AB上.过点A、B、C分别作⊙O2的切线AM、BN、CP,M、N、P分别为切点.求证:AM+BN=2CP.高177如图2,半圆⊙O1的直径为图2AB,D为O1B上一点,且不与O1、B重合,过点D且垂直于AB的直线交半圆⊙O1于点C,⊙O2与半圆⊙O1内切于F,与CD切于点N,与BD切于点M.联结CM、AC、CB,过A作∠BAE=∠ACM,边AE…     

求圆中阴影面积的策略和方法

<正>求阴影部分的面积是初中数学的难点之一,也是中考常见题型.阴影部分的图形一般是不规则图形,因此,我们常感到解答困难.为此,本文通过圆中阴影面积的例题,阐述求阴影面积的一般策略和方法,以期对您有所启迪.一、整合策略求不规则图形的面积,往往采用割补重组、等积变换等手段,将不规则图形转化、整合为可求解的规则图形的组合.1、割补法例1如图1,以BC为直径,在半径为2圆心角为90°的扇形内作半圆,交弦AB于点     

一题多解

题目正方形的边长为a,以各边为直径在正方形内画半圆,求所围成的图形（阴影部分）的面积（如图1）．     

代数与几何联姻(初二、初三)

1.用代数方法解几问题 在解几何题时,常要求阴影部分的面积,解此类问题的一般方法比较麻烦,若适当应用代数知识,将会简便许多. 例1 如图1,正方形ABCD的边长为a,以各边为直径在正方形内画半圆,求所围成的新叶型(阴影部分)的面积.     

多种方法求面积(一)

同学们已经学过长方形、正方形、三角形等平面图形,这些图形一般称为基本图形或规则图形,它们的面积可直接利用公式计算。但实际上我们会经常遇到求不规则平面图形面积的问题。对于这样的问题,我们通常是将不规则图形通过割补、组合等方法转化为若干个基本图形。下面我们就结合例题,介绍几种求不规则平面图形面积的常用方法。     

列方程组求阴影面积

有一类关于求阴影部分面积的几何题,我们可根据题意,把整个图形中不同形状的图形按一定大小分类,并按对应的图形设未知数,通过列方程组求出结果.用此法新颖明了、思路清晰,现举例说明如下:例1正方形的边长为a,以各边为直径在正方形内画半圆,求所围成的图形(阴影部分)的面积.解:     

用图形变换求阴影部分面积

正求图形阴影部分面积的问题,一般都是运用转化的数学思想。因为通常给出的阴影部分都是一种不规则的几何图形,往往是通过拆分或拼凑,将它转化为一个或几个规则图形来求解的。如图1,AB是⊙O_1的直径,AO_1是⊙O_2的直径,弦MN∥AB,且MN与⊙O_2相切于C点。若⊙O_1的半径为2,试求O_1B、BN、NC、CO_1所围成阴影部分的面积。在本题中,需要作出三条辅助线:连接O_1N、O_2C,过O_1作O_1D⊥MN于     

数学奥林匹克问题

本期问题 初243 已知六边形ABCDEF内接于⊙O,AF∥DC,FE∥CB,ED∥BA,AB+BC=2CD.分别以六条边为一边作正方形,得到的六个正方形的面积之和为2 008.求六边形ABCDEF的周长.     

对一道几何题的思考

问题:已知⊙O_1的半径为3,⊙O_2的半径为1,圆心距为7.求与⊙O_1外切且与⊙O_2内切的⊙O 的半径. 对于此题,绝大部分学生会作出如图所示的图形,从而求出⊙O 的半径为2.5.现在的问题是与⊙O_1外切的点 A 和与⊙O_2内切的点 B 是否与 O_1O_2共线?上述的解答默认 O_1、A、O_2、B 四点共线.由两圆相切的性质知.O_1、A、O 三点共线,O、O_2、B 三点共线,但由此并不能推得 A、B 与 O_1、O_2共线,自然地我们就会问:满足本题条件的⊙O 唯一吗?回答是否定的.     

看“活”图形一题多解

求不规则图形的面积,最主要的是发挥我们的想象力,把图形看“活”,变不规则为规则,利用学过的规则图形公式求解。例1.如图(1),正方形的边长为8厘米,求图中阴影部分的面积(取3为π的近似值)。     

方程思想在面积问题中的应用——以求解与圆有关的阴影部分面积为例

<正>与圆有关的阴影图形的面积,一般可通过图形面积的和、差,或割补重组,或等积变换等手段来解决.但当图形构造较为复杂时,仍用一般方法求解阴影图形的面积会比较麻烦.其中有些问题通过设元,建立方程组求解,往往显得简单明了.这里,笔者略举几例加以说明,供大家参考.例1 如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=4.分别以AC,BC为直径画弧,求图中阴影部分的面积.     

求解阴影面积的方法

求阴影面积的图形一般都是看似不规则或规则而投有现成的公式去计算．只有通过仔细观察、分析,掌握一些常用的方法和技巧才有可能解决这类问题．1．和差法例1如图1,正方形ABCD的边长为a,以A为圆心,以线段AB为半径画弧BD,又分别以线段BC、CD为直径画半圆,则图中阴影部分的面积为____．解：依题设,图中阴影部分的面积为     

列式计算——一种常用证题方法

我们先来看九年义务教育数学教材几何第三册P_(189)第3题.已知:如图,在⊙O的直径AB上任意取两点P、Q,分别以AP、AQ为直径在AB的同一侧画半圆,以BQ、BP为直径在AB的另一侧画半圆.求证:阴影部分的面积与⊙O面积的比等于PQ:AB.     

解面积体积极值问题的常见错误

解面积和体积的极值问题,不仅与其函数的表达式有关,而且还与其几何图形的特征有关,因此其解题难度较大,出现错误的可能性较多。以下几个方面的错误是比较常见的。一、忽视定义域的错误几何量的极值问题,由于其函数表达式的定义域通常由几何图形的特征确定,往往是同类代数函数定义域的真子集。这是容易忽略的。例1 四边形ABCD是一个边长为1的正方形,半径为x的圆O与AB、BC两边相切,⊙O′与⊙O相切,并与AD、CD相切,试以S表示⊙O与⊙O′的面积和,并求此两圆面积和的最大值和最小值。 [错解]:如图1,设⊙O、⊙O′的半径     

立足解题通法 着眼学生发展——例谈一道中考题的教学价值

<正>一、原题呈现(2015年桂林)如图1,四边形ABCD是⊙O的内接正方形,AB=4,PC、PD是⊙O的两条切线,C、D为切点.(1)求⊙O的半径;(2)若点E是BC的中点,连结PE,求PE的长度;     

Inspiring Questions from the Sea of Examinations(题海拾贝)

译文:如图所示,正方形 WXYZ 的面积是25平方厘米,四个小正方形的边长为1厘米.在△ABC 中,AB=AC,当△ABC 沿 BC 边折叠时,A 点与正方形WXYZ 的中心 O 重合,求△ABC 的面积.     

巧用“覆盖法”求阴影部分面积

有关阴影部分面积问题,可以用“覆盖法”求解,这里举例加以说明.例1如图1,在边长为4的正方形ABCD中,以B和D为圆心,4为半径作两条弧,求图中阴影部分的面积.分析本题中的阴影部分可以看作是由两个全等的扇形即扇形ABC和扇形ADC去覆盖正方形ABCD而形成的重叠部分的图形.为了表述的