倍角公式的几何证明

本文给出二倍角、三倍角的正弦、余弦公式的一个几何证明,供参考.如图1.设 BC⊥AC,∠A=∠ABD=α,BD=1.则∠BDC=2α,BC=sin2α,DC=cos2α.在等腰△ABD 中,容易求     

从一道习题想开去

在几何复习课中,若从一道典型的题目变化或引伸出去,便能收到举一反三与温故知新的功效。下面就第二册课本P.155第6题展开讨论。题目如下: 已知:如图1,MN是⊙O的切线,C为切点,AB是⊙O的直径,AM⊥MN,BN⊥MN。求证:AM BN=AB。分析:本题的证明多为连结OC,利用梯形中位线定理证之,但如果注意到所证结论为线段的和形式,也会想到利用“截长法”,在AB上截取AD=AM,并连结AC、BC,如图1,通过△AMC≌△ADC和△BNC≌△BDC证出。     

例析数学探究题培养学生探究能力

一、探索结论型 例1 如图1,D是△ABC的边AB上的一点,若△ADC与△BDC相似,请指出CD和AB有什么特殊的位置关系？并证明这个结论。分析 由△ADC∽△BDC,有∠ADC=∠BDC。因为∠ADC〉∠B,∠ADC〉∠DCB,因此,∠ADC不可能与∠B或∠DCB成对应角。又∠ADC＋∠BDC=180°,∴∠ADC=∠BDC=90°,即CD⊥AB。     

"整体思想"在图形中的运用

所谓整体思想,是在解数学题时,从大处着眼,由整体入手,把一些貌似彼此独立实质上紧密联系的量作为整体来考虑的思想方法.这种思想方法在解决实际问题时有着十分重要的作用,常可使许多按常规方法不可解或比较难解的问题得到快速便捷的解答,举例说明如下:例1如图1,在△ABC中,AC=6cm,BC=4cm,DE垂直平分AB.求△BDC的周长.解:∵DE垂直平分AB,∴AD=BD.∴BD DC=AD DC=AC=6.故△BDC的周长=(BD DC) BCAEB DC图1=AC BC=6 4=10(cm).评析:按常规解法,求出△BDC三边的长后,就可求得△BDC的周长.但本题根本求不出BD、DC的长.从而…     

旋转变换及其应用

(本讲适合初中 )1　基础知识旋转变换是将平面图形F1绕平面内一定点O旋转一个定角α ,得到一个与原来图形的形状与大小都一样的图形F2 .O点叫做旋转中心 ,α叫做旋转角 ,当α =1 80°时 ,称为中心对称变换 ,所以中心对称变换是一种特殊的旋转变换 .旋转变换的主要性质有 :( 1 )在旋转变换下 ,两点之间的距离不变 ;( 2 )在旋转变换下的两直线的夹角不变 ,且对应直线的夹角等于旋转角 .例 1　如图 1 ,已知△ABC是等边三角形 ,△BDC是顶角∠BDC =1 2 0°的等腰三角形 ,以D为顶点作一个 60°角 ,它的两边分别交AB于M ,交AC于N ,连结MN …     

运用方程思想解有关角度问题

有关三角形的角度计算是三角形一章中重要问题之一,解决这类问题的方法虽因题而异,但利用列方程求解不失为一种好方法。现举几例加以说明. 例1 已知:如图1,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上且BD=BC=AD,求△ABC各角的度数. 解设∠A=x°,∵AD=BD, ∴∠ABD=∠A=x°,∵∠BDC=∠ABD+∠A,∴∠BDC=2x°, ∵AB=AC,BD=BC,∴∠BDC=∠C=∠ABC=2x°. ∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°, 即x+2x+2x=180°,∴x=36°∴△ABC中,∠A=36°,∠ABC=∠C=72°, 例2 已知:如图2,在△ABC中,AB=BD=AC,AD=CD,求△ABC各角的度数.解:设∠B=x°,∵AB=AC,AD=CD,∴∠C=∠DAC=∠B=x°,∴∠ADB=∠C+∠DAC=2x°,∵AB=BD,∴∠BAD=∠ADB=2x°,     

利用线段的垂直平分线解题

我们知道,线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等,反之,到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上,线段垂直平分线的这两个特征在处理有关线段或角的问题时运用十分广泛,现举例说明.例1如图1,等腰△ABC中,AB=AC,AB BC=13,AB边的垂直平分线MN交AC于点D,求△BCD的周长.分析:要求△BCD的周长,只需求BC CD BD,而由MN是垂直平分线,可知DA=DB,于是△BCD的周长=BC CD BD=BC AC,于是问题获解.解:因为MN是垂直平分线,点D在MN上,所以DA=BD.于是△BCD的周长=BC CD BD=BC AC=13.说明:这里通过线段的垂直平分线…     

例谈二倍角问题的证法

在证明题中,常会出现二倍角问题,此类问题往往有一定难度,需要认真分析已知与结论之间的联系,添加适当的辅助线,从而化难为易.现举例说明. 一、作倍角的平分线例1 已知:如图1,在△ABC中,∠B=2∠A,AB=2BC.求证:△ABC是直角三角形. 证明:作∠ABC的平分线BD交AC于点D,取AB的中点E,连结DE. ∵∠ABC=2∠A,∠ABC=2∠1=2∠2,∴∠A=∠1=∠2.即△ABD为等腰三角形.∵E为AB边中点,∴DE⊥AB.∵BE=12AB=BC,∠1=∠2,BD=BD,∴△BDE≌△BDC.∴∠BCD=∠BED=90°.即△ABC为直角三角形.二、构造倍角的等角…     

求解二倍角存在性问题的归一策略

<正>一、二倍角模型及基本思路对于任何类型题目的研究,我们要养成总结基本结构和基本性质的习惯.二倍角模型就是一例.二倍角问题核心条件就是题目中两个角有二倍关系,可以对二倍角进行平分和另一角相等,构成等腰三角形.如图1,在△ABC中,∠B=2∠C,如果作BD平分∠ABC,则△BDC为等腰三角形,易知△ABD∽△ACB.如图2,延长CB到点D,使AB=BD,则∠D=∠C,△ACD为等腰三角形,且△ABD∽△CAD.     

巧用对称变换解有关翻折及旋转几何题

同学们在学习有关翻折、旋转的几何题时常无从着手,究其原因是没有把它转换成对称的问题,或因没有抓住位置变换中的不变量。翻折旋转前后哪些线段长度不变、哪些角大小未变、哪些三角形全等,没有充分利用,现就这些问题举例说明。例1如图1,△BDC′是矩形ABCD沿对角线BD折叠得到的,BC′交AD于E,图中(包括实线、虚线共有全等三角形()。A.2对;B.3对;C.4对;D.5对。分析:利用△ABD≌△CDB≌△C′DB,C′D=CD=AB,∠C′=∠C=∠A=Rt∠,∠AEB=∠C′ED,得:△ABE≌△C′DE,故答案为C.例2如图2,正方形ABCD内一点P,将△ABP绕点B顺…     

猜想型几何探究题分类例析

猜想型几何探究题是指给出题设条件或配备图形,要求学生通过观察、实验、联想、归纳、分析、类比、比较等获得数学猜想,并证明自己的猜想的正确性.这类试题考查学生对图形敏锐的观察力和对数学规律的发现探究能力,体现试题以能力立意的理念.一、形如a±b=c型几何探究题例1在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E.     

突破半角问题

半角问题是旋转思想的一种完美展示,下面我们把初一所学的半角问题中的经典题目归纳梳理,以期抛砖引玉例1在等边三角形ABC的两边AB,AC所在直线上分别有M,N两点,点D为△ABC外一点,且∠MDN=60°,∠BDC=120°,BD=CD.探究:当点M,N分别在直线AB,A C上移动时,BM,NC,MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边三角形ABC的周长L的关系.     

运用平面向量解题举隅

由于平面向量有关概念的抽象性 ,仅对平面向量的概念、公式孤立地介绍举例 ,对学生学习向量而言是不够的 ,必须要将向量与学生所学过的知识 ,如三角、几何等内容联系起来 ,注意数形结合、形象思维与逻辑思维结合 ,学生才会建构出自己的向量知识 .【例 1】　证明三角形中位线定理 .已知 :在△ABC中 ,点M、N分别是AB、AC的中点 ,求证 :MN ∥=12 BC证明 :如图 1 ,∵MN→ =AN→ -AM→=12 AC→ -12 AB→=12 (AC→ -AB→) =12 BC→∴MN→ 与BC→ 共线且MN→ =12 BC→即MN ∥=12 BC .利用向量共线 ,是证明几何中平行问题的基本方…     

初中数学最值种种

1.运用点到直线的距离例1（2009年陕西）如图1,在锐角三角形△ABC中,∠BAC=45°,AB=4槡2,∠BAC的平分线交BC于D,M、N分别是AD和AB上的动点,则BM＋MN的最小值是.解延长BM交AC于点H,当BH⊥AC且MN⊥AB时BM＋MN最小,此时由题意知∠BAD=∠CAD,AM=AM,∠AHM=∠ANM=90°,所以△AHM≌△ANM,所以MH=MN,BM＋MN=BM＋MH=BH.又由AB=槡4 2,∠BAC=45°得BH=4,即BM＋MN的最小值为4.     

初中数学最值种种

正1.运用点到直线的距离例1(2009年陕西)如图1,在锐角三角形△ABC中,∠BAC=45°,AB=4槡2,∠BAC的平分线交BC于D,M、N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值是.解延长BM交AC于点H,当BH⊥AC且MN⊥AB时BM+MN最小,此时由题意知∠BAD=∠CAD,AM=AM,∠AHM=∠ANM=90°,所以△AHM≌△ANM,所以MH=MN,BM+MN=BM+MH=BH.又由AB=槡4 2,∠BAC=45°得BH=4,即BM+MN的最小值为4.     

全等三角形创新题例析

三角形全等是初中几何中最基础也是最重要的知识.近年来,有关全等三角形的创新题目百花齐放,令人目不暇接.特采撷其中部分中考题共赏(根据大家学习情况,题中的“证明”全改为“说明”.)例1(2005年浙江省金华市)如图1,在△ABC中,点D在图1AB上,点E在BC上,BD=BE.(1)请你再添加一个条件,使得△BEA≌△BDC,并给出说明.你添加的条件是:.说明:(2)根据你添加的条件,再写出图中的一对全等三角形:.(只要求写出一对全等三角形,不再添加其他线段,不再标注或使用其他字母,不必写出说明过程)析解(1)由BD=BE,∠B=∠B.要使△BEA≌△BDC,可根据…     

巧用正方体解题的方法

△函数方程的方法例1在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知正方体的棱长为"2,M、N分别在其对角线AD1与DB上,若AM=BN=x,求MN的最小值,并求此时x的值.分析:运用函数求解,作MH⊥AD,连结NH.∵MH//AA1//DD1,∴HAHD=MADM1=NBND,∴HN//AB.又∵AA1⊥AB,∴MH⊥HN.在Rt△MHA中,∠MAH=45°,∴MH=&22AM=&22x.同理,HN=&22DN=&22(2-x).在Rt△MHN中,MN=&MH2+HN2=21x2+12(2-x)2&=&x2-2x+2,即MN=&x2-2x+2(0相似文献   

一道“墙角问题”中的“问题”

问题:三棱锥的三条侧棱两两垂直,底面积为1,三侧面与底面所成的角分别为30°,45°,60°,求棱锥的侧面积．解一:如图,因为三条侧棱两两垂直,所以△ABC在侧面ADC,ADB,BDC上的射影分别是△ADC,△ADB,△BDC．     

二倍角图形中辅助线的作法

<正>一些几何问题中往往含有一个角是另一个角的二倍的条件,处理这类问题常用如下方法添加辅助线.1.作二倍角的平分线,构成等腰三角形如图1,在△ABC中,∠ABC=2∠C,作∠ABC的角平分线交AC于点D,则∠DBC=∠C,△DBC是等腰三角形.2.延长二倍角的一边,使其等于二倍角的另一边,构成两个等腰三角形,利用等腰三角形的性质证题如图2,在△ABC中,∠B=2∠C,延长CB到D,使BD=AB,连结AD,则△ABD,     

用中线长定理解题(初二、初三)

中线线定理的表述是:设△ABC的三边AB=c,BC=a,AC=b,BC边上的中线长为ma,则ma2=1/2b2+1/2c2-1/4a2. 中线长定理有广泛的应用,下面举例说明. 例1 如图1,在△ABC中,∠BAC=90°,MN是BC边上的点,且BM=MN=NC,如果AM=4,AN=3,则MN=____. 解设AC=b,AB=c,BM=MN=NC=a,AM,AN分别是△ABN和△ACM的中线,则有42=1/2c2+1/2·32-1/4(2a)2, 32=1/2b2+1/2·42-1/4(2a)2,