“将军饮马”问题再探

挖掘教材,抓住教材典型问题做进一步研究是一线教师经常在做的,而如何在教学中对经典问题进行更加深入的挖掘就成了关键笔者认为,抓住了问题的本质和各条件之间的联系,进行横向或纵向的对比剖析,洞悉内在联系,必能从常见问题中找到新的突破口下面笔者以一个经典问题为例,通过初中阶段的相关知识,给出自己独特的解决方案与各位读者和专家研究,以期呈现另类的数学之美。     

由“将军饮马”说起

相传,海伦是古希腊亚历山大城精通数学、物理的学者.一天,一位将军向他请教一个问题:如图1所示,将军准备从A点出发,想让马到一条笔直的河流上去饮水,然后再去B地,那     

由“将军饮马”说起

相传,海伦是古希腊亚历山大城精通数学、物理的学者.一天,一位将军向他请教一个问题:如图1所示,将军准备从A点出发,想让马到一条笔直的河流上去饮水,然后再去B地,那么,怎样走路线最短呢?海伦稍加思索,建立以下数学模型,便解决了这个问题,请看:     

“将军饮马”问题的应用

据说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者,名叫海伦.一天,一位罗马将军专程去拜访他,向他请教一个百思不得其解的问题.军官每天从军营A出发先到河边C处饮马,然后再去河岸同测的B处开会,(如图1)应该怎样走才能使路线最短?这个问题被称为“将军饮马”问题而广为流传.体现在新课标人教版八年级(上)第131页探究,解答见课本.下面我们再来看看在其他方面的应用.我们知道,光在同一种介质里的传播是依直线进行的,也就是说依最短路线进行的.但是当光从一点射出后不是直接射向另一点,而是经过镜面反射到另一点的时候,光仍旧是依最短的路径进行的.…     

对称点法解题赏析——由“将军饮马问题”谈起

<正>引例如图1,在平面直角坐标系中,点A和点B的坐标为(0,1),(3,3),点P为x轴上一个动点,连结AP,BP,求AP+BP的最小值.解析作点A关于x轴的对称点C(0,-1),连结CP.由对称性可知,AP=CP,则AP+BP=CP+BP,根据"两点之间线段最短"可知,当点P在直线BC上时,CP+BP取最小值.连结BC,交x轴于点P,此时CP+BP=BC,由勾股定理,可知BC=5,即AP+BP的最小值为5.     

趣谈将军饮马问题

海伦(Hemn)，古希腊数学家、物理学家、天学家，他曾巧妙地运用轴对称知识解答过一位希腊将军向他请教的“饮马问题”．     

“将军饮马”问题的求解策略

<正>“将军饮马”是初中数学中最为常见的最值问题求解模型,掌握“将军饮马”模型,并对该模型的具体应用做分析,有利于提高同学们的思考问题方式和解决问题的能力.一、“将军饮马”问题阐述在人教版数学八年级上册(P85页),13.4课题学习介绍了最短路径问题,这就是我们俗称的“将军饮马”问题,就这个问题的基本描述来看,牧马人在A点,最后回到B点,牧马人要去河边饮马,如何选择C点使CA+CB的值最小?     

探究数学题中的“将军饮马”问题

相信大家都有听过:"白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河。"这两句话是来自诗人李颀的唐诗《古从军行》的开头前两句。其实在这首诗中,它又隐含着一个非常重要的初中数学问题,那就是轴对称的应用。     

“将军饮马”问题的求解策略

<正>最值问题是初中数学中的重要内容．学生通过最值问题的探究,不仅可以巩固相关的知识和技能,还能感悟其中重要的思想方法．线段最值问题常通过平移、翻折、旋转、相似等方法转化为“两点之间线段最短”“垂线段最短”这两个基本原理来解决．本文以“将军饮马”问题为例,结合几个不同类型的问题加以说明,与同行交流分享．     

“将军饮马”妙用两例

相传 ,古希腊亚历山大里亚城有一位精通数学和物理的学者 ,名叫海伦 .有一天一位将军专程拜访海伦 ,求教一个百思不得其解的问题 :如图 1所示 ,从A地出发到笔直的河岸去饮马 ,然后再去B地 ,走哪一条路线最短呢 ?这个问题后来就被称为平面几何中的“将军饮马”问题 .图 1当时海伦稍加思索便圆满地解答了这个问题 :图 2如图 2所示 ,设A点关于河岸的对称点为A′ ,连接A′B与河岸交于M点 ,则从A点到M点去饮马 ,再从M点到B点去 ,走的路线最短 .这是因为对于河岸上任何异于M点的M点都有AN NB =A′N NB >A′B =A′M MB =AM MB .据…     

“将军饮马”问题的应用及拓展

<正>我们知道,典型的"将军饮马"问题属"一动两定"型问题,其本质是将同侧两折线段之和通过轴对称化为异侧两折线段之和.而其拓展、延伸与变式问题,往往需要通过辅助线转化为"将军饮马"问题,最后,利用"两点之间线段最短"或"点到直线垂线段最短"基本原理解决.本文主要探究"一定两动"型和"两定两动"型最值问题的解题策略,供参考.     

将军饮马问题与中考题

传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者,名叫海伦.一天,一位罗马将军专程去拜访海伦,向他请教一个百思不得其解的问题:将军每天骑马从城堡A出发,到城堡B,途中马要到小溪边饮水一次.问怎样走路程最短? 这就是广为流传的将军饮马问题.海伦略作思考,利用作对称点的方法解决了这个问题. 我们把将军饮马问题抽象成一个几何模型: 条件:如图1,A,B是直线同旁的两个定点. 问题:在直线l上确定一点P,使PA+ PB的值最小.     

“将军饮马”模型的应用

"将军饮马"模型其实是根据两点之间线段最短的原理求最短距离的一个方法模型,若已知两点在同一直线的一边,要在此直线上求一点,使得此点到已知两点的距离之和最小,作法是求已知两点中其中一点关于该直线的对称点,对称点与另外一点的连线与已知直线的交点即为所求的点,且最小距离之和为对称点与另一点的连线的线段长.     

“将军饮马”型问题的一种推广

1问题的提出
　　我校九年级组织的一次数学考试中,有这样一道题：
　　如图1,AD ⊥ DC,BC ⊥CD,且 AD ＝8,BC ＝3,CD ＝10,在线段CD上找一点P,使PA ＋ PB 的值最小,并求出该最小值。     

“将军饮马”型问题的一种推广

<正>1问题的提出我校九年级组织的一次数学考试中,有这样一道题:如图1,AD⊥DC,BC⊥CD,且AD=8,BC=3,CD=10,在线段CD上找一点P,使PA+PB的值最小,并求出该最小值.显然,该题属于较熟悉的"将军饮马"型问题,只需先求出点B关于直线CD的对称点B_1,再连接AB_1,交CD于点P,由轴对称性     

由“牧马人饮马”想到

主要叙述了牧马人饮马问题的解决方法在平面图形中的推广应用。     

再探“从动点”路径问题

<正>本文通过弱化条件,拓展变式,对一道中考题进行深入分析,在探求线段中点运动路径类型的过程中不断产生新的灵感,巧妙构建三角形的中位线,发现动态背景下特定线段中点的运动路径为一条可计算长度的线段.一、原题呈现(2012年张家界中考题)如图1,已知AB=6,点C、D在线段AB上且AC=DB=1,P是线段CD上的动点,分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和△PEB,连结EF.设EF的中点为G,当点P从点C运动到点D时,点G移     

由"将军饮马"引申的竞赛题简析

相传,古希腊亚历山大里亚城有一位久负盛名的学者,名叫海伦。有一天,一位将军专程拜访海伦,求教一个百思不得其解的问题:从图1中的A地出发,到笔直的河岸边去饮马,然后再去B地,走什么样的路线最短呢?     

“将军饮马”与路程最短

“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”是唐朝诗人李颀《古从军行》的开头两句、将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，驰向交河旁边的M点饮马，饮马后再到B点宿营(图1)．亲爱的同学，你能根据所学的数学知识帮助将军在交河边上找一点C，使将军所走的路程最短吗?     

将军饮马问题的变式探究

<正>传说古希腊有一位精通数学和物理的学者,名叫海伦.一天,一位罗马将军专程去拜访他,向他请教一个百思不得其解的问题:将军每天骑马从城堡A出发,先到河边饮马,然后再去河岸同侧的城堡B开会,应该怎样走才能使路程最短?据说海伦略加思索就解决了它,从此以后这个被称为将军饮马的问题被广为流传.这实际上是在直线上找一点到两个定点的距离之和的最小值问题.本文以此为基础进行延伸,整理了与此类似的平面内到两个点的距离之和的最值问题,即|PA|+|PB|的最值问题及其求解思路.下面,就三类模型作业具体分析.