平面几何最值问题的常用解法

<正>平面几何最值问题一直是各省市历年中考必考的热点与难点,本文以中考试题及模拟题为例,就平面几何最值问题的解法进行归类探究,供参考.一、利用圆中最长的弦是直径例1(2015年陕西)如图1,AB是⊙O的弦,AB=6,点C是⊙O上的一个动点,且∠ACB=45°.若点M,N分别是AB,BC的中点,则MN长的最大值是___.     

圆中双解面面观

1.点和圆的位置关系不确定例1若点P到⊙O的最长距离是9,最短距离是3,则⊙O的半径为.解:此时点P可能在圆外,也可能在圆内,因此应该是双解,即⊙O的半径为6或3.2.点在弦上的位置不确定例2已知⊙O的两条弦AB和CD在圆内相交于点P,AP=3cm,PB=4cm,CD=8cm.则CP=cm.解:由相交弦定理得PA.     

涉圆最值问题归类解析

<正>前几年中考中常考的几何最值是"将军饮马"模型及其变式,动点轨迹是直线型,近几年中考中常考的几何最值常常与圆有关,动点轨迹是圆.基本模型如图1,P是⊙O外的一点,直线PO分别交⊙O于点A、B,则PA是点P到⊙O上的点的最短距离,PB是点P到⊙O上的点的最长距离.     

利用圆的一个结论求一类线段最值

<正>圆中有一个结论,利用该结论可以求一类线段的最值.结论圆外或圆内一点到圆上各点间的线段中,当线段所在直线过圆心时取得最值.如图1、图2,若点P不在⊙O上,射线OP交⊙O于B,射线OP的反向延长线交⊙O于A,则点P到⊙O上各点之间的线段中,PB最短,PA最长.     

浅谈定角对动线段的最值问题

<正>近年来,定角对动线段的最值问题常出现在各地的考卷中.较常见的有两类:一类是已经有圆的,另一类是无圆的,无圆的可转化有圆的来解决.解题思路是,利用圆周角定理把定角转化为定圆心角,然后确定以这个定圆心角为顶角的等腰三角形底边与腰的数量关系.这样,就将所求动线段长的最值问题转化为求半径长的最值问题,从而使问题得到解决.下面举例说明.例1如图1,∠BAC=60°,半径长1的⊙O与∠BAC的两边相切,P为⊙O上一动点,以P为圆心,PA长为半径的⊙P交射线     

一类平面几何问题的极坐标证法

一、有关圆内共端点诸弦的长度问题解这类问题一般取以公共端点为极点、圆的直径或切线为极轴建立极坐标系,则弦的另一端点所对应的极径可视为圆内的弦的长度。例1.如图,OP 是⊙O的半径以 OP 为直径的⊙O′与⊙O 的弦 PB 交于C.求证;C 是 PB 的中点证明以 P 为极点,过 P 的切线所在射线为极轴,建立极坐标系。设⊙O 的半径为 R,则⊙O 的方程为p=2Rsinθ.⊙O′的方程为ρ=Rsinθ,∠BPx=α.令θ=α,则 PB=2Rsinα,PC     

初三第一学期期末几何质量检测题

一、填空题 1.在半径为5厘米的圆中,有一条长为8厘米的弦,这条弦的弦心距是_厘米。 2.点P为⊙O内一点,OP=2厘米.如果⊙O的半径是3厘米,那么,过点P的最短弦长是_厘米。     

解答圆问题“勾股”很给力

与圆的直径或与圆的切线有关的问题时学习中的一个重点和难点,在中考中屡见不鲜,解答它们,除了灵活利用圆的有关性质或定理外,别忘了利用勾股定理,有时它可助你一臂之力. 例1(2016年宁波市中考题)如图1,已知⊙O的直径AB=10,弦AC=6,∠BAC的平分线交⊙O于点D,过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E. (1)求证:DE是⊙O的切线; (2)求DE的长.     

圆中常见辅助线的作法

<正> 对以圆为载体的几何问题,常用以下方法作辅助线: 一、过某些特殊点作园的直径、半径、弦例1 如图1,⊙O的半径为R,以⊙O上的点A为圆心,r(r相似文献   

“一石双鸟”巧解圆

在解决某些数学问题的时候,需要将问题所涉及的所有对象按一定的标准分成若干类,逐类讨论,才能得出正确的解答.这种解题方法称为分类讨论法.“圆”的内涵丰富,组合与变形可说是五彩缤纷,因此有关“圆”的问题常常是一题双值,需要采用分类讨论法.AB和CD在圆心O的同侧AB和CD在圆心O的异侧P在圆外P在圆上(不合题意)P在圆内1.点与圆的位置关系例1平面上一点P到⊙O上的点的距离最长为6cm,最短为2cm,求⊙O的半径.分析:点P的位置是在圆外、圆上还是圆内没有确定,因此对点P的位置要讨论:本题答案是r=2cm或r=4cm.2.弦与圆的位置关系例2直径为…     

借助“隐圆”巧解一类中考最值问题

最值问题是数学中比较常见的问题,是在变化中寻求不变,是数与形之间的完美结合.对于一类求一定点和一动点这两点间距离的最小值,可以先找到动点的运动轨迹,再利用一些最值模型解决问题.如当动点在定直线上时,可以利用垂线段最短解决问题;当动点在定圆上运动时,可以利用圆外一点与圆上一点距离的最值模型解决,（如图1,P为⊙O外一点,...     

例析圆中常见的问题

<正>圆中的某些计算题通常会产生双解,解决这种问题时先要根据题意,画出图形可能出现的情况,再根据图形分类求解.下面举几例,供同学们学习时参考.一、两圆相交例1已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,公共弦AB的长是16,两圆的半径分别是     

点弦(切)距定理及其应用

关于圆上一点到一弦或到一切线的距离有如下定理。 1.点弦(切)距定理如下图,已知P是⊙O上一点,AB是弦,PC⊥AB,PD⊥过A点的切线,C、D为垂足,若⊙O的直径PF=d,求证:PC=     

勾画“隐圆” 破解最值

<正>1几个结论1.如图1,P是⊙O外的一点,直线PO分别交⊙O于点A、B,则PA是点P到⊙O上的点的最短距离,PB是点P到⊙O上的点的最长距离.2.如图2,P是⊙O内的一点,直线PO分别交⊙O于点A、B,则PA是点P到⊙O上的点的最短距离,PB是点P到⊙O上的点的最长距离.3.如图3,当点P在圆上时,直线PO交⊙O于点     

公切线在解两圆问题中的桥梁作用

<正>在解决有关两圆相切的问题时,公切线作为作辅助线,是解决问题的关键.当题目的已知条件中有两圆相切时,过切点作两圆的公切线,构造弦切角,从而架设两圆之间的桥梁,常常会使问题迅速获解.例1如图1,⊙O'与⊙O内切于点A,⊙O的弦BC切⊙O'于点D,AB、AC分别交     

辅助圆——一种求解线段最值的方法

<正>《初中数学教与学》2015年第10期陈林香老师《求解线段最值问题的常用方法》中,提供了运用构造三角形求线段最值问题的方法,笔者也提供一种构造辅助圆求解线段最值的方法,供参考.模型如图1(1)与图1(2),求点A到圆上各点的最大距离与最小距离.如图1(1),点A到⊙O的最大距离为AC,最小距离为AB.如图1(2),点A到⊙O的最大距离为AC,     

圆的多解问题分类解析

圆是初中几何的重点内容之一.在解圆的相关问题时,由于图形位置关系和形状、大小等因素的不确定,经常会出现多解的情况.现就圆的多解问题进行分类解析,帮助同学们掌握这类题的解法.P.ABO图3M NC'一、点与圆例1已知点P到⊙O的最近距离为3cm,最远距离为13cm,求⊙O的半径.解析:点P既可能在圆内,也可能在圆外如图1,设点P在⊙O的内部,过点P作直径AB,由题意可知AB=AP PB=16cm,则⊙O的半径为8cm;如图2,设点P在⊙O的外部,连结PO并延长,与⊙O分别交于A、B两点,由题意可知AB=PB-PA=10cm,则⊙O的半径为5cm.所以⊙O的半径为8cm或5cm.例2…     

“垂径定理”的应用(初三)

圆的垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦.这个定理有不少的应用.请看以下五例:例1如图1,已知AC、BD是⊙O的内接四边形ABCD的对角线,且BD垂直平分半径OC,在AC上取一点P使CP=OC,连结BP并延长交AD于点E,交⊙O于点F.求证PF是EF和BF的比例中项.(04年荆州市初数竞)     

构造矩形解与切线有关的一类问题

在圆的计算与证明中,经常会碰到弦（非直径）所在直线与圆的切线互相垂直的条件,此时构造矩形可以使问题轻松解决.如图1,直线l切⊙0于点A,弦CD上l于点B,作弦心距OM,连接圆心O和切点A,构造矩形OMBA,则OM=AB,OA=BM=BD＋CD/2（＊）.利用结论（＊）往往可使问题迎刃而解.     

圆中两值问题

《平面几何》的圆中两值问题是学生在解答过程中最容易出错或者遗漏的问题 ,为了降低出错率 ,在中考前的总复习 ,师生不妨尝试如下的归纳和总结 1　由于圆是轴对称图形 ,所以它的轴对称性会造成两值问题例 1　在⊙O中 ,弦AB与弦CD平行 ,且⊙O的直径为 1 0cm ,AB =6cm ,CD=4 5cm ,求 :AB与CD两弦之间的距离是多少 ?图 1　　　　　　　　图 2解　设弦AB与CD之间的距离是EF由图 1看到EF=OE OF .由图 2看到EF=OE-OF .其中 ,OE =OB2 -EB2 =2 5- 9=4 ,OF =OD2 -FD2 =5.所以 ,AB与CD两弦之间的距离是 ( 4 5cm或 ( 4 - 5)cm .…