变形求值 注重技巧——例析代数求值中的变形技巧

技巧之于解题,犹如行路之于路径的选择,路径选择得好(即捷径),省时省力;路径选择不当(非捷径),费时费劲。在一类代数式求值题中,往往需要运用多种变形技巧(竞赛中的求值尤其讲究技巧的运用),化繁复为简单,变隐含为显露,使未知为已知,从而实现快速、简洁、正确的解题目标。下面我们选取几例典型的代数式求值题,剖析其技巧,供同学们学习参考。例1.已知1-4x x42=0,则2x=()。A.2B.1C.12D.±1解析:∵1-4x x42=1-2×2x 2x2=1-2x2,∴1-2x2=0∴1-2x=0,即1=2x,∴选B【点评】:本题求解的关键是发现代数式1-4x x42的特征:完全平方式!即把1-x4 4x2表示…     

中考中的一元一次方程

一元一次方程是初中阶段最重要的基础知识之一,又是中考命题的热点.现选择几例2006年中考中的一元一次方程问题,供大家学习参考.一、已知方程的解,求方程中字母的值例1(吉林省)已知关于x的方程3a-x=x2+3的解为2,求代数式(-a)2-2a+1的值.分析:把x=2代入已知方程,a值可求,进而可求代数式的值.解:把x=2代入已知方程得3a-2=1+3,化简,得3a=6,所以a=2.把a=2代入所求代数式得(-2)2-2×2+1=4-4+1=1.练习1(广西钦州)若x=1是方程2x-a=0的解,则a=().(A)1(B)-1(C)2(D)-2二、列一元一次方程解应用题例2(陕西省)一件标价为600元的上衣,按标价8折销售仍可…     

构造“零值代换”求代数式的值

构造“零值”代数式,解一类条件代数式求值问题,整体意识强,简捷明快、现举例说明.例1 已知x=2-5~(1/5),那么x~4-8x~3+16x~2-x+1的值是(?).(第六届“希望杯”初二数学竞赛题)解∵x=2-5~(1/5),∴2-x=5~(1/5).两边平方,整理得x~2-4x-1=0.∴x~4-8x~3+16x~2-x+1=x~2(x~2-4x-1)-4x(x~2-4x-1)+(x~2-4x-1)-x+2=-x+2=5~(1/5)     

含字母的二元一次方程组之解法

在遇到含有未知系数的二元一次方程组时,要将未知系数看作常数,解出关于x、y的方程,然后按题目要求处理未知数.◆例1已知代数式x2+m x+n,当x=-1时,它的值为5;当x=1时,它的值为-1,求当x=2时,代数式的值.分析:根据代数式的意义,如果能先确定出m和n的值,再将x=2代入该代数式,就可求出它的值,所以,问题的关键是先找出m和n的值.解:当x=-1时,代数式的值为5,即(-1)2-m+n=5,当x=1时,代数式的值为-1,即12+m+n=-1,整理可得方程组mm+-nn==--42⑴!⑵解之mn==1-3!所以原来代数式x2+m x+n为x2-3x+1,当x=2时,x2-3x+1=22-3×2+1=-1.◆例2关于x、y的方程组32x…     

变换方程组 巧思妙求值

下面是几道关于一次方程组的求值题,我们可避开求每个未知数的过程,通过变换方程组,利用整体法求出各代数式的值.一、变换二元一次方程组求值例1已知3x+5y=24.5,① 2x+3y=15.5,②试求5x+9y的值.解①×3,得9x+15y=73.5, ③②×2,得4x+6y=31.④由③-④ ,得5x+9y=42.5.     

第一部分 基础知识习题精练

实数与统计一、1.2 3　 2 .0 .0 2　 3 .1.3× 10 9　 4.895.150 0 0　 6.2 .3 5　 7.-15　 8.0　 9.-8　 10 .16　 15.5　11.-2 -3　 12 .-7　 13 . 2　 14 .9　 15.9.5二、B A A C B B A B C代数式一、1.-1　 2 .1　 3 .x>0　 4.( x+ y-2 ) 25.-42　 6.0 .6+ 0 .5n　 7.32 　 8.42　 9. 2+ 1　 10 .4xy3二、D B A B C C D B D B三、1. 2x+ y　 2 .2 5　 3 . 5-24.4-3 2　 5.35　 6.4　 7.4　 8.-1方程与不等式一、1.x=2y=-12　 2 .1,0　 3 .2 0　 4.y2 -2 y+ 1=05.-1　 6.x<4　 7.-3二、B C D B C C三、1.x1=0 ,x2 =-3　 2 .x≥…     

对一道课本习题的探究

题目:已知x2+y2=16,求x+y的最大值和最小值.(人民教育出版社高中数学第二册(上)复习参考题七B组第6 题) 求代数式的最大值和最小值,关键是构造出关于该代数式的不等式. 解:设x+t=t,则y=t-x,代人x2+y2=16并整理,得2x2-2tx+t2-16=0.因为x∈R,所以△=4t2-8     

一道全国数学竞赛题引出的两个公式

2005年全国初二数学竞赛中有一个问题,从这个问题的解法中不难推出两个公式,下面给出推出的过程:问题已知(2x-3)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0.求代数式a1+a2+…+a7的值.解显然x=0时,有(-3)7=a0.(1)当x=1时,(-1)7=a7+a6+…+a1+a0.(2)(2)-(1)得:a1+a2+…+a7=(-1)7-(-3)7=2186.推广一下,我们不难求得:当x=-1时,(-5)7=-a7+a6-a5+a4-a3+a2-a1+a0.(3)(3)-(1)得:-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=(-5)7-(-3)7=-75938.把指数推广到n,当(2x-3)n=a0+a1x+…+anxn时,则不难得出(-3)n=a0,(4)(-1)n=a0+a1+…+an,(5)(5)-(4)得:a1+a2+…+an=(-1)n-(-3)n,(-5)n=a0-a1+a2-…+(-…     

零点分段法在数学解题中的应用

在代数式的恒等变形及不等式的求解等诸问题中 ,适当运用“零点分段法” ,将使解题思路清晰 ,方法简易 所谓零点分段法 ,就是先分别求出习题中每一个绝对值内的代数式 ,或将原代数式 (不等式 )因式分解 ,使每一个一次因式等于零的x的值 ,并把这些x的值 ,按从小到大的顺序排列 ,以它们为端点将全体实数划分成各个区间 ;然后分别在各区间内 ,依次考虑绝对值内的代数式 (或一次因式 )的符号 ,进行相应的分析、化简、求解 现举数例 :例 1:化简 :| 2x + 1| - |x - 5 |解 :解方程　 2x + 1=0　得x1=- 1/ 2解方程　x - 5 =0　得x2 =5x的这些值把…     

初二代数期末测试题

一、填空题1.多项式 x3 - x分解因式的结果是。2 .分解因式 :x2 - xy+ xz- yz=。3.分解因式 :a2 - 4 a+ 4 - b2 =。4 .分解因式 :x2 - xy- 2 y2 - x- y=。5 .观察下列各式 :12 + 1=1× 2 ,2 2 + 2 =2× 3,33 + 3=3× 4 ,请你把猜想到的规律用自然数 n(n≥ 1)表示出来。6 .当 x 时 ,分式 x+ 1x- 1无意义。7.已知 x =y+ 1y- 1,用含 x的代数式表示 y为。8.已知 Mx2 - y2 =2 xy- y2x2 - y2 + x- yx+ y,则 M=。9.分式 1x2 - 3x与 1x2 - 9的最简公分母是。10 .当 m=时 ,方程 2 xx- 3- 1=mx- 3有增根。二、选择题1.下列由左边到右边的变形 ,属于因…     

谈解题实践中的思维切入

一、仔细审题 ,从条件与结论的差异切入解题过程中 ,仔细审题是解决问题的关键 ,在对问题的结构进行分解后 ,清楚了条件是什么 ,结论是什么 ,然后运用综合与分析的思维方式 ,将条件与结论进行比较 ,逐步消除差异 ,沟通题设与结论的联系 ,找到切入点。例 1　代数式x2 +x + 3的值为 7,则代数式 2x2 + 2x - 3的值为　　　 .解 :∵x2 +x + 3=7　∴x2 +x =4因此 ,2x2 + 2x - 3=2 (x2 +x) - 3=2× 4 - 3=5评注 :若由条件求出x的值 ,再代入 2x2 + 2x - 3中计算 ,则是不明智的选择 ,且过程较繁。利用条件得x2 +x =4作为切入点 ,可使计算十分简捷。例…     

教学中应重视问题发生过程的教学

在直线和圆的教学过程中遇到这样一个问题 :已知圆C1:x2 + y2 - 2x + 10 y- 2 4 =0 ,圆C2 :x2 +y2 + 2x + 2 y- 8=0 ,求经过两圆交点A、B的直线l的方程 .学生在处理这个问题时 ,通常做法有以下两种 :第一种 ,解题模式是 :联立方程组 ,求出交点坐标 ,再根据两点式写出所求的直线方程 .具体解法如下 :根据题意 ,联立方程组x2 + y2 - 2x + 10 y- 2 4 =0 ,(1)x2 + y2 + 2x + 2 y- 8=0 . (2 )(1) - (2 ) ,得- 4x+ 8y - 16 =0 ,即x- 2 y + 4=0 ,变形得　x=2 y- 4. (3)将 (3)代入 (2 )化简整理 ,得y2 - 2 y =0 ,解得 y1=0 ,y2 =2 .将 y1=0 ,y2 =2…     

周周练

第一周二元一次方程组与代入法求解A组一、填空题1.叫二元一次方程,5x-2y=0的解有组.2.对于方程4x+y=3,用x的代数式表示y的结果是;对于方程3x+2y=1,用y的代数式表示x的结果是.3.若x3m-3-2yn-1=5是二元一次方程,则m=,n=.4.二元一次方程4x+y=20的所有正整数解有组5.已知x=2y=-1是方程组4mx-x+y=132x-ny+1=2的解,则2m+3n的值等于.6.已知一4xm+nym-n与23x7-my1+n是同类项,则m=,n=.7.x=2,y=1是方程(ax-by-1)2+|x+by-5|=0的一组解,则a=,b=.8.若方程组x-my=02x+3y=7的解也是方程x-y=1的解,则m=.二、选择题1.方程x-4y=1;x2+y=0;y+z=0;xy=1;x-2y3+y=…     

教学中应重视问题发生过程的教学

在直线和圆的教学过程中遇到这样一个问题 :已知圆 C1 :x2 + y2 -2 x + 10 y -2 4=0 ,圆 C2 :x2 + y2 + 2 x + 2 y -8=0 ,求经过两圆交点 A、B的直线 l的方程 .学生在处理这个问题时 ,通常做法有以下两种 :第一种 ,解题模式是 :联立方程组 ,求出交点坐标 ,再根据直线方程的两点式写出所求的直线方程 .具体解法如下 :根据题意 ,联立方程组x2 + y2 -2 x + 10 y -2 4=0　 (1)x2 + y2 + 2 x + 2 y -8=0　　 (2 )(1) -(2 )得 :-4 x + 8y -16=0 ,即x -2 y + 4=0 ,变形得 :x =2 y -4 (3 )将 (3 )代入 (2 )化简整理得 :y2 -2 y =0 ,解得 :y1 =0 ,y…     

巧求高次多项式值的简捷方法

例1 当 x=21/3时,求代数式 3x~4-19x~3 79x~2-206x 209的值.分析:若用常规方法,把x=21/2代入计算则十分繁杂.现先把代数式变形,并使其含有一个零因式[即(3x-7)],这样就能简化运算.解:(3x~4-19x~3 79x~2-206x 209)     

高考二项式定理问题分类解析

一、展开式中的某一指定项例1(2004年河南、河北、山东、山西、安徽、江西高考题)(2x3-1x姨)7的展开式中常数项是()A.14B.-14C.42D.-42解析Tr+1=Cr7(2x3)7-r(-1x姨)r=(-1)rCr7·27-r·x21-7r2,由题意知21-7r2=0,得r=6,即展开式中常数项是第7项,T7=(-1)6C67·2=14,故选A.评析直接利用通项公式进行求解.二、求展开式中某一指定项的系数例2(2004年甘肃、新疆、宁夏、青海高考题)(x-1x姨)8展开式中x5的系数为_____.解析利用公式Tr+1=Crnan-rbr求得Tr+1=(-1)rCr8x8-3r2.令8-32r=5,得r=2,进而得到x5的系数为28,故填28.例3(2004年江苏高考题)…     

巧求代数式的值

每年的中考与竞赛都有代数式求值这类题,并且这些题的解法各异,灵活多样.解这类题,若能抓住题目的特点,巧妙代入,就可达到事半功倍的效果.一、直接代入求值例1已知x=2-3√,求2-x(7+43√)x2-(2+3√)x+3√的值.解:把x=2-3√代入,得原式=2-(2-3√)(7+43√)(2-3√)2-(2+3√)(2-3√)+3√=3√(7+43√)(7-43√)-(2+3√)(2-3√)+3√=3√1-1+3√=1.二、先化简,后代入求值例2已知x=2√+2,求x3x-1-x2-x-1的值.解:原式=x3-(x-1)(x2+x+1)x-1=x3-(x3-1)x-1=1x-1.当x=2√+2时,原式=12√+2-1=12√+1=2√-1.三、先代值,后化简求值例3已知x=3√,y=2,那么代数式…     

一元二次方程根与系数关系题型示例

一元二次方程根与系数的关系是初中数学的重要内容之一,也是中考数学中经常考到的一个知识点.有关一元二次方程根与系数的关系的题目有很多类型,现举例说明,供大家参考. 一、讨论已知方程的根的性质、求根或根的代数式的值1.讨论方程根的性质例1 当a取什么值时,关于未知数x的方程ax2+4x-1=0只有正实数根?(2002年广东省广州市中考试题)解:(1)当a=0时,方程为4x-1=0,解得x=14.①(2)当a≠0时,Δ=42-4a(-1)=16+4a,令16+4a≥0,得a≥-4.∴当a≥-4且a≠0时,方程有两个实数根.②设方程的两个实数根为x1、x2,由根与系数的关系,得x1x2=-1a,x1+…     

错在哪里?

题:a是什么实数时,(x)/(x-2)+(x-2)/(x)+(2x+a)/(x(x-2))=0只有一个实数根,并求出这个实根。解原方程可变为(2x~2-2x+4+a)/(x(x-2))=0要使原方程只有一个实根,只要使方程2x~2-2x+4+a=0的判别式△=4-8(4+a)=0,解得 a=-7/2把a=-7/2代入方程2x~2-2x+4+a=0解得 x=1/2故当a=-7/2时,原方程只有一个实根x=1/2。解答错了!错在哪里这里混淆了只有一个根与重根的概念,其实由△=4-8(4+a)=0得a=-7/2,从而     

《一元二次方程》单元测试卷

一、填空题1.关于x的方程(m-1)x2+(m+1)x+3m-1=0,当m时,是一元一次方程;当m时,是一元二次方程.2.当x=时,代数式x2-8x+12的值是-4.3.若连续两个奇数的积是15,则这两个数是.4.某厂2003年的钢产量是a吨,计划以后每一年比上一年的增长率为x,那么2005年的钢产量是吨.5.已知方程3x2-9x+m=0的一个根是1,则m的值是.6.写出一个方程,使它的一个根是1,另一个根满足-1相似文献