数学奥林匹克高中训练题(72)

第一试一、选择题 (每小题 6分 ,共 36分 )1 .已知集合M ={x|x2 9y2 =9,x、y∈R},N ={x|x2 y2 - 2ax =0 ,x、y∈R ,|a|≤1 ,且a为常数 }.则M∩N =(　　 ) .(A) {x| |x| ≤1 }(B) {x| |x| ≤|a| }(C) {x|a - |a| ≤x≤a |a| }(D) {x| |x| ≤2 }2 .方程 (a - 1 ) (sin 2x c     

一个绝对值恒等式的运用

命题　已知 a,b∈R,则| a| | b| =max{| a b| ,| a- b| }.证明　若 ab≥ 0 ,则| a| | b| =| a b| ,此时 | a b|≥ | a- b| ;若 ab<0 ,则 | a| | b| =| a- b| ,此时 | a b| <| a- b| .∴对于任意的实数 a,b,都有 | a| | b|=max{| a b| ,| a- b| }.下面举例说明命题中所述恒等式的运用 .例 1　解方程| 2 x- 1 | | x- 2 | =| x 1 | (x∈R) .解　由命题知 | 2 x- 1 | | x- 2 |=max{| 3 x- 3 | ,| x 1 | }=| x 1 | ,∴ | x 1 |≥ | 3 x- 3 | ,两边平方整理得 2 x2 - 5x 2≤ 0 ,解得　　 12 ≤ x≤ 2 ,∴原方程的解集是 {x…     

导数与不等式

通过构造函数,利用导数研究函数的性质(单调性、最值等)与图像,可以用来证明不等式或求解含参不等式中参数的取值范围等问题．一、证明不等式例,已知a,b∈R,求证：(|a b|/1 |a b|)≤(|a|/1 |a|) (|b|/1 |b|)·证明：令f(x)=(x/1 x),x≥0,则f′(x)=(1/(1 x)~2)＞0．故f(x)在[0, ∞)上是单调递增函数．∵|a b|≤|a| |b|,∴f(|a b|)≤(|a| |b|)．即(|a b|/1 |a b|)≤(|a| |b|/1 |a| |b|)=(|a|/1 |a| |b|) (|b|/1 |a| |b|)．     

考场答题"增加思考量减少演算量"的7个途径

高考答题是能力与时间的角逐 ,能力“到位”还要讲究思路和方法 ,一般在“巧解”上作文章 ,这就要积累平时的解题经验与捕捉他人之“玉” .本文提供 7个途径 ,供取长补短 .1　适时代换 ,减轻负担例 1　设a为实数 ,函数f(x) =x2 |x -a| 1,x∈R .求f(x)的最小值 .解　令 |x -a|=t (t≥ 0 ) ,则f(x) =|(x -a) a|2 |x -a| 1≥|t-|a||2 t 1=t2 -( 2 |a|-1)t a2 1=[t-( |a|-1/ 2 ) ] 2 |a| 3 / 4.①设g(t) =[t -( |a|-1/ 2 ) ] 2 |a| 3 /4.当 |a|-1/ 2≤ 0 ,即 -1/ 2≤a≤ 1/ 2时 ,g(t)在 [0 , ∞ )上递增 ,从而g(t) min=g( 0 )=a2 1.当 …     

向量导数巧求最值

恰当地应用好向量和导数,许多最值问题便迎刃而解,并且利用向量和导数来求最值,容易被学生接受.为了便于比较.一、用|a||b|≥a.b求最值例1已知x,y,z∈R ,且x y z=1,求x1 4y z9的最小值.解:令a=(1x,2y,3z),b=(x,y,z),则|a|2=1x 4y 9z,|b|2=1,(a.b)2=(1 2 3)2=36.由|a|2|b|2≥(a.b)2得,1x 4y 9z≥36,当且仅当1x=2y=3z时等号成立,即x=16,y=31,z=21.∴1x 4y 9z的最小值为36.例2已知ai,bi∈R ,且∑ni=1ai=∑ni=1bi=1,求a1a 12b1 a2a 22b2 … ana 2nbn的最小值.解析:令p=(a1a1 b1,aa2 2b2,…,anan bn,q=(a1 b1,a2 b2,…,an bn),则|p|2=a1a 21b1 a…     

2000年莫斯科大学力学数学系入学考试数学试题和解答

试卷 (3月 )1.解不等式|x- 4 |- |x- 1||x- 3|- |x- 2 |<|x - 3| |x- 2 ||x- 4 |.答案 :3相似文献   

对椭圆中心张直角的弦的一个性质

性质　椭圆的中心到对中心张直角的弦的距离为一定值 .具体对椭圆 x2a2 y2b2 =1来说 ,直线 PQ交椭圆于 P,Q两点 ,且 OP⊥ OQ,O到 PQ的距离为 d,则 d2 =a2 b2a2 b2 .证明　设 OP:y=kx,将它代入椭圆方程 x2a2 y2b2 =1 ,得( b2 a2 k2 ) x2 =a2 b2 ,∴ x2 =a2 b2b2 a2 k2 .| OP| 2 =x2 y2 =( 1 k2 ) x2 =a2 b2 ( 1 k2 )b2 a2 k2 .用 - 1k代 k得 | OQ| 2 =a2 b2 ( 1 k2 )b2 k2 a2 ,∴ 1| OP| 2 1| OQ| 2=b2 a2 k2a2 b2 ( 1 k2 ) b2 k2 a2a2 b2 ( 1 k2 ) =a2 b2a2 b2 .而 d=| OP|× | OQ|| PQ| ,…     

数量积问题解题方略

数量积是平面向量的一朵奇葩,运算彤式有a·6=|a| |b| cos α(0≤α≤π)与坐标表示a·6=x1x2 y1y22种.其几何意义是:a·6等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cos θ的乘积.     

能力小题训练6——不等式

一、选择题(每小题5分,共60分)1.不等式|x-2|≥|x|的解集是().A.{x|x≤1}B.{x|x≥1}C.{x|x≤0或x≥2}D.{x|0≤x≤2}2.设a,b∈R,则“a>b”是“a>|b|”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分条件也不必要条件3.不等式axx-1>a的解集为M,且2M,则实数a的取值范     

简析运用赋值法证一类不等式问题

引例 已知a，b，c∈R，f（x)=ax^2 bx C，g(x)=ax b，当|x|≤1时，|f(x)|≤1，求证当|x|≤1时，|g(x)|≤2．     

高二上学期数学期末自测题

一、选择题(每题5分,共40分)1.设集合A={x||4x-1|≥9,x∈R},B={x|x+x3≥0,x∈R},则A∩B=().A(-3,-2];B(-3,-2]∪[0,5/2];C(-∞,-3]∪[5/2,+∞);D(-∞,-3)∪[5/2,+∞)2.若a1b和|1a|>|1b|均不能成立;B不等式a-1b>1a和|1a|>|1b|均不能成立;C不等式a1-b>1a和(a+1b)2>(b+1a)2均不能成立;D不等式|1a|>|1b|和(a+1a)2>(b+1a)2均不能成立3.平面上整点(纵、横坐标都是整数的点)到直线y=53x+54的距离中的最小值是().A17304;B8534;C210;D3104.已知双曲线x2-y2/2=1的焦点为F1、F2,点M在双曲线上MF1…     

反三角方程几何解法两例

例1 解方程 arcsec|(x~2+1)/(x~2-1)|+arc csc|(x~2+1)/2x| +arcctg|(x~2-1)/2x|=π解:∵ |2x|~2+|x~2-1|~2=(x~2+1)~2 构造Rt△ABC(图1) 令a=arc csc|(x~2+1)/2x|,则 arcsec|(x~2+1)/(x~2-1)|=a, arcsec|(x~2+1)/(x~2-1)|=a, arcctg|(x~2-)/2x|=a, a+a+a=π,     

一题多解

题目 设a∈R，f(x)=ax^2 x-a(-1≤x≤1)，若|a|≤1，证明|f(x)|≤5／4．     

巧用转化与化归思想避免分类讨论

<正>在广东省惠州市第一中学的一次期末考试中有一道这样的试题:例设函数f(x)=x²-|x-a|,x∈R,a∈R。(1)若f(x)为偶函数,求实数a的值;(2)已知a≥0,若对任意x∈R都有f(x)≥-1恒成立,求实数a的取值范围。命题人给出的答案是这样的:解法1:(1)若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x),f(x)=x2-|x-a|,x∈R,a∈R。(1)若f(x)为偶函数,求实数a的值;(2)已知a≥0,若对任意x∈R都有f(x)≥-1恒成立,求实数a的取值范围。命题人给出的答案是这样的:解法1:(1)若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x),f(x)=x²-|x-a|,f(-x)=(-x)2-|x-a|,f(-x)=(-x)²-|-x-a|=x2-|-x-a|=x²-|x+     

选择题的非常规解法

选择题是数学竞赛和各种考试的主要题型 ,针对选择题提供的四个选项有且仅有一个选项是符合题意的以及对选择题只答不解的开放因素 .通过合情分析、合情推理与判断 ,运用适当的方法与技巧 ,将收到事半功倍的效果 .一、验证法有些选择题 ,由于选项的答案具体 ,且可找到适当的验证方法 .例 1　若关于 x的方程 | | x - 2 | - 1| =a有三个整数解 ,则 a的值是 (　　 )(A) 0 .　 (B) 1.　 (C) 2 .　 (D) 3.分析 :选 (B) .验证当 a =0时 ,方程 | | x - 2 | - 1|= 0有两解 x1=1,x2 =3,故 (A)错 ;当 a =1时 ,方程| | x - 2 | - 1| =1有三解 x1=0 ,…     

一九九八年全国高中数学联合竞赛试题与答案

一、选择题（本题满分36分,每小题6分）1.若 a>1,b>1,且lg（a b）= lga lgb, 则 lg（a- 1） lg（b-1）的值 （） （A）等于lg2（B）等于1 （C）等于0 （D）不是与a,b无关的常数2.若非空集合 A=|x|2a 1≤x≤3a-5, B=|x|3≤x≤22,则能使A（?）A∩B成 立的所有a的集合是 （） （A）|a|1≤a≤9}　（B）|a|6≤a≤9 （C）|a|a≤9}　（D）￠3.各项均为实数的等比数列|a_n|前n项之 和记为S_n,若S_(10)=10, S_(30)=70,则 S_(40)等 于 （）     

一类问题解的一种通法

先看一例 :已知二次函数 f(x)满足条件 :| f(0 ) |≤1,| f (1) |≤ 1,| f (- 1) |≤ 1.试证 :对于 x∈[- 1,1]时必有 | f(x) |≤ 54.证　设 f(x) =ax2 bx c(a≠ 0 ) ,则由f(0 ) =c,f(1) =a b c,f (- 1) =a- b c,可得 a =f (1) f (- 1) - 2 f (0 )2 ,b =f (1) - f (- 1)2 ,c=f(0 ) .又∵ | f(0 ) |≤ 1,| f (1) |≤ 1,| f (- 1) |≤ 1及 x∈ [- 1,1],∴| f (x ) | =| f(1) f(- 1) - 2 f(0 )2 x2 f (1) - f(- 1)2 x f (0 ) | =| f(1)2 (x2 x) f (- 1)2 (x2 - x) f(0 ) (1- x2 ) |≤ 12 | x2 x| 12 | x2 - x| | 1- x2 | …     

完美和谐的选择题的设计要求

设计一道完美无缺的数学选择题 ,确非易事 ,稍不注意 ,便会破坏它的完美 ,甚至出现错误 .怎样的数学选择题才是完美和谐的呢 ?本文就此谈点看法 ,供参考 .1　完美和谐的选择题不应有多余的已知条件例 1　对于一切实数 x,若 | x- 3| | x 2 | >a恒成立 ,则实数 a的取值范围是(　 )(A) a≥ 5　　　 (B) a>5(C) a≤ 5 (D) a<5由于当 x∈ R时 ,| x- 3| | x 2 |∈ R,所以不等式 | x- 3| | x 3| >a恒成立 ,本身就蕴含了 a∈ R这一条件 .因此 ,a为实数这一条件是多余的 .2　完美和谐的选择题不应有相互矛盾的已知条件例 2　已知奇函数 f…     

从一道竞赛题谈起

题(匈牙利数学奥林匹克赛试题)设a、b、c为实数,如果|x|≤1时,有不等式|ax~2 bx c|≤1,试证当|x|≤1时,恒有|2ax b|≤4.证明 设f(x)=ax~2 bx c,a≠0,当|x|≤1时,f(x)的最大值、最小值只可能为f(1)、f(-1)或     

函数y=|ax~2+bx+c|的图象和性质的应用

函数y=|ax2 bx c|(a≠0)在区间[p,q]上的最大值,由其图象易知只能在x=p或x=q或x=-b/2a处取得,利用这一性质可以直观明晰地解决有关问题. 例1 已知二次函数f(x)=ax2 bx c,当|x|≤1时,有f(x)≤1.求证:当|x|≤2时,|f(x)|≤7. 分析:只需证|f(-2)|、|f(2)|均不大于7,且当|-b/2a|≤2时,|f(-b/2a)|也不大于7