向量数量积公式的解题功效例析

向量a与b的数量积公式为a·b=｜a｜｜b｜cos〈a,b〉,由此得小数量积的一个性质a·b≤｜a｜｜b｜。当且仅当向量a与b同向时取等号。向量a与b的数量积公式及性质在解题中有着广泛的应用,下面通过具体例题子以说明。     

例析向量的数量积在解析几何中的应用

1平面向量数量积的定义及其几何意义①定义：已知2个非零向量a和b,它们的夹角为θ,则把数量｜a｜.｜b｜cosθ叫做a与b的数量积（内积）.记作a.b,即a.b=｜a｜.｜b｜cosθ.     

射影向量的应用

1．射影向量的定义 我们知道，向量b在向量a方向上的投影｜b｜cosθ=a·b/｜a｜,     

向量数量积的几何意义应用例析

向量作为一个基本工具,在数学解题中有着极其重要的地位与作用,其中向量的数量积是向量中的重中之重,但教材中对于数量积的几何意义只给出了定义:数量积a·b等于a的长度｜a｜与b在a方向上的投影｜b｜cosθ的乘积.由此几何意义可看出:b在a方向上的投影为｜b｜cosθ=｜a·a｜b.本     

利用向量求解空间角

高中数学教材中,(→a)·(→b)=|(→a)| |(→b)| cos〈(→a),(→b)〉,称为向量(→a)与(→b)的数量积,〈(→a),(→b)〉为向量(→a)与(→b)的夹角.此公式无论对于平面向量，还是空间向量都有明显的几何意义，它的引进为解决平面几何和空间几何提供了一个实用、方便的工具.     

向量考题的三个交汇点

向量及其运算是高中教材的新增内容 ,它融数、形于一体 ,具有代数形式和几何形式的“双重身份” ,使它成为中学数学知识的一个交汇点 ,成为联系多项内容的媒介 .下面举例说明向量与三角函数、解析几何、立体几何的交汇 .一、向量与三角函数的交汇例 1　已知 ,a=cos32 x ,sin32 x ,b=cos x2 ,-sin x2 且x∈ 0 ,π2 .( 1)求a·b及 ｜a +b｜ ;( 2 )求函数 f(x) =a·b -4 ｜a +b｜的最小值 .解　 ( 1)按向量运算的意义 ,有a·b=cos32 xcosx2 +sin 32 x　· -sin x2=cos 32 x +x2=cos 2x .a+b =cos32 x+cos x2 ,sin32 x-sin x2 ,｜a +b｜ =cos32 …     

平面向量数量积的应用

平面向量的数量积公式是 a·b=｜a｜｜b｜cos〈a,b〉, 其中含有向量的模,两个向量的夹角,因此,通过向量数量积运算,能将具有方向与大小二重运算的向量转化为实数运算,在求角的大小,向量的系数大小或范围,以及在解三角形中都可应用．     

用向量数量积的几何意义解线性规划问题

大家知道a·b的几何意义是：数量积a·b等于a的长度｜a｜与b在a的方向上的投影｜b｜cosθ的乘积。     

向量投影的妙用

设向量a与b的夹角为θ,则a与b的数量积a·b=｜a｜｜b｜cosθ,因为｜b｜cosθ称为向量b在向量a上的投影,所以a与b的数量积还可以看作是｜a｜与向量b在向量a上的投影之积．如果能充分利用向量投影的概念,有些看似困难复杂的问题,往往会迎刃而解．     

向量夹角不可忽视的两个问题

两个向量夹角的定义：已知非零向量a与b,作^→OA=a,^→OB=b,则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角．两个向量的数量积定义：两个非零向量a与b的夹角为θ,我们把｜a｜b｜cosθ叫做a与b的数量积,记作a·b=｜a｜b｜cosθ.     

解读一个向量公式

在公式（a＋b）^2=a^2＋b^2＋2a·b=｜a｜^2＋｜b｜^2＋2｜a｜·｜b｜cosθ（其中θ为向量a,b的夹角）中,既有向量的加法运算,又含有向量的内积;既有向量的模,又隐含向量的夹角在内．应用该公式解决已知几个向量的和,求向量的内积、夹角或模的问题时,会带来方便．     

向量不等式｜a·b｜≤｜a｜｜b｜的妙用

根据向量数量积的定义：a·b=｜a｜｜b｜cosθ ，易得向量不等式｜a·b｜≤｜a｜｜b｜（当且仅当a,b同向，共线即b=λa（λ〉0）时取等号）。此不等式结构简单，形式优美，内涵丰富，利用它可巧妙地解决一类求函数最值和不等式证明问题。下面举例说明它的一些应用。     

熟记向量八结论 速解有关高考题

结论1 非零向量a,b垂直的充要条件： （1）a⊥b〈-〉a·b=0; （2）a⊥b〈-〉｜a＋b｜=｜a-b｜     

a^2=｜a｜^2在解题中的应用

在平面向量数量积的定义a·b=｜a｜｜b｜cosθ中，当b=a时，有a·a=｜a｜｜a｜cos0=｜a｜^2，即得出了一个特殊的重要性质a^2=｜a｜^2．这个性质说明了向量运算与数量运算之间的相互转化关系．利用这个关系可以解决许多问题，现例释如下．[第一段]     

｜a·b｜≤｜a｜·｜b｜在解题中的应用

向量作为一种工具在解题中的应用极广，巧用公式｜a&;#183;b｜≤｜a｜&;#183;｜b｜解题，方法新颖、运算简捷．本文举例说明该公式的应用．     

例谈用数量积的模解不等式问题

设向量a与b的夹角是θ,由向量的数量积的定义a·b=｜a｜·｜b｜cosθ和三角函数的性质,我们很容易得到不等式：     

向量内积公式的创新应用

向量内积公式：a·b=｜a｜·｜b｜cosθ（其中θ为a与b的夹角）,则｜a·b｜=｜a｜·｜b｜·｜cosθ｜．     

构造向量巧解不等式问题

新教材中新增了向量的内容 ,其中两个向量的数量积有一个性质 :a→·b→=｜a→｜·｜b→｜cosθ(其中θ为向量a→ 与b→ 的夹角 ) ,则｜a→·b→｜=｜a→｜·｜b→｜cosθ ,又 -1 ≤cosθ≤ 1 ,则易得到以下推论 :( 1 )a→·b→ ≤｜a→｜·｜b→｜ ;( 2 )｜a→·b→｜≤｜a→｜·｜b→｜ ,( 3 )当a→ 与b→ 同向时 ,a→·b→=｜a→｜·｜b→｜ ;当a→ 与b→ 反向时 ,a→·b→=-｜a→｜·｜b→｜ ;( 4)当a→ 与b→ 共线时 ,｜a→·b→｜ =｜a→｜·｜b→｜.下面举例分析说明以上推论在解不等式问题中的应用 .一、证明不等式【例 1】　已知a…     

数量积问题解题方略

数量积是平面向量的一朵奇葩,运算彤式有a·6=|a| |b| cos α(0≤α≤π)与坐标表示a·6=x1x2 y1y22种.其几何意义是:a·6等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cos θ的乘积.     

向量与三角函数交汇题的解题策略

当今高考数学命题注重知识的整体性和综合性,重视知识的交汇性.向量是新课程中新增的内容,具有代数与几何形式的双重身份,它是新、旧知识的一个重要交汇点,成为联系这些知识的桥梁.向量与三角函数的交汇是当今高考命题的必然趋势,以下几例,重在为备考中的考生总结题型规律,探究解题策略.一、向量与三角函数性质的交汇例1已知向量a=(cos3x2,sin3x2),b=(cosx2,-sinx2),且x[0,π2].求:(1)a·b及｜a+b｜;(2)若f(x)=a·b-2λ｜a+b｜的最小值是-32,求λ的值.解(1)a·b=cos3x2·cosx2-sin3x2·sinx2=cos2x.｜a+b｜=(cos3x2+cosx2)2+(sin3x2-sinx2)2…