数学奥林匹克问题

本期问题初,.有四张大小完全一样的三角形纸片,将它们重合在一起,用针垂直地把纸扎透,依次在纸片上把针孔记作O,,O:.03,O‘,然后把四张纸片0;多户09拼成一个大三角形(如图),这样可以得到一个四边形0:。:030‘.假设三角形纸片的面积为5,请你在纸片上选定一个位置扎孔,使四边形O:仇。。O;的面积 4_一若-S 3一 (万金寿长吞市二道河子教师进修学校,130031) 初10.求不定方程月+式+…十划。一1992的所有非负整数解,并求出解组的个数. (蒋茂森吉林大学数学系,130023) 高,.设尸为△ABC所在平面上的任意一点,其面积为△.a’,夕,日,△‘为△月‘刀…     

数学奥林匹克问题

本期问题 初33.如图,不等边△ABC的三边满足关系BC=1/2(AB AC),O,I分别为△ABC的外心、内心,∠BAC的外角平分线交⊙O于点E。 求证:IO=1/2AE。     

数学奥林匹克问题

本期问题 初15.已知x,y,z非负,求证: (x~2 xy zx-yz)(y z)~2 (y~2 yz十xy-zx)(x z)~2 (x~2 zx yz-xy)(x y)~2 ≤(x y z)(x y)(y z)(z x)。 (王梦阳 吉林大学数学系91级) 初16.已知AA′,BB′,CC′是锐角△ABC的三条高。过A作直线l_1⊥B′C′,过B作直线l_2⊥C′A′,过C作直线l_3⊥A′B′。试证明:l_1,l_2,l_3相交于一点。     

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本期问题 初87.设n为自然数,α_n、β_n(α_n>β_n)是一元二次方程两根的整数部分。求的值。     

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初103 ⊙O内接△ABC为正三角形,AD是⊙O直径,在上任取一点P(P≠B,P≠C),取△PAB、△PAC的内心E、F。证明:PD=|PE-PF|。(黄全福 安徽省怀宁县江镇中学,246142) 初104 一凸n边形的任意相邻内角的     

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本期问题图 1　　初 1 53　如图 1 ,在△ABC中 ,∠C =90°,点D1、D2 在边BC上 ,且∠CAD1=∠BAD2 .求证 :AC2AD1·AD2≤ BC2BD1·BD2.(郭　璋　北京市朝阳区教育研究中心 ,1 0 0 0 2 8)初 1 54　已知一个凸 2 0 0 5边形的所有顶点都在边长为 2 0 0 5的正方形内 .证明 :必有两条边的边长之和不大于 8.(王连笑　天津市实验中学 ,30 0 0 74 )高 1 53　若x、y、z都大于 1 ,求证 :x4(y - 1 ) 2 + y4(z- 1 ) 2 + z4(x - 1 ) 2 ≥4 8.(厉　倩　长沙市第十五中学 ,4 1 0 0 0 7)高 1 54　将编号为 1 ,2 ,… ,n(n≥6 )的n个球顺次摆放在圆周…     

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本期问题初 1 4 3　凸四边形ABCD的四边都与⊙O相切 ,且各边长分别为a、b、c、d .求证 :OA·OC OB·OD =abcd .(黄全福　安徽省怀宁县江镇中学 ,2 4 6 1 4 2 )初 1 4 4　已知ABCD是正方形 ,P是边BC上的一点 ,直线DP交AB的延长线于点Q .若DP2 -BP2 =BP·BQ ,试求∠CDP的度数 (答案不能用反三角函数表示 ) .(吴伟朝　广州大学数学与信息科学学院 ,51 0 4 0 5)高 1 4 3　设△ABC的垂心H位于形内 ,O为△ABC的外心 .若OH⊥OA ,则π4 <∠A <π3.(阚政平　安徽师范大学附中 ,2 4 1 0 0 1 )高 1 4 4　已知a、b、c为正实数 .证…     

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本期问题 初169 已知抛物线y=ax^2＋bx＋c（a≠0）上有两个点A1（m1,y1）、A2（m2,y2）满足a^2＋（y1＋y2）a＋y1y2=0.     

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本期问题初 1 4 1　如图 1 ,已知△ABC内接于⊙O ,图 1AB >AC ,弦EF∥BC ,FA、EA的延长线分别与BC的延长线交于点P、Q ,AD为∠BAC的平分线 .求证 :1CD- 1BD=1DP 1DQ.(郭　璋　北京市朝阳区教育研究中心 ,1 0 0 0 2 8)图 2初 1 4 2　如图 2 ,∠ABC =∠AEF =90°,∠BAC =∠EAF ,且A、C、F三点共线 ,BF交射线EC于点P .求证 :AP⊥BE .(黄全福　安徽省怀宁县江镇中学 ,2 4 6 1 4 2 )高 1 4 1　求所有的函数f:R→R ,使得对任意的x、y∈R ,都有f(xf(y) ) =( 1 -y)f(xy) x2 y2 f(y) .(吴伟朝　广州大学数学与信息科学学院…     

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高658如图1,四边形ABCD内接于QO,AC为直径,P为CA延长线上的点,过点C作O0的切线Z,过点D作PD的垂线与直线I交于点E,过点B作PB的垂线与直线I交于点F,DE与BF交于点M,N为EF的中点。证明:ON平分CM.     

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本期问题初239求满足下列条件的三角形的三边长:(1)三边长是整数;(2)周长是面积的整数倍.(邹守文安徽省南陵县实验中学,241300)初240如图1,在正方形ABCD中,以图1点A为圆心、AB长为半径画弧BD,以点B为圆心、12AB长为半径画弧分别交AB、BC、BD于点E、F、G,直线CG交AB于点P.求证:A     

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本期问题 初229 如图1,从⊙0外一点P作⊙O的两条切线,A、B为切点,再过P作⊙O的一条割线,交⊙O于点C、D(PC相似文献   

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本期问题初209已知x、y为满足x+y=1的正数.求证:1+2x2+1-1y2>2.初210如图1,过圆外一点P引该圆的图1两条割线PAB和PCD,分别交圆于点A、B、C、D,AD和BC相交于点Q,割线PEF经过点Q交圆于E、F,分别过点B、D作EF的平行线交圆于M、N.求证:BN、DM、EF三线共点.高209设α、β、γ∈0,2π,且tanα+tanβ+tanγ=1.求证:sin2α+sin2β+sin2γ≤59.高210给定质数p(p>3),定义S={n|∑p-1k=1kn≡0(modp3),n∈N}.证明:S为无穷集.上期问题解答初207如图2,在锐角△ABC中,CE⊥AB于点E,F为AC上一点,∠A<45°,∠BFC=45°,ED为∠BEC的平分线…     

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本期问题 初75.有一个奇妙的正整数A,A的各位数中只有两个不同的数码组成,A~2中却恰好有0,1,2,…,9这10个数码.试求正整数A.     

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本期问题 初83.已知函数f(x)=ax~2 bx c,当x∈[1,1]时,|f(x)|≤1.求证: |a| |b| |c|≤3. (宋庆 江西省永修县一中,330304) 初84.设t是自然数,则不等式     

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本期问题 初345如图l,已知G是△ABC的重 心,M是边AC的中点,且AC =2√GM,D是 GA延长线上任一点,联结DM,并在DM上取 点E,使得∠AED=∠CAG,作CF//AB与直 线BE交于点F,CD与MF交于点H.证明： ∠DHF=∠BAC．