一道习题解答的补正

题:“直线y=mx+b(|m|<1)与圆x~2+y~2=1交于P、Q,与双曲线x~2-y~2=1交于R、S,如果P、Q把线段RS三等分,求m、b。”见到一本公开发行的资料中的解答是这样的: 解:P、Q的横坐标x_1、x_2是方程x~2+(mx+b)~2=1的两个根, ∴有x_1+x_2=-2mb/1+m~2 ① x_1·x_2=b~2-1=1+m~2 ② R、S的横坐标x_1′、x_2′是方程x~2-(mx+b)~2=1的两个根,     

谁对谁错——评一道数学题的两种解答

题目:当m取什么实数时,方程x~2 (m-2)x (m 3)=0两根平方和有最小值?最小值是多少?解法一:设此方程的两根为x_1、x_2,则x~2_1 x~2_2=(x_1 x_2)~2-2x_1x_2=〔-(m-2)〕~2-2(m 3)=m~2-6m-2∴当m=-(b/2a)即m=3时,x~2_1 x~2_2=m~2-6m-2 有最小值为:3~2-6×3-2=-11。解法二:设此方程的两根为x_1、x_2,则     

巧解一道讨论题

在学习“一元二次方程”中,老师出了这样一道讨论题:已知关于x的一元二次方程:①x~2-2mx+m~2-m=0;②x~2-(4m+1)x+4m~2+m=0;③(m~2+1)x~2-(2m+1)x+1=0中至少有一个方程有实数根。试求m的取值范围。     

M·P·C回音壁

理科小超人: 你好！ 我就要上初二了,暑假我自学了初三的数学课程,做了一道关于一元二次方程的习题,但我的答案与书中给的答案对不上,请你帮助解答。 题目:已知关于x的万程x~2+2(m-2)x+m~2+4=0的两根的平方和比两根的积大21,求m的值。 我的解答是:设方程的两根为x_1,x_2,根据根与系数的关系,得x_1+x_2=-2(m-2),x_1x_2=m~2+4。 根据题意,得x_1~2+x_2~2-x_1x_2=(x_1+x_2)~2-3x_1x_2=21,即[-2(m-2)]~2-3(m~2+4)=21。     

1997年数学总复习质量检测题

一、填空题(每小题2分,共30分) 1.把方程x~2 9x=6化成一般式为________。 2.方程(x~2-4)/(2-x)=0的根是______。 3.已知x_1和x_2是方程x~2-2x-3=0的两个根,则x_1 x_2 x_1x_2的值等于______。 4.若点P(a,4-a)是第二象限的点,则a满足的条件是______。 5.函数y=1/(x-3)~(1/2)的自变量x的取值范围是______。     

常见的错题分析一例

下题是我们在学习一元二次方程的根的判别式时所常见的: 如果m为有理数,试确定k值,使方程x~2-2mx+10x+4k=0的根是有理数。拿到题目后,有的同学可能会这样解吧! 解原方程即x~2+(10-2m)x+4k=0,要使它的根是有理数,只需其根的判别式△=(10-2m)~2-16k=100-40m+4m~2-16k=4(m~2-10m+25-4k) ①是完全平方式,即m~2-10m+25-4k=0有相等的根,即以m为元的此二次方程的判别式△′=100-4(25-4k)=0,     

巧用韦达定理的逆定理

有些数学题不是从方程求解形式提出,但若能设法对某些条件变换成两数和与两数积,然后用韦达定理的逆定理来布列方程求解,使问题得到解决。 [例1] 若x=2-3~(1/2),求x~1-5x~3 6x~2-5x的值。显然,这题直接代入计算是很繁的,若根据一元二次方程根的性质,由x=2-3~(1/2)可知x_1=2-3~(1/2),x_2=2 3~(1/2),一定是某一元二次方程的两根,巧用根和系数关系定使解题简捷。解由根与系数关系可知,x_1=2-3~(1/2),x_2=2 3~(1/2)是方程x~2-4x 1=0的两根, ∴ x~4-5x~3 6x~2-5x=(x~2-4x 1)(x~2-x 1)-1=0。 (x~2-x 1)-1=-1。例2 已知实数a、b、c满足:a=6-b,c~2     

变式题库

高中部分 1.一个三角形的两边为方程x~2 px 1=0的两个根.第三边的长为2,求p的取值范围. 解:由题意可知,方程x~2 px 1=0有两个正根. 故△=p~2-4≥0 ① 或p>0 ②设x_1、x_2为方程的两个根,则x_1、x_2为三角形的三边,所以有x_1 x_2>2,即-p>2. ③ 又因|x_1-x_2|<2,即(x_1-x_2)~2=(x_1 x_2)~2-4x_1x_2<4,即p~2-4<4. ④ 解由①、②、③、④组成的不等式组得-2×2~(1/2)相似文献   

从一道中考数学试题谈隐含条件

天津市1998年中考数学第27题: 若方程m~2x~2-(2m-3) 1=0的两个实数根的倒数和是S,求S的取值范围. 错解:设方程的两个实数根为x_1、x_2 由韦达定理可得     

一个错误的例题

地震出版社1982年5月出版的北京市西城区教育教学研究中心教学组编著的《初中数学复习指导》一书第89页有这样一个例题: “例10 若m为有理数,试定k值,使方程 x~2-4mx+4x+3m~2-2m+4k=0的根为有理数。”原书的     

貌若一解 实有无穷

某校主编的《数学复习与题解》第149页有这样的一道题,“如果m为有理数,试确定k的值,使方程x~2-4(m-1)x 3m~2-2m 2k=0的根为布理数。”书中的解法是:“原方程的判别式:Δ=16(m-1)~2-4(3m~2-2m     

一类高次方程根的性质的证明

1.在方程x~3+lx~2+mx+n=0中,系数l、m、n都是自然数旦分别能被自然数p、p~2p~3整除,方程的根为α、β、γ,则对于任何自然数k,α~k+β~k+γ~k为整数,且能被p~k整除。 2.在方程x~4+lx~3+mx~2+rx+q=0中,系数l、m、r、q都是自然数且分别能被自然数p、p~2、p~3、p~4整除,方程的根为α、β、γ、δ,则对于任何自然数k,α~k+β~k+γ~k+δ~k为整数且能被p~k整除。一般的有: 3.在方程x~n+α_1x~(n-1)+α_2x~(n-2)+…+a_(n-2)x~2+a_(n-1)x+α_n0中,系数α_1、α_2、…、α_都是自数然且分别能被自然数p、p~2、…、p~n整除。方程的根为x_1、x_2、…、x_n,则对于任何自然数k,x_1~k+x_2~k+…+x_a~k为整数且能被p~k整除。     

隐含条件不可忽视

例.设m~2 2m-1=0,n~4-2n~2-1=0.求(mn~2 n~2 1/m)~(1994)的值。解由m~2 2m-1=0得m≠0。两边除以m~2得(1/m)~2-2(1/m)-1=0 (1)n~4-2n~2-1=0得(n~2)~2-2n~2-1=0。 (2)由(1)、(2)知,(1/m)与n~2是方程x~2-2x-1=0的两个实数根,有(1/m) n~2=2,(1/m)·n~2=-1,故原式=(n~2 n~2/m 1/m)~(1994)=(2-1)~(1994)=1。这一解答有两处错误:第一,n~2不能看作方程x~2-2x-1=0的根。因为△=8>0,方程应有两个不同的实数根,但n~2只有一根1 2~(1/2),另一根1-2~(1/2)没有意义。因此,本题应把n~4-2n~2-1=0当作一个一元四次方程来解。     

根与系数关系应用错例分析

初三代数教材对一元二次方程根与系数关系叙述为:如果ax~2+bsr+c=0(a≠0)的两个根是x_1、x_2,那么x_1+x_2=-b/a,x_1·x_2=c/a。此定理对结论成立的先决条件交代很清楚,即“原方程存在两个根x_1和x_2”。但在教学过程中,我发现有些学生在运用这一关系时却只记住了结果,忽视了条件,因粗心大意导致解题错误。 错例1.判断正误:方程ax~2+bx+c=(a≠0)两根之和为-b/a。( ) 错误判断为“对”。 错例2.若方程x~2+(m~2-1)x+1+m=0的两根互为相反数,则m的值为( ) (A)1或-1; (B)1; (C)-1; (D)0。 错选(A)。     

谈谈韦达定理

一、教学中的一个问题己知方程x~2+px+q=0的两个根x_1、x_2,求以此两根的平方为两根的方程.解:∵x_1、x_2是方程x~2+px+q=0的根,由韦达定理,得     

1991年上海市初三数学竞赛试题及解答

一、填空题(本题10小题,前5小题每题6分,后5小题每题8分;共70分) 1.实数x使x-1/x=5~(1/2),则x+1/x=____。 2.若a、b是二次方程x~2-x+g=0的两个根,则a~3+b~3+3(a~3b+ab~3)+6(a~3b~2+a~2b~3)的值是____。 3.设m为实数,方程x~2-5x+m=0有一个根的相反数是方程x~2+mx+5=0的一个根,则m=____。 4.用[a]表示不超过实数a的最大整数,{a}=a-[a]表示a的小数部分,则方程[x~3]+[x~2]+[x]={x}-1的解是____。     

辽宁省1997年中等学校招生考试数学试题

一、填空题(每小题2分,共30分) 1.方程(x 1)(3x-2)=0的根是____。 2.函数y=(3-x)~(1/2)的自变量x的取值范围是____。 3.已知如图,圆周角∠ACB的度数为42°。则圆心角∠AOB的度数为____。 4.如果x_1、x_2是方程x~2-3x 1=0的两个根,那么,x_1 x_2=____,x_1x_2=____。     

解无理方程验根时应注意的一点

解无理方程容易产生增根,在验根时要注意一个问题:所求到的解既要使方程中每一个根式有意义,又要使方程两边的值相等,这样的值才是原方程的解。目前,在学生中似乎存在这样一个问题:验根时只考虑根式有无意义,较少考虑方程左右两边的值是否相等,认为求出的解能使各根式有意义就一定是原方程的解,其实否也。如:方程(2x~2-3x+2)~1/2-(2x~2+x-1)~1/2=1经过移项、两边乘方,可求得x_1=1/2或x_2=2.     

浅谈辅助方程法

用适当方法构造与原问题有关的方程,利用方程的知识使原题获解,此为“辅助方程法”。一、解方程(组) 例1 解关于x的方程 x~4 6x~3-2(a-3)x~2 2(3a 4)x 2a a~2=0 解:化为a的方程: a~2-2(x~2-3x-1)a (x~4-6x~3 6x~2 8x)=0解得a=x~2-4x,a=x~2-2x-2。故得原方程的解x_(1,2)=2±4~(1/2) a,x_(3,4)=1±(3 a)~(1/2)(注;a<-3时,有虚根)     

错在哪里

1.湖北监利一中严运华来稿(邮编:433300) 题:求m值范围,使方程x~2 2(m-1)x 3m~2-11=0有正数根。解原方程有正实数根的等价条件为: m~2 m-6≤0 3m~2-11>0 -2(m-1)>0 解得-3≤m<-33~(1/2)/3。故m在-3≤m<-33~(1/2)/3的范围时,