2004中国数学奥林匹克

第一天( 2 0 0 4 - 0 1 - 0 8)一、凸四边形EFGH的顶点E、F、G、H分别在凸四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上,且满足AEEB·BFFC·CGGD·DHHA=1.而点A、B、C、D分别在凸四边形E1F1G1H1的边H1E1、E1F1、F1G1、G1H1上,满足E1F1∥EF ,F1G1∥FG ,G1H1∥GH ,H1E1∥HE .已知E1AAH1=λ.求F1CCG1的值. (熊　斌　供题)二、已给正整数c ,设数列x1,x2 ,…满足x1=c ,且xn=xn -1 2xn -1- (n 2 )n 1,n =2 ,3,…,其中[x]表示不大于x的最大整数.求数列{xn}的通项公式. (黄玉民　供题)三、设M是平面上n个点组成的集合,满足:(1)…     

2009中国数学奥林匹克

第一天 1.给定锐角△PBC,PB≠PC.设A、D分别是边PB、PC上的点,联结AC、BD交于点O.过O分别作OE⊥AB于E,OF⊥CD于F,线段BC、AD的中点分别为 M、N.     

祝贺中国数学奥林匹克代表队在第38届IMO比赛中取行优异成绩

第38届IMO于7月21日至31日在阿根廷的马德普拉培举行,共有82支代表队的460名选手参赛,23日开幕式,24、25日两天考试,30日闭幕式颁奖。此次参赛获奖人数为231名,其中39名获金牌,70名获银牌,122名获铜牌,我六名选手全部获金牌,并以223分的总分列第一名。     

2005中国数学奥林匹克

第一天(2005-01-22)一、设θi∈-π2,π2,i=1,2,3,4.证明:存在θ∈R,使得如下两个不等式cos2θ1·cos2θ2-(sinθ1·sinθ2-x)2≥0,①cos2θ3·cos2θ4-(sinθ3·sinθ4-x)2≥0②同时成立的充分必要条件是∑4i=1sin2θi≤21 ∏4i=1sinθi ∏4i=1cosθi.③(李胜宏　供题)二、一圆与ABC的三边BC、CA、AB的交点依次为D1、D2、E1、E2、F1、F2.线段D1E1与D2F2交于点L,线段E1F1与E2D2交于点M,线段F1D1与F2E2交于点N.证明:AL、BM、CN三线共点.(叶中豪　供题)图1三、如图1所示,圆形的水池被分割为2n(n≥5)个“格子”.我们把有公共…     

2006中国数学奥林匹克

第一天(2006-01-12)一、实数a1,a2,…,an满足a1+a2+…+an=0.求证:max1≤k≤n(a2k)≤3n∑in=-11(ai-ai+1)2.(朱华伟供题)二、正整数a1,a2,…,a2006(可以有相同的)使得aa12,aa23,…,aa22000065两两不相等.问:a1,a2,…,a2006中最少有多少个不同的数?(陈永高供题)三、正整数m、n、k满足mn=k2+k+3.证明:不定方程x2+11y2=4m和x2+11y2=4n中至少有一个有奇数解(x,y).(李伟固供题)第二天(2005-01-13)四、在Rt△ABC中,∠ACB=90°,△ABC的内切圆⊙O分别与边BC、CA、AB相切于点D、E、F,联结AD,与内切圆⊙O相交于点P,联结BP、CP.若∠BPC=90…     

1998中国数学奥林匹克

第一天 (1998-01-12 8:00～12:30,广州) 一、在一个非钝角△ABC中,AB>AC,∠B=45°,O和I分别是△ABC的外心和内心,且2~(1/2)OI=AB-AC.求sinA (黄宣国 供题) 二、对于给定的大于1的正整数n,是否存在2n个两两不同的正整数a_1,a_2,…,a_n,b_1,b_2,…,b_n,同时满足以下两个条件: (1)a_1 a_2 … a_n=b_1 b_2 … b_n;     

2013中国数学奥林匹克

第一天1.两个半径不相等的圆Γ1、Γ2交于点A、B,点C、D分别在圆Γ1、Γ2上,且线段CD以A为中点,延长DB与圆Γ1交于点E,延长CB与圆Γ2交于点F,设线段CD、EF的中垂线分别为l1、l2.证明:(1)l1与l2相交;(2)若l1与l2的交点为P,则三条线段CA、AP、PE能构成一个直角三角形.(熊斌供题)2.确定所有由整数构成的非空集合S,满足:若m、n∈S(m、n可相同),则3m-2n∈S.(陈永高供题)3.求所有的正实数t满足:存在一个由实数组成的无限集合X,使得对任意的x、y、z∈X(x、y、z可相同),及任意实数a与正实数d,均有max｛|x-(a-d)|,|y-a|,|z-(a+d)|} ＞td.     

2011中国数学奥林匹克

第一天 1．设a1,a2,…,an（n≥3）是实数．证明：     

2010中国数学奥林匹克

1.两圆Γ1、Γ2交于点A、B,过点B的一条直线分别交圆Γ1、Γ2于点C、D,过点B的另一条直线分别交贺Γ1、Γ2于点E、F,直线CF分别交圆Γ1、Γ2于点P、Q.设M、N分别是弧(PB)、(QB)的中点.若CD=EF,求证:C、F、M、N四点共圆.     

2012中国数学奥林匹克

允许对一个矩阵作如下操作：选取一行或一列,将该行或该列的每个数同时加上1或同时减去1．若可以通过有限多次上述操作将A中元素全变为0,则称月是一个“好矩阵”．求好矩阵A的个数．     

1997中国数学奥林匹克

第一天 (1997—O1—13 8:00—12:30) 一、设实数x_1,x_2,…,x_(1997)满足如下两个条件: (1)-1/3~(1/2)≤x_i≤3~(1/2)(i=1,2,…,1997);     

2005中国西部数学奥林匹克

第一天1.已知α2005+β2005可表示成以α+β、αβ为变元的二元多项式.求这个多项式的系数之和.(朱华伟供题)图12.如图1,过圆外一点P作圆的两条切线PA、PB,A、B为切点,再过点P作圆的一条割线分别交圆于C、D两点,过切点B作PA的平行线分别交直线AC、AD于E、F.求证:BE=BF.(冷岗松供题)3.设S={1,2,…,2005}.若S中任意n个两两互质的数组成的集合中都至少有一个质数,试求n的最小值.(唐立华供题)4.已知实数x1,x2,…,xn(n>2)满足|∑ni=1xi|>1,|xi|≤1(i=1,2,…,n).求证:存在正整数k,使得|∑ki=1xi-∑ni=k+1xi|≤1.(冷岗松供题)第二天图25…     

2001年中国数学奥林匹克

第一天 (2001-02-13 9∶30-14∶00 香港) 一、给定a,2~(1/2)相似文献   

2000年中国数学奥林匹克

一、设a、b、c为ΔABC的三条边，a≤b≤c，R和r分别为ΔABC的外接圆半径和内切圆半径．令f=a b-2R-2r，试用角C的大小来判定f的符号．     

2011中国西部数学奥林匹克

第一天 1．已知0〈x、y〈1．求     

2007中国西部数学奥林匹克

第一天 一、(15分)已知T＝{1,2,…,8}.对于A∈T,A≠Φ,定义S(A)为A中所有元素之和.问:T有多少个非空子集A,使得S(A)是3的倍数,但不是5的倍数?     

2008中国西部数学奥林匹克

第一天 1.实数数列{an}满足 a0≠0,1,a1＝1-a0, an+1＝1-an(1-an)(n=1,2,…). 证明:对任意的正整数n,都有 a0a1...an(1/a0+1/a1+…+1/an)=1.     

2009中国西部数学奥林匹克

第一天 1.设M是一个由实数集R去掉有限个元素后得到的集合.证明:对任意的正整数n,都存在n次多项式f(x),使得f(x)的所有系数及n个实根都属于M.(冯志刚提供)