两条异面直线间距离的求法

两条异面直线间距离的求法景泰县二中王金喜定义法根据两条异面直线间距离的定义，先做出两条异面直线的公垂线段，然后再求出公垂线段的长度，即为所求，例１．在棱长为ａ的正方体ＡＢＣＤ──Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′中，求异面直线ＤＢ′与Ａ′Ｃ′间的距离。解：如图（１），...     

用等积法求异面直线间的距离

求异面直线间距离是《立体几何》中的难点之一 .笔者在教学过程中发现 ,学生在用定义能直接找出异面直线公垂线段时 ,求其长基本上不存在问题 .但在不易找出异面直线公垂线段时 ,而要求其长往往存在一定的困难 .这时 ,若能用等积法去求异面直线间距离则是行之有效的解决办法之一 .用等积法求异面直线间距离的方法如下 :若ａ、ｂ是两条异面直线 ,设法找出过ｂ而与ａ平行的平面α ,则ａ、ｂ间距离就是直线ａ到平面α的距离 ,也就是直线ａ上一点Ｏ到平面α的距离 .此时 ,利用三棱锥换底而体积不变的做法 ,即可达到求点Ο到平面α的距离的目的 .…     

两异面直线距离的求法

对于两异面直线的距离 ,尽管教学大纲上仅要求会利用给出的公垂线段计算距离 ,但新教材第二册 (下 )第 5页习题 9.8第 4题仍出现未给出公垂线段要求两异面直线距离的问题 .笔者以此题为例说明求两异面直线距离的几种方法 .原题为 :已知正方体ＡＢＣＤ -Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′的棱长为 1,求直线ＤＡ′与ＡＣ的距离 .解法 1　 (直接法 ,直接作出公垂线段 )如图 1,连结ＢＤ′,则由三垂线定理知ＢＤ′⊥ＡＣ ,ＢＤ′⊥ＤＡ′,ＢＤ′是ＤＡ′与ＡＣ的公垂线 .连结ＢＤ ,交ＡＣ于点Ｏ .取ＤＤ′的中点Ｍ ,连结ＡＭ ,ＯＭ ,则ＯＭ ∥ＢＤ′ .设ＡＭ交Ｄ…     

新教材一道习题的多种求解方法

人民教育出版社新编普通高级中学课本 (试验修订本·必修 )第二册 (下Ｂ)习题 9· 8中有这样一道题目 :已知正方体ＡＢＣＤ—Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′的棱长为 1,求直线ＤＡ′与ＡＣ的距离 .这是一道求异面直线距离问题的典型题目 ,本文将给出七种求解方法 ,以供参考 .1　定义法先找到或作出两异面直线的公垂线段 ,然后求出其长 .分析　题目中没有直接给出两异面直线的公垂线 ,需先作出 .如图 1,注意到对角线ＢＤ′与ＡＣ及Ａ′Ｄ均垂直 ,取Ａ′Ｄ上点Ｍ ,ＡＣ上点Ｎ ,连ＭＮ ,设ＭＮ∥ＢＤ′,则ＭＮ即为两异面直线的公垂线段 .因为ＭＮ与ＢＤ′所…     

点击异面直线间的距离

求异面直线间的距离是高中数学的一个难点,难在不知该如何去寻找异面直线的公垂线,也不会将所求的问题进行转化.那么如何求异面直线的距离呢?本文介绍几种求异面直线间距离的方法,以供参考.1 直接法直接法就是根据2条异面直线间距离的定义,直接找出公垂线段,再求出长度,这是解题时首先要考虑的方法.当公垂线段能直接作出时就直接求解,此时,作出并证明异面直线的公垂线段是求异面直     

异面直线距离的求法介绍

求异面直线距离是立体几何中的一个重点 ,也是一个难点 ,学好这一内容对于点面、线面、及面面距离等后续课程的学习影响很大 .鉴于去年高考中考查了异面直线距离 ,为帮助学生学习这一内容 ,本文系统地介绍一些求异面直线距离的各种方法 ,以便开拓思路 ,扩大视野 ,同时也为综合运用各种知识打下一个坚实的基础 .1　直接法直接作出两异面直线公垂线段 ,再求这个公垂线段的长 .具体做法如下 :( 1)若异面直线ａ、ｂ互相垂直 ,则可通过一条(如ａ)作另一条 (如ｂ)的垂面α ,得垂足 ,然后过垂足在α内作出公垂线段 (如文中例 1( 1) ) ;( 2 )若异面…     

求异面直线所成角的一个公式及推论

异面直线的夹角是立体几何中的重要内容 ,求异面直线所成角的大小 ,通常需要将其化归到同一平面内求解有一定难度 ,学生普遍感到困难 .为突破　　　　　图 1教学中这一难点 ,本人经探讨得到了求异面直线所成角的一个公式 ,运用这个公式可直接计算出该夹角的大小 ,从而避免了繁杂的推理论证 .定理　如图 1,四面体ＡＢＣＤ ,异面直线ＡＢ与ＣＤ所成的角为θ ,则　　ｃｏｓθ=｜ (ＡＤ2 +ＢＣ2 ) - (ＡＣ2 +ＢＤ2 ) ｜2ＡＢ·ＣＤ .证明　设ＭＮ为异面直线ＡＢ与ＣＤ的公垂线 ,当ＡＣ、ＢＤ在ＭＮ的异侧时 ,由异面直线上两点间的距离公式 ,得Ａ…     

求异面直线距离的几种方法

求异面直线间的距离是高中数学的一个难点,难就难在不知怎样去找异面直线的公垂线,也不会将所求的问题进行转化.为此,下面举例向大家介绍几种求异面直线间距离的方法,相信对大家学好这部分知识会有一定的帮助.一、平移法解题思路:若能找到一条直线c,使c与异面直线a和b都垂直,但c又不是a、b的公垂线,这时我们设法将直线c平移到直线c’处,使c’均与a、b均相交,则c’夹在α和占之间的线段就是a和b的公垂线段.然后再根据平面几何和     

关于三角形面积比的一个定理及应用

定理　如右图 ,在△ＡＢＣ中 ,ＡＤ、ＢＥ相交于Ｆ。若 ＡＥＥＣ =ｍ ,ＣＤＤＢ=ｎ ,则 Ｓ△ＡＢＦＳ△ＡＢＣ=ｍｍｎ ｍ 1 。证明　∵ ＡＥＥＣ=ｍ ,ＣＤＤＢ=ｎ ,则由直线ＢＦＥ截△ＡＣＤ ,利用梅涅劳斯定理得ＡＥＥＣ·ＣＢＢＤ·ＤＦＦＡ=1 ,即ｍ1 ·ｎ 11 ·ＤＦＦＡ     

一个简单的立体几何结论及其应用

众所周知 ,在平面几何中 ,如果线段ＡＢ的中点在直线ｌ上 ,那么Ａ、Ｂ两点到直线ｌ的距离相等 .在立体几何中有同样类似的结论 :如果Ａ、Ｂ两点在平面α的异侧 ,且线段ＡＢ的中点在平面α上 ,那么Ａ、Ｂ两点到平面α的距离相等 .证明　如图 1 ,过Ａ、Ｂ两点分别作平面α的垂线ＡＡ1 、ＢＢ1 垂足分别为Ａ1 、Ｂ1 ,则ＡＡ1 ∥ＢＢ1 ,ＡＡ1与ＢＢ1 确定一个平面 β,α∩ β=Ａ1 Ｂ1 ,ＡＢ∩Ａ1 Ｂ1 =Ｏ .易知Ｒｔ ＡＡ1 Ｏ≌Ｒｔ ＢＢ1 Ｏ ,从而ＡＡ1 =ＢＢ1 ,即Ａ、Ｂ两点到平面α的距离相等 .例 1　如图 2 ,四棱锥Ｓ-ＡＢＣＤ中 ,底面ＡＢＣ…     

求两条异面直线距离的常用方法

我们知道,与两条异面直线都垂直且相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线,而在这两条异面直线间的公垂线段的长度叫做这两条异面直线的距离.求两条异面直线的距离是立体几何的难点之一.主要难在学生不会灵活运用所学的知识找出两条异面直线的公垂线段或将所求的问题进行转化.下面针对这两个难点谈谈求两条异面直线距离的常用方法.一、定义法其思路是在已知图形中找出与两条异面直线都垂直且相交的直线,然后再求出公垂线段的长.例1如图1,已知长方体ABCD-A1B1C1D1的长和宽都是4cm,高是2cm.求异面直线AD和BC1的距离.分析:由ABCD-A1B1C1…     

求解异面直线间距离七法

求异面直线之间的距离是立体几何的重点、难点之一,常见解题思路有:利用图形性质,直接找出该公垂线,然后求解;或者通过空间图形性质,将异面直线距离转化为直线与其平行平面间的距离,或转化为分别过两异面直线的平行平面间的距离,或转化为求一元二次函数的最值问题,或用等体积变换的方法来解.本文借助正方体模型来简单说明求异面直线之间距离的一些方法。     

九年级结课代数质量检测题

一、选择题 (每小题 3分 ,共 30分 )1.若点Ｐ(ａ ,ｂ)到ｘ轴的距离是 2 ,到ｙ轴的距离是 3,则这样的点Ｐ有 (　　 ) .(Ａ) 1个　　 (Ｂ) 2个　　 (Ｃ) 3个　　 (Ｄ) 4个2 .直线ｙ =- 2ｘ + 12 不通过 (　　 ) .(Ａ)第一象限 (Ｂ)第二象限(Ｃ)第三象限 (Ｄ)第四象限3.若直线ｙ =12 ｘ +ｎ与直线ｙ =ｍｘ - 1相交于(1,- 2 ) ,则 (　　 ) .(Ａ)ｍ =12 ,ｎ =- 52 (Ｂ)ｍ =12 ,ｎ =- 1(Ｃ)ｍ =- 1,ｎ =- 52 (Ｄ)ｍ =- 3,ｎ =- 324 .若二次函数ｙ =(ｍ + 1)ｘ2 +ｍ2 - 2ｍ - 3的图像经过原点 ,则ｍ的值必为 (　　 ) .(Ａ) - 1或 3　 (Ｂ) - 1　 (…     

求点到平面距离的一种方法

在求点到平面的距离中 ,有很多题常采用间接的方法 ,而在间接方法中又以等积变换为常见 .下面介绍一种新方法 ,为我们在解题中提供一条途径 .　　　　　图 1如图 1,设线段ＡＢ上一点Ｐ分线段ＡＢ为ｍｎ(ＡＰＢＰ =ｍｎ) ,若平面α过Ｐ点与线段ＡＢ相交 ,则易证Ａ点到平面α的距离是Ｂ点到α距离的 ｍｎ 倍 .简证　分别过Ａ、Ｂ作平面α的垂线 ,Ｃ、Ｄ分别为垂足 ,连ＣＤ(Ｐ一定在ＣＤ上 ) .由△ＡＣＰ ∽△ＢＤＰ ,得 ＡＣＢＤ =ＡＰＢＰ =ｍｎ ,即ＡＣ =ｍｎ ·ＢＤ .下面举例说明它的应用例　如图 2 ,在棱长为ａ的正方体ＡＢＣＤ—Ａ1Ｂ1…     

向量──求空间距离的有力工具

向量除了用来求解有关角度 (包括垂直 )问题 ,还可以用来求各种距离 ,包括两点间的距离 ,点到直线的距离 ,点到平面的距离 ,异面直线之间的距离 ,等等 .具体途径如下 :(1)欲求两点Ｅ、Ｆ之间的距离 ,改为求向量ＥＦ的模 ;(2 )欲求点Ｅ到直线ＡＢ的距离 ,在ＡＢ上取一点Ｆ ,令ＡＦ =λＦＢ ,由ＥＦ⊥ＡＢ或求｜ＥＦ｜的最小值 ,求得参数λ值 ,以确定Ｆ的位置 ,则ＥＦ的模｜ ＥＦ｜即为点Ｅ到直线ＡＢ的距离 .(3 )欲求点Ｅ到平面ＡＢＣ的距离 ,可设ｎ为平面ＡＢＣ的法向量 ,Ｆ为平面上任一点 ,则Ｅ到平面ＡＢＣ的距离ｄ=｜ＥＦ·ｎ｜｜ｎ｜ .(…     

例谈用转化思想求异面直线的距离

两条异面直线的距离是数学教学中的难点。如果利用转化的思想既易于理解,又利于培养学生综合、创新能力。求两条异面直线距离的方法,主要有: 1、直接构造公垂线段; 2、利用异面直线上两点间距离公式; 3、转化为求平行的直线和平面间的距离;     

平面的法向量及其应用

先介绍以下结论 :如果ａ =(ａ1 ,ａ2 ,ａ3) ,ｂ =(ｂ1 ,ｂ2 ,ｂ3)为平面α上的两个不共线向量 ,又ｎ =(ｘ ,ｙ,ｚ) ,且ｎ·ａ=ａ1 ｘ +ａ2 ｙ +ａ3ｚ =0 ,ｎ·ｂ =ｂ1 ｘ+ｂ2 ｙ+ｂ3ｚ=0 ,则ｎ⊥平面α ,向量ｎ叫做平面α的法向量 .利用平面α的法向量ｎ,可解决立体几何中有关线面夹角、线面垂直、面面垂直、求二面角的大小和求点到平面的距离等问题 ,且思路清晰 ,解题快捷、准确 .以下举例说明它的应用 .一、直线与平面垂直要证直线与平面垂直 ,只要直线上的向量与该平面的法向量平行即可 .例 1　在棱长为 1的正方体ＡＢＣＤ -Ａ1 Ｂ1 Ｃ1 …     

一题多解 意在创新

棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求异面直线A1C1与B1C距离.方法1:直接法也叫定义法.当公垂线直接能作出时,直接作出并证明异面直线的公垂线段,是求异面直线距离的关键.     

求异面直线之间距离的常用策略

求异面直线之间的距离是立体儿何重、难点之一．常有直接法和转化法：直接法是利用图形性质，直接找出该公垂线，然后求解．转化法是通过空间图形性质，将异面直线距离转化为直线与其平行平面间的距离，或转化为分别过两异面直线的平行平面间的距离，或转化为求一元二次函数的最值问题，或用等体积变换的方法来解．     

异面直线上两点的距离公式的教学探微

异面直线上两点的距离公式的教学探微上海市金山县中学戴丽萍现行高中课本《立体几何》（全一册）Ｐ．４２上通过例题“已知两条异面直线ａ、ｂ所成的角为θ，它们的公垂线段ＡＡ的长度为ｄ．在直线ａ、ｂ上分别取点Ｅ、Ｆ，设ＡＥ＝ｍ，ＡＦ＝ｎ，求ＥＦ”，推导出异...