介绍几种“G_n≤A_n”的证明方法

在平均值不等式中,“几何平均值G_n≤算术平均值A_n”的应用较广,其证明方法也被人们研究较深,在不同的知识阶段有不同的证法。现介绍如下。 定理 若α_i>0,i=1,2…,n,n>1,A_n=(α_1 α_2 … α_n)/n,G_n=(α_1α_2…α_n)~(1/n)则A_n≥G_n,其中等号当且仅当α_1=α_2=…=α_n时成立。     

第29届IMO参赛国提供的备选题

1.(保加利亚1)一个整数序列定义如下: α_0=0,α_1=1,α_n=2α_(n-1)+α_(n-2)(n>1).证明:2~k整除α_n当且仅当2~k整除n. 2.(保加利亚2) 设α_n=((n+1)~2+n~2)~(1/2),n=1,2,…,此处[x]表示x的整数部分、证     

应用《平均不等式》求极值应注意的几个问题

《平均不等式》是指:对任意的正实数α_i (i=1,2,…n),有 n~(α_1α_2…α_n)≤(α_1 α_2 … α_n)/n;其中等号当且仅当α_1=α_2=…α_n时成立。根据等号成立的条件,可以给出一个求函数极值(实际上是最值)的法则:对于任意的正值函数φ_i(x)(i=1,2,…n),     

用均值不等式证题的思路和技巧

均值不等式:“设α_1、α_2、…α_n为n(n>1)个正数,则α_1+α_2+…+α_n≥n (α_1α_2…α_n)~(n/1);等号成立当且仅当α_1=α_2=…α_n”是一个应用比较广泛的不等式,许多外形与它截然不同的不等式的证明,常常能利用它顺得得到解决;不过需要有正确的思路和一定的技巧。本文旨在举例说明利用均值不等式证题的重要思路和技巧,供参考。     

关于三角函数最值的几条结论

定理1 设α_1,α_2,…,α_n∈[2kπ,(2k+1)π],其中 k 取自然数,α_1+α_2+…+α_n=θ(θ为定值),则 sin α_1+sin α_2+…+sin α_n≤nsin θ/n,当且仅当α_1=α_2=……α_n=θ/n 时等号成立(其中 n≥2).证明:采用数学归纳法.①当 n=2时,sin α_1+sin α_2=2sin((α_1+α_2)/2)cos((α_1-α_2)/2)=2sin(θ/2)cos((α_1-α_2)/2)≤2sin(θ/2).②假设 n=m 时命题成立(这里的 m 是大于2的自然数),     

求数列通项的一个简易方法——待定系数法

数列是初等数学的重要内容之一。处理这类问题的有效方法是归纳法,但对于某些结构较复杂的数列。却未必是万宝灵丹。本文介绍求数列通项的另一种方法,它着重于探索数列通项的形式,在此基础上利用待定系数的方法求其通项。一、满足一阶递归关系式α_n=pα_(n-1)+r的数列的通项α_(no)其中p、r是常数p≠0(p=0是常数列)。 (1)若p=1,则α_n-α_(n-1)=r,{α}是等差数列,∴α_n=c_1+c_2,其中c_1=r。 (ii)若p≠1。则令c_1=r/1-p     

例谈两个数列恒等式的应用

我们熟知两个数列恒等式1．α_1 (α_2-α_1) (α_3-α_2) … (α_n-α_(n-1))=α_n．2．α_1·α_2/α_1·α_3、α_2……α_n、α_(n-1)=α_n(α_n≠0)．笔者在教学中发现这两个恒等式在求数列通项及数列恒等式与不等式的证明中有着不可低估的作用．下面举例说明上述恒等式的应用．     

借助坐标观点求通项

某些特殊的二项递推关系α_(n+1)=f(α_n),总可以视为由一元函数y=f(x)所确定。而求通项公式,一般是将二项递推关系变形为一项式α_(n+1)-x_0=φ(α_n-x_0),再代换成基本数列α_(n+1)′=φ(α_n′)求解。这种变形和代换,我们     

从a_(n 1)=pa_n q到g(a_(n 1))=p·g(a_n) q——兼谈一类高考数列试题的求解思路

数列试题在高考试卷中一直占有重要位置,以递推形式给出的数列试题又是其中的重中之重,早就有人总结出这类试题中的递推规律常以α_(n 1)＝pα_n q形式给出,并详细研究了这类试题的求解方法。但近几年来,随着分省命题的逐步推进,试题的数量、形式出现了空前的繁荣。同时,许多创新试题也脱颖而出,其中数列试题在递推形式的呈现上也有许多新的突破,某些试题的递推形式已由α_(n 1)＝pα_n q演变为“g(α_(n 1))＝p·g(α_n) q”的形式(其中g(x)在具体问题中是已知函数)。很显然,前者可看成后者当g(α_(n 1))=α_(n 1)的特例。     

l=1、m=+1代表Px吗?

我们在教学过程中,常常会听到一些同学提出这样的问题“当t=1时m=+l代表Px吗?”回答应当是否定的.但是,常常会有人误认为二者是一一对应的.甚至有的书上也说"Ψ_n,1,0,Ψ_n,1,1,Ψ_n,1,-1,亦可写成Ψ_(npx)、Ψ_(npx)及Ψ(?),简称为P_z,P_x及P_y电子云.”应当特别指出,当t=1时,m=+和-1并不相应表示P_x和P_y,这意味着不能误认为;t=1、m=+1一定代表Px,而l=1、m=1则代表P_y,Ψ_a,1,1、Ψ_n,1-1(复函数形式)和Ψ_(npx)、Ψ_(npy)实函数形式)不是对应相等的.同样,当l=2时,m=+1和-1也不相应表示d_(xz)和d_(yz)等.     

再给Rolle定理一个新证明

数学通报1981年第一期介绍了发表在《美国数学月刊》上的Rolle定理的两个新证明。正如编译者指出,Rolle定理的证明在许多数学分析教程中大多千篇一律,多年不变(几乎都要用最大(小)值定理)。《美国数学月刊》上的第一个证明是构造性的,第二个证明应用了两个现成的命题: (a)如果f(x)在闭区间[c,d]上连续,且f(c)=f(d),那么存在α,β∈[c,d]满足β-α=c-d/2,及f(α)=f(β); (b)如f(x)在某内点x可微,那么对于任意两个序列α_n,β_n满足α_n≤x≤β_n,     

利用图像巧解运动学问题

我们知道,数学函数图像中曲线切线的斜率k=△y/△x(在y-x坐标系里).而在物理函数图像中曲线切线的斜率有其物理意义,例如:在s-t图中,tanα=△s/△t=v,表示物体在该时刻速度的大小.在v-t图中k=tanα=△v/△t=a表示物体在该时刻加速度的大小.     

利用斜率证两高考数列题

有的数列题,若纯利用斜率可获别开生面的巧解.下面略举两道近两年高考题供同学们参考.例1 设{α_n}是正数组成的等比数列,其前 n 项和为 S_n.(95年全国高考试题)     

点击“sin~2α+cos~2α=1”的应用

同角三角函数关系式“sin~2α cos~2α=1”在三角恒等变形中具有广泛的应用．本文作一介绍,供大家参考．一、正用例1已知tanα=m≠0,求sinα．解:由sin~2α cos~2α=1,sinα/cosα=tanα,可得tan~2α=sin~2α/cos~2α=1-cos~2α/cos~2α= 1/cos~2α-1,所以cos~2α=1/1 m~2,可得cosα=±1/(?)~(1/2)．又m≠0,知α终边     

数学奥林匹克问题

本期问题 初87.设n为自然数,α_n、β_n(α_n>β_n)是一元二次方程两根的整数部分。求的值。     

巧用Sin~2α+Cos~2α=1解题

一、正用例1已知sinα+cosα=m,sinαcosα=n,则m,n的关系是().A.m=n B.m=2n+1 C.m~2=2n+1 D.m~2=1-2n解将sinα+cosα=m两边平方,得sin~2α+2sinαcosα+cos~2α=m~2,     

妙用公式“sin~2α+cos~2α=1”

公式“sin2α+cos2α=1”是高中三角函数问题中一个十分重要的公式,它是同角三角函数基本关系式之一,具有十分广泛的应用.在解决三角问题时,如能活用该公式,充分挖掘其潜在功能,往往可以推陈出新,给人以耳目一新的感觉.一、三角函数式的化简例1化简1-sin6α-cos6αsin2α-sin4α.解1-sin6α-cos6αsin2α-sin4α=1sin2αcos2α-sin2α+cos2αsin2αcos2α×(sin2α+cos2α)2-3sin2αcos2αsin2αcos2α=1-(1-3sin2αcos2α)sin2αcos2α=3.二、用公式求值例2已知sinθ+cosθ=15,θ(0,π),则cotθ=_____.解∵sin2θ+cos2θ=1,∴(sinθ+cos…     

错在哪里

数学直线倾斜角余弦值为(4/5),求此直线的斜率．错解：∵cosα=(4/5),∴sinα=±(3/5)．∴斜率k=tanα=(sinα)/(cosα)=±(3/4)．     

配合物{[Cd_(0.5)(Ac)(bbib)_(0.5)](H_2O)_2}_n的合成及晶体结构研究

本文合成了一个新的Cd(II)配位聚合物{[Cd_(0.5)(Ac)(bbib)_(0.5)](H_2O)_2}_n,并对其晶体结构进行了研究.该晶体属于单斜晶系,C2/c空间群,晶胞参数:a=11.1259(4) ,b=14.7638(5) ,c=16.4687(7) ,α=90°,β=106.975(4)°,γ=90°,V=2587.31(18)~3,Z=8,D_c=1.517 mg/m~3,最终偏差因子R_1=0.0294,wR_2=0.0691[I(2((I)],F(000)=1208.0.该配合物的1D链结构通过氢键链接为2D层结构,进而通过π-π堆积作用形成了最终的3D结构.     

两种直线方程的特征及应用比较

<正>一、直线方程x=my+n的特征(1)过x轴上一点(n,0);(2)若直线的斜率为k(k≠0),则k=1/m(m≠0);若直线的倾斜角为α(α≠0),则m=1/tanα;若m=0,直线方程为x=n,此时直线的斜率不存在;(3)应用范围:能表示与x轴垂直的直线(即斜率不存在),不能表示与x轴平行的直线(即斜率为0).二、直线方程y=k(x-x_0)+y_0的特征