利用柯西不等式的变式速解题

正武增明老师在《高中数学教与学》2013年第11期发表的文章《柯西不等式的应用技巧》中给出:利用柯西不等式证明某些不等式或求某些多元函数的最值的方法.本文向读者介绍解决这类问题的另一种简单快捷的方法,那就是利用柯西不等式的变式解题.柯西不等式有如下重要变式:若y_i∈     

分布式不等式的又一证法

关于分式不等式的证明,人们已总结了不少方法.本文利用柯西(Cauchy)不等式的一种变式再给出一种证法,这种证法常被人们所忽视,然而它在证明一类分式不等式时却十分奏效,现介绍如下,以供参考.     

例谈高考对《不等式选讲》的考查

《不等式选讲》作为高考选考内容之一,是对以前所学不等式内容的加强、延伸和深化,通过不等式的证明、不等式的几何意义、不等式的背景,从不等式的数学本质上加以剖析,从而提高逻辑思维能力、分析和解决问题的能力.主要内容包括绝对值不等式、平均值不等式、柯西不等式及证明不等式的基本方法.重点考查内容有解含绝对值不等式、含绝对值函数的作图及函数图象间的关系、解含绝对值不等式的参数问题以及利用重要不等式对一些简单的不等式进行证明等,考查利用数形结合解决问题的能力.     

关于一道典型不等式证明题的思考

问题已知a>0、b>0,求证(a b)(1/a 1/b)≥4.这是基本不等式的应用中一道非常典型的例题,同时也倍受各类考试命题者的青睐.从表面上看,该例题仅仅是基本不等式的简单运用,即通过展开不等式的左边,进而满足基本不等式得出最终解.从它的推广价值上看,又蕴涵着求最值重要的思想方法,即通过变式获取求最值的典型算法:“1”的附乘.一般地,对本题的关注有2个层次:直接运用它的证明算法;借用它的形式特征.下面谈谈本人的一点体会,供同学们参考.1直接运用解决问题例1已知不等式(x y)(1x ya)≥9对任意正实数x、y恒成立,则正实数a的最小值为().A2不;等…     

巧用柯西不等式的变式解竞赛题

柯西不等式是证明不等式的重要工具,也是求解某些最值问题时常用的理论根据,尤其在数学竞赛中应用广泛．用柯西不等式及其变式处理问题的基本途径关键有两点：一是要抓住所求问题的结构特点;二是要掌握基本的数学思想方法,通过变形与转化,使所求问题与柯西不等式形成对接,从而达到简便快速解题的目的．     

基于ZPD理论的“基本不等式”变式教学

教学应从学生已有经验出发，逐渐生长出新的知识经验.文章结合维果斯基的“ZPD”理论，探讨了高中数学中基本不等式的变式教学，使得学生在已有认知的基础上通过自身努力和教师的引导逐步稳定掌握基本不等式中各种变式题型.     

柯西不等式及均值不等式的两个推论的应用

柯西不等式及均值不等式是人们所熟知的基本不等式，立足基本公式，灵活运用基本公式解决各种复杂的问题，这也正是数学中所追求的，从均值不等式推出一个简单易记住的推论，并由此推论和柯西不等式证明了一批不等式。     

一组分式不等式姐妹花的别证及变式

文[1]给出一组美丽的姐妹花不等式,但证明过程利用均值不等式实属不易,笔者尝试利用柯西不等式的变式:设a_i,b_i∈R,i=1,2,     

分式不等式的又一证法

关于分式不等式的证明 ,人们已总结了不少方法 .本文利用柯西 (Ｃａｕｃｈｙ)不等式的一种变式再给出一种证法 ,这种证法常被人们所忽视 ,然而它在证明一类分式不等式时却十分凑效 ,现介绍如下 ,以供参考 .柯西不等式的变式　设ａｉ∈Ｒ ,ｂｉ∈Ｒ(ｉ=1,2 ,… ,ｎ) ,则　　　 ( ｎｉ=1ａｉｂｉ) 2 ≤ ( ｎｉ=1ａｉ) ( ｎｉ=1ａｉｂ2 ｉ) ,( )等号成立当且仅当ｂ1=ｂ2 =… =ｂｎ.由柯西不等式易知不等式 ( )成立 ,证明从略 .为书写方便 ,用 表示循环和 .例 1　已知ｘ ,ｙ ,ｚ∈Ｒ ,ｋ为常数 ,ｋ∈Ｒ ,求证 ｘｋｙ ｚ ｙｋｚ ｘ ｚｋｘ …     

运用基本不等式探究两类最值问题的对比分析

基本不等式是求解最值问题的有力工具．而面对轮换对称式和非轮换对称式这两种类型的最值问题，怎样适时合理使用基本不等式是求解的关键．尤其是非轮换对称式，往往需要先利用待定系数法找出合适系数后再解答．通过这两类最值问题的解法对比分析、变式训练和适度拓展，力求让学生达到“学一例，触一类，通一片”的学习效果．     

一道不等式问题的思考与引申

从一道不等式问题开始,首先探讨该不等式的解题思路,给出多种解法,然后,从三个方向给出该不等式的引申并给出证明,最后给出总结归纳.在引申的过程中,给出不等变式的方向,丰富原题的内涵,在我们加深对该不等式理解的同时,欣赏到数学的"美".     

对一道“废题”改编的尝试

对利用基本不等式求最值的问题,不能“猜”字当头,而应注重解法探究,狠抓变式教学,充分发挥试题的教学功能．     

再谈运用基本不等式的变形技巧

利用基本不等式求解最值、值域、证明不等式,是高中教学的重点之一,也是高考命题的热点之一,特别是在高考的压轴题中常涉及到.对这类问题的关键是灵活创造使用均值不等式的条件.然而,对已知条件如何合理的拆分和配凑,使＂和式＂或＂积式＂为定值,往往是同学们解决这类问题的难点,本文就再谈运用基本不等式的变形技巧.     

基于模式识别的“基本不等式的应用”教学分析

数学问题解决的过程,事实上就是模式识别对主体思维发生作用的过程.在"基本不等式的应用"教学中,首先,必须建立基本不等式的"问题空间";其次,应通过题组变式、情境变换和图式重组等活动,运用、发展和提升模式的层次;再次,注重元认知知识对培养模式识别能力的指导意义,建立新的更高层次的模式.     

运用不等式控制法解数学竞赛题

在中学数学中 ,许多难度较大的竞赛题 ,从形式上看是等式问题 ,有时直接用等式的有关知识去解 ,是较难达到目的的 .但若根据题设条件 ,设法建立不等式 ,控制变量或变式 ,并通过对不等式的研究 ,最后获得结论的方法 ,我们称之为“不等式控制法”.应用这一方法 ,往往需要由等量关系过渡到不等量关系的思维转变 ,因此 ,它是考查学生思维灵活性和敏捷性的最佳题型之一 .所以 ,在近几年国内外数学竞赛中 ,经常出现利用不等式控制法来解的试题 ,但参赛学生对这一重要解题方法的掌握还不是很熟练 ,为此 ,本文就竞赛中的具体例子 ,介绍利用不等式控…     

积分不等式的证明方法刍议

积分不等式是一类重要的不等式,在数学分析中有着广泛的使用,涉及它的证明的题目很多,方法多样,主要有利用函数的单调性、变限积分、平均值不等式、TayLor公式、Schwarz不等式等基本方法。     

从一道题的变式探讨含参一元二次不等式的解法

含参一元二次不等式的解法是不等式解法中的重点,也是教学中的难点.本文通过一道例题的变式,对含参一元二次不等式的解法进行归纳、探讨,供同仁们教学时参考.     

构造局部不等式解决一类不等式问题

正不等式问题是中学数学代数问题的基础和重点,在解决有些不等式问题时,特别是一些分式不等式和根式不等式,从整体上考虑往往难以下手,可以构造若干个结构完全相同的局部不等式来解决,只要局部不等式构造好了,解决这些不等式问题就方便得多了.下面结合一些具体例题谈谈如何利用局部不等式来解决问题.     

基本不等式之“1的代换”

利用基本不等式求最值是高考的基本考点,高考主要求最值、判断不等式、解决不等式有关的问题.运用基本不等式需要注意“一正、二定、三相等”的条件,为了得到“定值”,往往需要对目标式进行恰当的“配”“凑”.“1的代换”是一种常用的方法,可用来创造使用基本不等式的条件.     

均值不等链的探究

<正>对a,b∈R*,a+b2≥ab(当且仅当a=b时等号成立),此不等式是证明其他相关不等式的基础,因此此不等式叫做基本不等式.基本不等式是每年高考的热点,且常考常新.考试大纲对基本不等式的教学要求是掌握基本不等式及其变形,了解其证明过程,会用其解决简单的求最值问题.