偶函数的一组性质及其应用

<正>本文主要论述偶函数的一组优美性质,并以近几年的高考题与竞赛题为例,谈谈它们在解题中的应用.性质1若函数f(x)是偶函数,则必有f(x)=f(|x|),反之亦然.证明若函数f(x)是偶函数,则当x≥0时,f(x)=f(|x|)显然成立;当x<0时,f(|x|)=f(-x)=f(x).故对定义域内的任     

奇偶函数的两个性质在解题中的应用

<正>本文给出奇偶函数的两条性质,并举例说明这两条性质在解题中的应用.首先,由奇函数的定义不难得到奇函数的如下性质.性质1若a+b=0,则奇函数f(x)满足f(a)+f(b)=0.例1(2013年山东高考题)已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+1x,则f(-1)=()(A)-2(B)0(C)1(D)2     

一个重要结论及其应用

结论函数f(x)=daxc b(不妨设a>0),若b2=amd2(m∈R),则f(x) f(m-x)=bc.(※)证明f(x) f(m-x)=cdax b dam-cx b=(d2[adm( a bm-2)x badx)(a x2 b]acm-x)=d(am-x ax 2db)cbd(ax am-x d2abmd b2)因为b2=amd2,所以d2abmd b2=2db,所以f(x) f(m-x)=bc.特例(1)若d=1,则上面的结论(※)可叙述为:函数f(x)=ax c b(a>0),若b2=am,则f(x) f(m-x)=bc.(2)若m=0,b2=1,则上面的结论(※)可叙述为:函数f(x)=axc b(a>0),若b2=1,则f(x) f(-x)=bc.(3)若c=1,d=1时,则上面的结论(※)可叙述为:函数f(x)=ax1 b(a>0),若b2=am,则f(x) f(m-x)=1b.应用(函数的以上性质可应…     

函数奇偶性的应用浅析

<正>函数的奇偶性是函数的四大性质之一,对于定义在D上的函数f(x),若对任意的x∈D,都有f(-x)=-f(x),则称f(x)是奇函数;若对任意的x∈D,都有f(-x)=f(x),则称f(x)是偶函数。函数性质在解题中有着广泛的应用,下面就对函数奇偶性在解题中的应用进行浅析。1.利用奇、偶函数的定义求函数值例1(2014年高考湖南理3)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和     

不动点的性质及应用

近年来,在一些省市高考试题中开始重视不动点的考察,通常以不动点为载体,与函数、数列、不等式、解析几何等知识进行综合,这类问题情境新颖,独到,而教材上又未过多涉及.本文试图探索不动点问题的解题途径、规律和策略.权当对教材的补充.1函数不动点的定义定义:对于函数f(x),若存在实数x0,满足f(x0)=x0,则称x0为f(x)的不动点.对此定义有两方面的理解:(1)代数意义:若方程f(x)=x有实数根x0,则y=f(x)有不动点x0;(2)几何意义:若函数y=f(x)与y=x有交点(x0,y0),则x0为y=f(x)的不动点.在实际问题中经常根据f(x)=x根情况进行讨论,同时结合图形来求解…     

偶函数一个性质的妙用

<正> 偶函数有如下性质: 若f(x)是偶函数,则f(-x)=f(x)=f(|x|):f(-|x |). 例已知偶函数Y=f(x)在[0,+∞)上是增函数,试解关于x的不等式f((?)+4)>f(kx+2),其中k>0.     

奇妙,有用的“不动点”(高一、高二、高三)

定义在区间D上的函数f(x),若实数x0∈D满足f(x0)=x0,则称x0为函数f(x)在D上的一个不动点. 例1 对于定义在区间D上的函数f(x),若实数x0∈D满足f(x0)=x0,则称x0为函数f(x)在D上的一个不动点. (1)求函数f(x)=2x (1/x)-2在(0, ∞)上的不动点;     

奇函数与偶函数

1.定义(1)若对定义域内的每一个x,都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇函数;(2)若对定义域内的每一个x,都有f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数.2.性质(1)f(x)为奇函数或偶函数的必要不充分     

从“题目解决”到“问题本质”的探究——对2022广东省一模导数题的背景思考

<正>一原题呈现题目已知f(x)=lnx+ax+1,f’(x)为f(x)的导函数．(1)若对任意x> 0都有f(x)≤0,求a的取值范围;(2)若0 相似文献   

一类特殊方程的无解性的判别法

中学代数中,有些较为特殊的方程,在实数范围内无解,若依照一般解法,不但演算过程复杂,而且很难判定它们在实数范围内是否无解。本文试图给出这类无解方程的两个判定定理,可以简化解题过程,省时省力。定理1:若方程f(x)=0可表示成f_1[g(x)]=0,且f_1(y)=0无实数根,则方程f(x)=0无实数根。(其中f(x),g(x),f_1(y)均为代数函数,下面定理2假设相同。)。证明:设f(x)=0有实数根x_0,则有: f_1[g(x_0)]=0。令 y_0=g(x_0),则f_1(y_0)=0 即y_0是方程f_1(y)=0的实数根,与题设相矛盾。从而方程f(x)=0无实数根。定理2:若f(x)=0可表示成f_1[g(x)]=0,且f_1(y)=0有实数根y_1,y_2,…,y_n,但对于每一个y_i(1≤i≤n),方程g(x)=y_i都无实数根,则方程f(x)=0无实根。     

不求反函数巧求解

求反函数是高中数学的一个难点,在求解有关反函数的题时,只要灵活应用互反函数的性质,我们则可以对反函数“避而不求”,下面具体介绍不求反函数巧解题的方法:一、求函数值【例1】若函数f(x)=x x2,则f-1(13)=.分析:利用反函数的定义域是原函数的值域,即有f-1(a)=b f(b)=a.解:由x x2=13,解得x=1,所以f-1(13)=1.二、求解析式【例2】已知f(x)=4x 5,求函数f-1(2x 3)的反函数的解析式.分析:利用互反函数的性质:y=f(x)的定义域为A,值域为B,则有f-1[f(x)]=x,x∈A,f[f-1(x)]=x,x∈B则可不求反函数快速解题.解:设y=f-1(2x 3),则f(y)=f[f-1(2x 3)]=2x…     

《高等数学(1)》自测模拟试题

一、填空题1.函数f(x)=11n(x+2)+4-x2的定义域是。2.函数f(x)=1nx+11-x的定义域是。3.若函数f(x)=5exx<03x+ax≥0在点x=0处连续,则a=。4.设f(x)=exx≥0xk+1x<0在x=0处可导,则k=。5.已知f(x)在x=0处可导,则limx→0f(2x)-f(0)x=。6.若y=xx,则dydx。7.若连续函数f(x)在区间a,b内恒有f′(x)<0,则此函数在a,b上的最大值是。8.设f(x)=x2-3x+2,则f(f′(x))=。9.极限limx→0∫x0costdtx=。10.limx→0∫x0sintdtx2=。11.∫exf′exdx=。12.已知函数f(x)的一个原函数是arctan2x,则f(x)=。13.根据定积分的几何意义,∫3-39-x2dx=。14.广义积分∫+∞adxxpa…     

用拉格朗日乘数法解决一类与凸函数有关的多元函数条件最值

<正>1凸函数的定义及性质凸函数的定义当x∈区间I时,若函数f(x)满足f″(x)≤(≥)0恒成立且f″(x)=0的解集是孤立的点集,即f'(x)是减(增)函数,则f(x)是I上的上(下)凸函数.例如,f(x)=xα(0<α<1,x>0),g(x)=logax(a>1,x>0),h(x)=sinx(0≤x≤π)都是上凸函数.凸函数的性质1函数f(x)是区间I上的上凸函     

关于定积分单调性的综合论述

在定积分中,有这样一条性质 定理 若函数f(x)在区间[a,b]上可积,且任取x∈[a,b],有f(x)≥0,则 integral from n=a to bf(x)dx≥0 它称为定积分的单调性。 该性质的条件中f(x)≥0可能有以下情况发生1°x∈[a,b],f(x)=0;2°Ex∈[a,b]使f(x)=0,同时Ex∈[a,b]使f(x)>0;3°x∈[a,b],f(x)>0。     

三次函数的三大性质

随着导数内容进入新教材,函数的研究范围也随之扩大,用导数的方法研究三次函数的性质,不仅方便实用,而且三次函数的性质变得十分明朗,本文给出三次函数的三大主要性质.1单调性三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0).(1)若b2-3ac≤0,则f(x)在(-∞,+∞)上为增函数;(2)若b2-3ac>0,则f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)上为增函数,f(x)在(x1,x2)上为减函数,其中x1=-b-3ab2-3ac,x2=-b+3ab2-3ac.证明f′(x)=3ax2+2bx+c,Δ=4b2-12ac=4(b2-3ac).(1)当Δ≤0,即b2-3ac≤0时,f′(x)≥0在R上恒成立,即f(x)在(-∞,+∞)为增函数.(2)当Δ>0,即b2-3ac>0时,解方程f′(x)=0,…     

三次函数的性质和应用

三次函数f(x)=ax3 bx2 cx d(a≠0)已经成为中学阶段一个重要的函数.本文给出并证明三次函数的三个性质,并例说性质的应用.函数f(x)=ax3 bx2 cx d(a≠0)的导函数为f/(x)=3ax2 2bx c.导函数的对应方程为f/(x)=0即3ax2 2bx c=0,其判别式Δ=4(b2-3ac).若Δ>0,设其两根为x1、x2,并设x1相似文献   

分类讨论的4点注意和8类常见问题

分类讨论就是分情况说明或分情况论述.分类讨论体现了化整为零、积零为整的思想.它要求同学们的思维具有条理性、严密性与完备性.14点注意事项1)要有分类意识在解题中不能统一地、整体地说清问题时,就要想到分情况、分类别地叙述,这就是分类意识.例1(2007年上海卷)已知函数f(x)=x2 xa(x≠0,常数a∈R),讨论函数f(x)的奇偶性,并说明理由.解若f(x)为偶函数,则f(x)-f(-x)=0恒成立,即2xa=0恒成立,所以只有当a=0时,f(x)为偶函数;若f(x)为奇函数,则f(x) f(-x)=0恒成立,即2x2=0,因为x≠0,所以不存在实数,使得f(x)为奇函数.综上,当a=0时,f(x)为偶函…     

巧用“点在曲线内部”的充要条件解题

我们知道,对于二次曲线f(x,y)=0(圆、椭圆)和平面内一点P0(x0,y0),有如下充要条件。(1)若P0(x0,y0)在曲线f(x,y)=0的内部f(x0,y0)<0.(2)若P0(x0,y0)在曲线f(x,y)=0的内部过P0(x0,y0)的直线L恒与曲线f(x,y)=0相交。如果充分利用“点在曲线内部”这一充要条件和性质解题,不仅求解思路清晰、和谐、优美,而且解题过程简捷、明快,可收到事半功倍的效果。下举数例说明。例1.已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线L:(2m+1)y=7m+4(m∈R),证明:不论m取什么实数,直线L与圆恒交于两点。解析:本题的常规解法是:把直线代入圆方程中并整理成有关一元二次方程,…     

导数应用专项训练

一、选择题1.设在[0,1]上函数f(x)的图像是连续的,且f′(x)>0,则下列关系一定成立的是().A.f(0)>0B.f(1)>0C.f(1)>f(0)D.f(1)相似文献   

解恒成立问题的几种主要方法

解函数综合题时,经常能遇到含参数不等式恒成立问题,处理这样的问题对解题能力的要求比较高,本文介绍几种处理恒成立问题的几种主要方法.一、特殊值法若函数f(x)>0(或f(x)<0)对x∈A恒成立,则对特定的x0∈A,有f(x0)>0(或f(x0)<0)【例1】已知f(x)是定义在R上的函数,对于任意的m,n∈R,恒有f(m n)=f(m) f(n),当x>0时f(x)<0恒成立,且f(1)=-2.(1)判断f(x)的奇偶性和单调性;(2)求f(x)在[-3,3]上的值域.解:(1)在f(m n)=f(m) f(n)中,令n=-m得f(0)=f(m) f(-m),在此式中令m=0得:f(0)=f(0) f(0)则f(0)=0∴f(m) f(-m)=0即f(-m)=-f(m),对一切m∈R恒成立.…