关于Diophantine方程x＋y＋xy=2^p-J

设p是素数,对于非负整数k．设F（k）：=2^2k＋1是第k个Fermat数,本文证明了：方程x＋y＋xy=2^p-1没有正整数解（x,Y）的充要条件是P=2或者P=F（k）且F（2^k）也是素数．     

等差数列方幂的和及其推广

本文介绍一种利用计算数学中的差分概念推导出,求∑P=1^mp^m的和的一种新方法。利用这种方法．可以摆脱对∑P=1^mp^m-i(i=1．2,…,m)的依赖．得出求∑P=1^mp^m的和的一般模式．容易记忆;当m较大时．能大大减小运算量,便于计算机计算;能得到求∑P=1^mp^m的和的一般结果。然后,把问题推广为求∑p=1^n(a bp)^m(a、b为常p=1数,m和n为正整数)的和以及求∑p=1^n[(a bp)^k]^m(a、b为常数,”m和k为非零整数,且m、k同号,n为正整数)的和。     

一类正负相间方幂和中因子5的指数

设n=5^am，本文给出了下面正负相间方幂和中因子5的指数公式∑k=0^2n-1(-1)^k[x dk]^r,d=5s 2。     

一个加强不等式的推广

将哈代不等式的加强型改进∞∑n=1(1/nn∑k=1αk)^p＜q^p∞∑n=1(1-1/38n^1/q)α^p/n成立的参数p的范围，由2≤p≤5推广到9/7≤p≤5(1/p 1/q=1).     

一个加强的Hardy不等式

要：通过精确估算，建立如下权系数的不等式，W（k)=1/√kk∑n=1∞∑j=n1/j3/2≤4(1-η/√k)(k∈N, η=0.3469^ )，从而导出Hardy不等式的一个加强式(p=2)．     

自然数k次方幂和的一种简捷算法

自然数k次方幂和∑i=1^n i^k=1^k＋2^k＋…n^k（这里k是任意自然数）,是否也有简单的计算公式呢？     

关于五个裴波那契公式的推广

公式(sum ∑ from k=1 to n)f_k=f_(n+2)-f_2,(sum ∑ from k=1 to n)f_(2k-1)=f_(2n)-(f_2-f_1)(sum ∑ from k=1 to n)f_(2k)=f_(2n+1)-f_1,(sum ∑ from k=1 to n)f_k~2=f_nf_(n+1)(sum ∑ from k=1 to n)f_kf_(k+1)=1/2(f_(n+2)~2-f_nf_(n+1)- 中,我们把前三个关于任意的裴波那契序列公式(即 f_n=f_(n-1)+f_(u-2),f_1=a,f_2=b)推广到二阶线性递推序列(即 f_n=pf_(n-1)+qf_(n-2),f_1=a,f_2=b,p,q,a,b 均为实数);把后两个公式推广到任意的裴波那契序列中去.     

多重调和级数的几个同余式

通过研究∑l1＋l2＋…＋ln=p σln/l1…ln-1lkn,σ∈{-1,1}的同余式,当k=2,3时,对任意的正整数n和素数p〉n＋k-1,得到了∑l1＋l2＋…＋ln=p 1/l1l2…lkn关于模p的同余式.对任意的素数p≥7,证明了∑l1＋l2＋l3＋l4=p （-1）l1/l1l2l3l4关于模的同余式.     

运用组合公式求特殊级数的部分和

运用组合公式Cn^k=Cn^n-k,Cn 1^k=Cn^k Cn^k-1推导并证明了级数∑n=1^∞ n(n 1)……(n k-1）（k∈N,k≥1)的前n项部分和的一般公式；同时给出了级数∑n=1^∞ n^k(k∈N,k≥1前n项部分和的求法。     

一个不等式的别证

文[1]中提出并证明了一个不等式:已知正数a,b满足a+b=1,m,n是正数满足m+n≥4,求证:(1/a^m-a^n)(1/b^m-b^n)≥(2^m+n-1/2^n)^2(1).进而提出一个加强式:已知正数a,b满足a+b=1,k是整数且k≥3,求证:(1/a-a^k)(1/b-b^k)≥(2^k+1-1/2^k)^2(2).