标准误差的讨论

本文主要针对华中工学院,天津大学、上海交大合编的《物理实验》一书中,关于标准偏差的论述,提出疑意。并根据高斯误差理论、推导出正确的标准偏差公式,并有一些必要补充说明,与原著中标准误差定义及公式相比较,本人认为,原书中标准误差公式能视为正确。即σ=(1/n(sum from i=1 to n(x_j-(?))~2))~(1/2)是错的,而σ=((1/(n-1)(sum from i=1 to n(x_j-1/x)~2))~(1/2)是正确的。有证明过程,详见文章内容。     

关于瑞利分布顺序统计量的分布性质

设{Xk,1≤k≤n}独立同分布,X(1),X(2),…,X(n)为其顺序统计量.当Xk服从参数为σ(σ>0)的瑞利分布时,得到了(X(1),X(2),…X(n))的联合概率密度函数,以及X(1)和X(n)的密度函数.从而进一步得到X(1)和X(n)的数学期望与方差的表达式.此外还证明了X(1),X(2)-X(1),…,X(n)-X(n-1)不独立,且不同分布.     

一类固定设计方差函数模型的小波估计

考虑非参数方差模型Yi=σ(xi)εi,i=1,2,…,n,其中xi是固定设计点列,{εi}是严平稳α-混合序列.该文利用小波方法构造了方差函数σ2(x)的估计量,在设定的假设条件下,讨论了其小波估计的有偏性、方差和相合性.     

关于变点模型的线性假设检验

本文对至多一个变点模型 X(i/n)=f(i/n)+(ε(i/n),其中,f(t)=α_1+b_1(t-t),α_2+b_2(t-t),当 t∈[0,t_,),当 t∈(t_,1];0≤t≤1,ε(1/n),….ε(n/n)独立同分布,且ε(1/n)服从正态分布 N(0,σ~2),σ~2是已知的;进行了线性假设检验,并给出了检验功效的估计。     

高等数学指导初等数学偶得(二)——牛顿公式及其应用

本文先给出牛顿公式,并利用求函数的导数与多项式的比较系数法加以证明,再举例说明它在初等代数中的应用.一、公式及其证明当K≤n时,S_k-S_(k-1σ1)+S_(k-2σ2)+…+(-1)~(k-1)S_(1σk-1)+(-1)~k·K_(σk)=0(l)当K>n时,S_k-S_(k-1σl)+S_(k-2σ2)+…+(-1)~nS_(k-nσn)=0(2)其中σ_i(i=1,2,…,n)是初等对称多项式,即σ_i=X_1+X_2+…+X_n,σ_2=x_1X_2+X_2X_3+…+X_(n-1)X_n,…,σ_n=X_1X_2…X_nS_k(K=0,l,2,…)是一类特殊的对称多项式,即S_k=x_1~k+x_2~k+…+X_n~k(S_0=n)证明:令f(x)=(x-x_1)(x-x_2)…(x-x_n)=x~n-σ_1x~(n-1)+σ_2x~(n-2)+…     

运用不等式■≥■证明一类无理不等式

关于无理不等式的证明,近来有许多文章(如文[1]、[2]、[3]等)都介绍了一种的证明方法:等号成立条件法.在此应用“方差”对其中一类无理不等式给出初中学生也能理解的简洁证法.方差是初中代数《统计初步》中的一个重要概念.S~2=(1/n)[(x_1- )~2 (x_2- )~2 … (x_n- )~2]其中 =(1/n)(x_1 x_2 … x_n),S~2表示方差,显见     

关于多重完全数的一个结论

设n为大于 1的正整数 ,ω(n)表示n的不同素因子的个数 ,σ(n)为n的所有正因子之和 .若σ(n) =2n ,则称n为完全数 .若σ(n) =knk≥ 3,则称n为多重完全数 .本文以欧拉定理及费尔马定理为基础讨论了一种特定条件下的多重完全数问题 ,即满足σ(n) =ω(n)·n(ω(n)≥3)的解的情况 ,得到了σ(n) =ω(n)·n(ω(n)≥ 3)的全部解为n =2 3 ·3·5 ,2 5·3·7,2 5·33 ·5·7.     

奇完全数至少有6个素因数≡1(3)的条件

本文证明了如下结果:设N=π~1m~2是一个奇完全数,这里π是奇素数且π≡l≡1(4)。如果3~(11)|σ(m~2),则N至少有6个素因数≡1(3),由此结果证明了若n是一个恰有8个不同素因数的奇完全数,且3·5·11|n,则3~4||n或3~6||n。     

利用函数的单调性巧解方程

有些方程用常规方法解答很困难,若将方程问题转化成函数问题,利用函数的单调性来解决,会使方程巧妙获解。 例1 已知n∈N,求方程(1 x)~(2n) (1-x)~(2n)=4~n的解. 解 将原方程化为 (1 x)/2))~(2n) (1-x)/2))~(2n)=1 (1)当-1相似文献   

一个复合数论函数的下界

对于正整数 n,设σ(n),φ(n)分别是约数和函数和Euler函数.本文证明了:当 n 是幂数时,σ(φ(n))＞0.6n .     

关于N_2分子轨道符号的教学讨论

对于N_2分子,其分子轨道能级顺序、符号在现行的一些教科书上表示为σ_(1s)<σ_(1s)~*<σ_(2s)<σ_(2s)~*<π_(2py)=π_(2px)<σ_(2pz)<π_(2py)~*=π_(2px)~*<σ_(2pz)~*本文根据LCAO—MO法的三原則,从S—P混杂入手,指出了上述表示法中其分子轨道符号的欠妥之处     

单向分类随机效应模型误差方差线性关系的一种检验

利用多元正态总体的复相关系数检验 ,给出了单向分类随机效应模型 yij=uj+αi+εij,误差方差σ21 ,σ22 ,… ,σ2 m 线性关系H0 :1ΛM =0 1×r 的一种检验 ,其中Λ =diag(σ21 ,σ22 ,… ,σ2 m) ,1=(1,1,… ,1)′,R(Mm×r) =r .     

关于求整式函数的数列的前n项和

我们经常需要求通项公式为n的整式函数的数列的前n项和。如求下面的和:1~2+2~2+…+n~2 1~3+2~3+…+n~3 实际就是分别求通项公式为a_n=n~2,a_n=n~3的两个数列的前n项和。又如1989年高考第23题: 是否存在常数a,b,c使得等式: 1×2~2+2×3~2+…+n(n+1)~2=n(n+1)/12(an~2+bn+c)对一切自然数n都成立!并证明你的结论。这里如果能求出数列{a~n},其中a_n=n(n+1)~2的前n项和,此题也就解决了。     

NO的配位性

NO是奇电子分子.它的11个电子排布在(1σ)~2(2σ)~2(3σ)~2(4σ)~2(1π)~4(5σ)~2(2π)~1.其中(1σ)~2的成键作用与(2σ)~2的反键作用大致抵消,(3σ)~2的成键作用与(5σ)~2的反键作用大致抵消.NO分子是由(4σ)~2的强σ键和(1π)~4(2π)~1的π键结合起来的.(2π)~1是反键电子,总键级为2.5.(5σ)~2的能级(14.61ev)与N的2P能级(14.5ev)接近,(5σ)~2电子对可看成是NO中N原子上的孤电子对,在形成配合物时,可做给出电子对,表现出Lewis碱性.(2π)~1轨道还能接受电子,表现出LeWis酸性.NO属于π酸配体.这样NO就能生成大量的配合物.     

正态分布题型剖析

正态分布考查有多个角度:"数"-—概率、期望、方差等;"形"——对称性、奇偶性、面积等;"数"与"形"结合——面积表示概率。其中蕴含着丰富的数学思想方法。一、考查图像例1假设两个正态分布N（μ₁,σ₁²）,σ₁>0和N（μ₂,σ₂²）,σ₂>0的密度函数图像如图1所示,则有（）。     

一道IMO试题的推广

设a,b,c为三角形的三边长,证明: ∑a~2b(a-b)≡a~2b(a-b)+b~2c(b-c)+c~2a(c-a)≥0 (1) 这是第24届IMO的一道试题. 经探讨,我们得到了与(1)类似的如下不等式: ∑a~3b(a-b)≥0 (2) ∑a~4b(a-b)≥0 (3) 证令a=y+z,b=z+x,c=x+y,并记σ_1=x+y+z,σ_2=xy+yz+zx,σ_3=xyz(x,y,z>0),则∑a~3b(a-b)=∑(σ_1-x)~3(z+x)(y-x)=∑(σ_1-x)~3(σ_2-x~2-2xz)=σ_2∑(σ_1~3-3σ_1~2x+3σ_1x~2-x~3)-∑(x+2z)(σ_1~3x-3σ_1~2x~2+3σ_1x~3-x~4)     

关于Fejer算子σn(f,x)的一些性质

主要讨论了Fejer算子σn(f,x)的对凸函数的保持凸性,σn(f,x)的对于单调函数保持单调性,以及如果f(x)∈LaA,则σn(f,x)∈LaA.     

一个模恒等式的新证明

本文利用Jacobi theta函数构造椭圆函数,并利用椭圆函数的性质证明了模恒等式(1+3)sum (nq~n)/(1-q~n)from i=n to ∞-sum(nq~(9n))/(1-q~(9n))=((q~3;q~3)_∞~10)/((q~9;q~9)_∞~3(q;q)_∞~2).     

高等代数专题研究例题解析

例 1　写出集合A ={ 1,2 ,{ 3} }的幂集。解　根据幂集所含元素的个数 ,知P(A)含有 2 3 =8个元素。则 :P(A) ={ ,{ 1} ,{ 2 } ,{ { 3} } ,{ 1,2 } ,{ 1,{ 3} } ,{ 2 ,{ 3} } ,{ 1,2 ,{ 3} } }例 2　设集合A={ 1,2 ,3} ,B ={a ,b} ,试写出A到B的所有不同映射。解　不同映射的个数为 2 3 =8个 ,分别为 :σ1∶ 1a ,2a ,3aσ2 ∶ 1a ,2b,3σ aσ3 ∶ 1σ a,2 σ a ,3σ bσ4∶ 1σ a,2 σ b ,3bσ5∶ 1b ,2a ,3aσ6∶ 1b ,2b ,3σ aσ7∶ 1σ b ,2 σ a ,3σ bσ8∶ 1σ b ,2 σ b,3b例 3　证明 f(n) =2n +1　n≥ 0｜ 2n｜　n <0 (n∈Z)是…     

测量误差二次多项式回归模型随机误差方差的相合估计

在实际应用中,测量误差二次多项式回归模型随机误差方差σc^2的值经常是不能确定的,这给模型进一步处理带来麻烦,我们从收集的样本（Xt,Yt）,t=1,2,…,n,定义一个函数来估计一的值,进而得到一的相合估计值。