数学问答

乳1.已知ab护O，求证:a b一1的充要条件是a3 b3 ab一矿一b2一0. (山西阔春梅)解答:(l)充分性.若r 尸 。b一aZ一bZ=o，即(a b)(aZ一ab bZ)一(aZ一。b十bZ)=0，则(aZ一ab bZ)(a b一1)一0.因ab护O，所以a护O，b并o. lb、2 .3，，、_~~.，，_。~:，_，田a’一“。十b’~ta一二犷     

从三元勾股数到多元勾股数

称不定方程x盖: x盔: … x盖。=x飞。,:的一个正整数解(a‘,…,a。n,a。。 :)为一组n十1元勾股数.已知满足(x::,x::)二1,2 lx:,的一组三元勾股数为x:1=.aZ一bZ,x::=Zab,x:玉=aZ 乙恤>b>奋一,:(a,b)=1).我们来构造四元勾股数:由于a,b一奇一偶,设x:。=Zk 1=(无 1)’一k,,取a:=k 1,乙,=k,Za:b:=z无(无 李),则a艳一 ‘,=z正 i=(无 i)’一kZ二心一时,因此(aZ一bZ)’ =(aZ 乡2)2=(a老一b老)飞=(a尹 b尹)2(Za乙)2 〔2无(k 1)〕’ (Za:乡:)2 (za,今:)竺又ka, 右’一1 2Za:b:=Zk(k 1)=(aZ bZ)2一1 2a老 乙:_a‘ bz午1三-一一丁一因此得四元勾…     

双曲线的一种参数方程

定理设尸(x,夕)为双曲线述生_卫a名b名二l上任一点,过尸点的切线的倾角为协,则工·=)。二o:记。2一b“ets“功 b艺etg功一tg含<,<一‘。(一号)(I)亿砂二石肠丽项.’是双曲线左支参数方程;X二 a2亿了二石玄币百万二’夕=b Zetg必一二苦<,<一二(一号)(I)认。2一b’ctgZ矿’z!,|少、lse、是双曲线右支参数方程.证明对双曲线答一答=1上一切非顶点P(二,,),设过尸点的切线为,二、+、 UU由}宁厂竺+生、O一劣-一a一沙一二a一O-得 (bZ一a Zk“)xZ一Zk用aZ劣一aZ(阴2+b“)=0由于切点是切线和双曲线的唯一公共点,故得△二(一2吞maZ)“一4(b:一a…     

运用a~3 b~3 c~3-3abc的分解因式解题几例

a3 b3 c3一3abc =(a b)3 c3一3“b(a b)一3“bc ~[(a b) c〕[(a b)2一(a十b)c cZj 一3ab(a十b十c) =(a b c)(aZ bZ cZ一ab一bc一ca). 下面举例介绍aa ba ‘3一3obc的分解因式在解题中的应用,供同学们学习时参考. 例1已知a b ‘~6,矛 夕 ‘2~14,矿 b3 ca~36,求abc的值. 解由。 b ‘~6得 a含十b盆 c,十加b Zbc十Zca=36,.’.口b bc ‘“~11.丫a3 b3 ca一3abc ~(口 b十c)(“Z bZ c足一“b一bc一c召), 1,,:。“bc~令「a“ b3 ‘3一(d b ‘)·一’一一3‘一’一’一、一’-(aZ bZ cZ一。b一bc一ea)〕 例2‘5~0. 解一合〔36一6(14一11)j一6.已…     

直角三角形的一个性质及应用

性质直角三角形两直角边的和不大于斜边的丫.万.倍. 证明设a、民。分别为直角三角形的两直角边和斜边,则“2十护~。, aZ bZ)Zab, 2(az bZ))a含 Zab十b2. 即Ze“》(a, 占2).又a、西、e均为正数. :一 b板杯玄c.当且仅当a~b时取等号. 运用这一性质解题,可收到事半功倍之效果. 例1设直角三角形斜边上的高为h,内切圆半径为,,求证:。,4<李<0.5~‘一吟~’,,、~’一’‘、h、一’” 证设直角三角形的两直角边为a、b,斜边 ,·,1,1为c,则告c·h=专r(a十b十e)./‘一”、“2一’一2一:,立一竺土些 1 h_’:。十。夕“,.’.下夕z又,.’a b镇了~百c二,.,…     

勾股弦立方不等式的证明

命题:直角三角形弦的立方大于勾股立方和. 设勾,股,弦分别为a,b,。,则需证。,)as+b3。证1:’.’ aZ+bz)Zab,3a“b“>aZb“, :,3a‘b’+3a“b峨)Za’b“. .,. a6+3a4b2+3a2b4+bs )a”+Za“b“+b”, 即(aZ+bZ)“>(a3+b3)2,又c名=a“+b“, 亦即e3>a“+乙“. 证2:因e>a,e>b,故 cs=c(a忍+bZ) >a,aZ+b,62=a3+b”. 证3:如图,分别以a,b,c为棱作立方体.那么, bZ=岔e, aZ=ee- 而b3相似文献   

虚系数一元二次方程根的讨论

本文讨论的是方程: (a,+a:i)之2+(b,+b zf=0 (az+aZ艺斗0,a:、b:、CZ实数)的根的性质。)之+(C,+C:i)(带)为不全为零的设之土+22z:、::是方程(哟的两个根,则=_虹些立 a:+a 22_(a:b一+a Zb:)+i(a:bZ一a Zb:) a 12+a22 则a,=认aZ,b:=入b:,c:=入e。 此时方程(劝变为: (入a:+a:i)之“+(入b:刁一b:i)z +入c:+e。i=0 即a::2+b 22+c:二0。又’:之,、公:〔R,且:,年之:, b:“一4aZc:>0, 充分性之1.君:_cl+cZ忿 al+a:之_(a:c:+a:CZ)+i(a IC:一a:c:) al_b一_c, 瓦一b:一叭’程(劝同解于方程: 又’:bZ“一4a:cZ…由上面证明可知方aZ;2+b:之月一cZ…     

抛物线无限延伸时的性质

,,,,,。*~‘二、护,,2.,、,士“、.b、,、。“、‘。.、,~二“‘仙二二、。一 我们知道,双曲线气一台~1以直线y~士苍x为渐近线,所以其图象的伸展趋势是无 J、”刁乃”~’‘~~~az bZ一~’一~-,一a一/J门,~~’,/,『”~目”、曰J’一,尹从~刀~/。限远离对称轴(坐标轴)的。观察抛物线在顶点附近的一段图象,似于双曲线的单支图象类似,那么它的伸展趋势是否也是无限远离对称轴呢?通过对下面一道题目的分析可以回答这个间题。 题目:抛物线y一尸的弦通万保持与圆护十少~忑相切而移动,如果弦月刀切圆于点P(a,月),求直线AB的方程和夕的取值范围(图…     

错在哪里

题:劣2上海市崇明县新风中学曾川来稿过刀(o,b)作椭圆1(a>b>0>)的弦,求弦最大值。 解设P(x,劝尸_椭圆上任一点则上几{BP!2=xZ+了份一b)2厂 二x“十y’一Zb,十乙”、、叹九_由xZ/护十犷/l>’二1得) 一︸尹一尸二’二(a’/b’)(6’一岁’),代入卜式不({ !BP】’=一(e丫bZ)夕2一Zb夕+a“+b’(.) 一(CZ/bZ)<0 }B尸12有最大值 l/}O刀}+l/!OB!了 1!O月!2 1OB!=〔(乙’一aZ)/(a 2b2)2一+一}+(2/ 2O且·}0君{a 2b2)4·(一cZ/b2)(aZ+b:4.(一c’/(Zb)一鱿 C州+训含(aZ+b’)’。in’20一a 2b2门一/b }BP}的最小值为aZ/c。 解答错了!错在那…     

用椭圆性质求解“希望杯”赛题(高二、高三)

对椭圆牛+共一1(。>。>。),有性质 a曰O“12一3tl(丫4t2+4.12 }x+yl镇丫护+护.这条性质在解竞赛题很有用处. 1.证明 设‘:=acos夕,夕一bs艺n夕(O毛0<2二),则 !x+y}一}acos夕+bsin川 一}丫护+夕五n(夕+叻l镇了护+夕. 2.应用 例!已知a丫1一萨十b丫1一护一1, 求证护十护一1.(第三届92年“希望杯,’). 证明由于即解得0镇‘簇亏 例3已知a,b〔R,且a+b+1=O,求(a一2)2+(b一3)2的最小值 (第十届99年“希望杯”高二) 解设(a一2)“+(b一3)“=t,则(a一2)2.(b一3)2十一下厂一~一1aZ+bZ aZ(1一bZ).bZ(1一aZ)一-了--六不厂-十-一百-一一-下- l一口曰1一…     

欢庆1996新年趣题

1.若矿 a 1一。,则除a 199弓十一(a‘996 )“ (a‘9,? 1十,石丽少‘· a-一 证明:‘.’aZ a l一0, a护l,a护0,于是(a一l)(aZ a 1)一。,即:3~1 又a’,95一a’x 665~(a3)‘65~1. a 1996=a .a1995=a. al,。7一。:.。,,,5一。:一生.证明:‘.’1995’99, 1997‘,,,=19952·1995‘,95 199719,5~1995”一(2·1996一1997)’995十1997,995=1 996·k一19952·19971995十1997,995=1996k一1997‘995·(19952一l)=1996k一19971995·1996·1994=1 996k一1996m~1996(k一m).(k、m〔飞上一s 一a11一月 一aJ) 1995‘9,, 1997‘,,5能被1996整除.a3.函数f定义…     

作者、读者来稿析疑摘登

作者邹立佩来信指出:85一7本刊发表的《关于求极值的两组对偶命题》一文中例3的解法是错误的。正确的解法应当是a了矛石石几侧。丁而干石.勺二侧2百厂不舀乏歹f二侧2a2+3b2+bZ(aZ一3)=丫1十bZ(aZ一3)。丫Za’+3乙’=x,:’a’(士,于是a‘一3<0,:’b’(aZ一3)簇0。:.侧1不一初而一「二厄)簇1,即a了乏不P的最大值是1。 同时来稿指正的还有:陈颖、白文增、传正阶、张显成、徐良泉等同志。 安徽当涂师范孙尚南来稿指出:对本刊85一8·9合刊上“小·0判别法并不万能”一文提出异议,认为:此文值得商榷之处在于:没有把二次曲线与二次曲线之间、直…     

1991年全苏数学冬令营试题解答

第一天竞赛1.因为尸。四点共圆,故p之,pZ,p3,p‘,p。,p·六点在同一圆周上.丁kn ‘k,1设 皿二口a共m个a,B。=b”共n个 m3.A下kZ“一”一‘“丁无2‘” ‘一“’若a二1,由A。=B。可得西=1.若b=1,同样可得a二i。 (n!)” ,(1!2卜二刀!)“若乙>a>工,因为a^m一:二=C聋C志…C:;故可设     

双曲线的焦点弦长与弦的数目的关系

许多数学复习资料中,都有类似于下面的问题:过双曲线二2一荟一:的右焦点作直线,交双曲线于 ‘A、B两点,若}A川一4,则这样的直线存在() (A)l条(B)2条(C)3条(D)4条 答案选C. 在对该题作出解答之后,发现双曲线的焦点弦长与弦的数目之间的关系有一定的规律可循,现讨论如下.~1,过双曲线的焦点犷一护问题:已知双曲线卞一F(c,0)作直线l与双曲线交于A、方,若}A川一m(定值),试求满足条件的直线共有几条? 解:设直线l的方程为y一k(,一。),把其代入双曲线方程并整理得 (bZ一aZkZ)xZ ZaZckZ二一aZcZkZ一aZbZ=0 由韦达定理得 若满足条件的直线,…     

对一个命题的再认识

贵刊2007年第3期刊《椭圆的“类准线”的性质初探》一文,其中性质2:过椭圆b2x2 a2y2=a2b2(a>b>0)的“类准线”x=am2(m>0)上任意一点P,作椭圆的两条切线PM、PN,切点分别为M、N,那么,直线MN过定点(m,0).对此性质我也作了一些联想.1椭圆的性质对于双曲线、抛物线也成立(1)过双曲线     

对求根公式推导教法的改进

初中代数第三册教材中,对一元二次方程求根公式作配方法推导大致过程如下: 一元二次方程 axZ+bx+c=0(a井0)配方后化为 b、。又x十只-)“,~ 乙abZ一4ac 4az当bZ一4ac)0时,得一元二次方程 axZ+bx+c一O(a半0)求根公式的推导。大家不做除法,对这个方程配方。 生:(板演)a二2+b二+‘=O(a并0)两端乘以a,得 (ax)2+abx十ac一O夕一4 一一护︻4 + X a占一2 b.{歹二4益.丫夕二4及云X十石一土人J—一士—币~~。 乙口V 4a一任a-化为:(ax)2+2一ac,即 b、。又ax十石)“~ ‘bZ一4ac 一b士、亿互二~4舀云一4a2师:非常正确,下面讨论解的情况,首先考虑这种…     

关于一元二次方程公共根的一个定理及其应用

定理:两个二次方程ai二“+bix+ci=0(a,a:笋。,i=1,2)有公共根的充要条件是 (a,。:一aZ。;)2=(a 16:一aZ bl)(b,。:-bZel)(‘)且△i)0(i=1,2). 证明:先证必要性,显然△i〕0.设方程的公共根为x。,则a 1 xoZ+6lxo+el=oaZ xoZ+bZxo+eZ=o (2)x al一(l)xa:得:=一(a 1 eZ一aZ。1), (l) (2)(a 1 bZ一aZ bl)xo…(a lb:一aZ乙1)2 xoZ=(al。:一aZ。1)2(3) (l)xb:一(2)x bl得:(alb:一aZbl)xoZ=bleZ一bZe一, …(a 16:一aZ 61)ZxoZ=(a;占:一aZ占1)(bl。2一bZ。,)(4) 比较(3)、(4)得(a,。:一aZ。;)2=(a;bZ一aZb,)(b,。:一bZel). 再证充分性.①…     

中考数学“整式的加减”考点分析

考点1列代数式例1用代数式表示“二的喜与。的:倍的差。: 口(1998年江苏苏州市中考题)答例2(A) 下列各题中,所列代数式错误的是().表示“比a与b的积的2倍小5的数”的代数式是2a6一5(B)表示‘,a与b的平方差的倒数”的代数式是 la一bZ (C)表示“被5除商是a,余数是2的数”的代数式是5a十2 (D)表示“数二的一半与数b的3倍的差”的代数式是鲁一3b 、一’一‘’~一”‘’廿~一”‘一’州”‘一”‘’、~一、~2 (1998年山西省中考题) 答B. 评注列代数式是代数的基础,实质是用数学的符号语言来表达文字语言.解这类题的关键是准确理解题意,明确运…     

双曲线焦半径公式的应用

命题F1(-c,0)、F2(c,0)是双曲线C:ax22-by22=1(a>0,b>0,c2=a2 b2)的2焦点,P(x0,y0)为C上的一点,我们称|PF1|、|PF2|为双曲线的焦半径,则|PF1|=±(a ex0),|PF2|=±(ex0-a),(e=ac为离心率).当点在双曲线的右支上时取“ ”,当点在双曲线的左支上时取“-”.河北证明以点P在双曲线右支上为例,设点P在双曲线左准线上的射影为Q,d=|PQ|=ac2 x0,由双曲线的第2定义有:||PPFQ1||=e,r1=|PF1|=ed=a ex0,同理(或再由双曲线的第一定义)有:r2=|PF2|=r1-2a=ex0-a.从双曲线焦半径公式的推导过程不难看出:焦半径公式就是双曲线定义的浓缩,应用焦半径…     

几个绝对值不等式成立“=”的条件

不等式:(I)}a 61《,al ,bl,(,,!l鑫一}l‘象,一’,(l)}a一b}》}a!一!b},(W)】}a!一!b】!(!。一6}, (V)!a一b}《}a一cl Ic一b!,是大家所熟知的.但这些非严格不等式在什么时候成立等号,什么时候成立不等号,却似乎少有人问津。诚然,在有些场合(例如在数学分析中)探讨这种细节必要性不大,但在讨论极值时,它却会给我们提供帮助,故讨论如下: (I)对丫’a,b〔R, !a b!=}a} !b!专令ab>0。 证la b】=!a! }b!嘴卜乡(a b)“= =(}a} lb})2专令aZ Zab bZ二a么 2}a}·}b} bZ嘴绍势ab二}abl》0. (I)对va:,aZ,…,a。〔R,当存在实数二能使“》”的“=…