要识庐山真面目——概率与统计易错问题分析

一、错把分步当分类 例1小吃店的老板将外表不能分辨的6个芝麻汤圆与4个花生汤圆煮在一起．现在要给排好队的两个人各加1个汤圆,那么第一个人恰好加的是芝麻汤圆,第二个人恰好加的是花生汤圆的概率是____．     

2011年浙江高考数学理科卷填空题命制的缺憾剖析

今年浙江高考数学理科卷的填空题的命制缺憾颇多.1试题缺乏科学性第13题设二项式(x-a/x^1/2)⁶（a>0）的展开式中x³的系数为A,常数项为B.若B=4A,则a的值是_<sub><sub><sub>.根据浙江考试院提供的答案a=2.解由条件得A=C₆²a²,B=C₆⁴a⁴,由B=4A及a>0得a=2.以上推理过程中把"C₆⁴a⁴"当作展开式的常数     

对一道倍受争论概率题答案的再认识

先看人教版普通高中课程标准实验教科书《数学》选修2-3,第59页习题2.2,B组第一题:甲、乙两选手比赛,假设每局比赛甲胜的概率为0.6,乙胜的概率为0.4,那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利?教师教学用书给出了这样的解答:每局比赛只有两个结果,甲获胜或乙获胜,每局比赛可以看成相互独立的,所以甲获胜的局数X是随机变量,X服从二项分布.（1）在采用3局2胜制中,X^B（3,0.6）,事件{z≥2}表示"甲获胜".所以甲获胜的概率为P（X≥2）=P（X=2）+P（X=3）=C₃²×0.6²×0.4+0.6³=0.648.（2）在采用5局3胜制中,X^B（5,0.6）,事件{X≥6}表示"甲获胜",所以甲获胜的概率为P（X≥3）=P（X=3）+P（X=4）+P（X=5）=C₅³×0.6³×0.4²+C₅⁴0.6⁴×0.4+0.6⁵=0.68256.可以看出在采用5局3胜制对甲更有利.长期以来,这个答案在教师与学生中引起了很大的争     

多视角解答一道高考最值题

高考原题（2011年高考浙江理科卷第16题）设x,y为实数,若4x²+y²+xy=1,则2x+y的最大值是_<sub><sub><sub><sub><sub>,难度系数0.78利用重要不等式求最大值解法1∵1=4x²+y²+xy≥2·2xy+xy=5xy,∴xy≤1/5.令t=2x+y,则t²=（2x+y）²=4x²+y²+4xy=1-xy+4xy=1+3xy≤1+3/5=5/8,所以2x+y的最大值是2(10^1/10).     

2014年全国高中数学联赛湖北赛区预赛

一、填空题（每小题9分,共90分）1.已知正整数数列{a_n}满足a_n+2=a_n+1+a_n（n∈Z₊）.若a₁₁=157,则a₁=_<sub><sub><sub>.2.函数y=sin²x+sinx·cosx-2cos²x的值域为_<sub><sub><sub>.3.在△ABC中,已知∠A=30°,2 AB·AC=3BC².则△ABC的最大角的余弦值为_<sub><sub><sub>.4.在直角坐标平面内,曲线|x-1|+|x+1|+|y|=3围成的图形的面积为_<sub><sub><sub>.5.若（3-a）^1/2-（a+1）^1/2>1/2恒成立,则a的取值范围是_<sub><sub><sub>.6.去掉集合     

破解函数题误区的常用策略

一、全面理解定义、概念、挖掘条件例1 已知函数 y=（n-1）x^n2+2n-2+3是一次函数,则 n=_<sub><sub><sub>.错解由题意,得 n²+2n-2=1,解得 n=-3或1.剖析不能从字面上将一次函数理解成只要求     

2012年新年趣题

1.在123 456 789的数字之间适当嵌入"+"或"-",使其等于2 012.解1 234-5-6+789=2 012.（山东龙口市龙港经济开发区中村学校张树胜提供）2.函数y=（x²+2 011×2 012）/（x²+2 011²）^1/2的最小值为_<sub><sub><sub><sub><sub><sub><sub>.     

错在哪?

解三角形中的存在性问题是教学中的一个难点,到底是一解还是两解,需要我们做出准确、细致的估计、判断.请看2012年普通高等学校招生全国统一考试重庆卷理科第13题例1设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosA=3/5,cosB=5/13,b=3,则c=_<sub><sub><sub>.解:（公共部分）由已知可得A,B均为锐角,sinA=4/5,sinB=12/13,cosC=sinAsinB-cosAcosB=33/65.由正弦定理得a/（4/5）=3/（12/13）,所以a=13/5.错解:由余弦定理得（13/5）²=3²+c²-2·3·c·3/5,即25c²-90c+56=0.所以c=14/5或4/5.错因分析:（法1）cosA=39/65,cosB=25/65,cosC=33/65,0C>A,b>c>a.故c=4/5不符合题意,舍去.故c=14/5.（法2）由cos60°=1/21/2/2=cos45°     

从仿射变换角度看2011年高考山东理科第22题

题目（2011年高考山东省理科第22题）已知动直线l与椭圆C:x²/3+y²/2=1交于P（x₁,y₁）、Q（x₂,y₂）两个不同点,且△OPQ的面积S△OpQ=(6^1/2/2),其中O为坐标原点.（Ⅰ）证明:x₁²+x₂²和y₁²+y₂²均为定值;（Ⅱ）设线段PQ的中点为M,求|OM|·|PQ|的最大值;     

对2011年高考山东卷理科22(Ⅰ)题的研究

题目已知直线l与椭圆C:x²/3+y²/2=1交于P（x₁,y₁）、Q（x₂,y₂）两不同点,且△OPQ的面积S△OPQ=(6^1/2/2),其中O为坐标原点.（Ⅰ）证明:x₁²+₂²和y₁²+y₂²为定值;（Ⅱ）设线段PQ的中点为M,求|OM|·|PQ|的最大值;（Ⅲ）椭圆C上是否存在点D、E、G使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=(6^1/2/2)?若存     

中考数学定义“新概念”型试题赏析

一、定义新概念——"2阶行列式"例1 将4个数 a,b,c,d 排成2行、2列,两边各加一条竖直线记成|a b c d|,定义|a b c d|=ad-bc,上述记号就叫做2阶行列式.若|x+1 x-1 1-x x+1|=6,则 x=_<sub><sub><sub>.解析解决这类新运算的关键是读懂、理解新运算的规定,难度不大,是高中数学中将要学到的知识内容.根据所给信息,得（x+1）（x+1）-（x-1）（1-x）=6,化简整理,得 x²=2,所以 x=±2^1/2.故应填±     

一个高考定值问题的推广及条件探究

题目在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C₁:2x²-y²=1,（1）过C₁的左顶点引C₁的一条渐进线的平行线,求该直线与另一条渐进线及x轴围成的三角形的面积;（2）设斜率为1的直线l交C₁于P、Q两点,若l与圆x²+y²=1相切,求证:OP⊥OQ;（3）设椭圆C₂:4x²+y²=1,若M,N分别是C₁,C₂     

一道椭圆考题的反思与探究

2011年山东理科卷第22题的第（1）问:直线l与椭圆x²/3+y²/2=1交于P（x₁,y₁）,Q（x₂,y₂）两点,△OPQ的面积是6^1/2,证明:x₁²+x₂²和y₁²+y₂²均为定值.本题从两个动点出发,基于三角形面积的不变性,证明与动点有关的两个定值.行文简洁,引入深思.常规解法主要涉及直线方程、弦     

对一道中考试题的研究

2019年呼和浩特市中考试卷中有这样一道选择题:若x1,x2是一元二次方程x²+x-3=0的两个实数根,则x₂³-4x₁²+17的值为().A.-2 B.6C.-4D.4这是一道新颖别致、值得玩味的好题,笔者对它产生了浓厚的兴趣,研究如下.     

对加碘盐中碘化钾损失的探究

题目.（2011年浙江理综化学26题）食盐中含有一定量的镁、铁等杂质,加碘盐中碘的损失主要是由于杂质、水分、空气中的氧气以及光照、受热而引起的。已知:氧化性:IO₃^->Fe³⁺>I₂;还原性:S₂O₃²+>I^-,3I₂+6OH^-=IO₃^-+5I^-+3H₂O;KI+I₂=KI₃……（2）KI作为加碘剂的食盐在保存过程中,由于空气中氧气的作用,容易引起碘的损失,写出潮湿环境下KI与氧气反应的化学方程式_<sub><sub><sub>。解析:依题意知,KI被空气中的氧气氧化,介质不能     

代数式求值的三把利器

先看这样一道题:已知x₁、x₂是方程x²+x-1=0的两个根,求代数式（x₁²+2x₁-1）（x₂²+2x₂-1）的值.大多数同学采用以下方法进行的:原式=（x₁x₂）²+2x₁²x₂-x₁²+2x₁x₂²+4x₁x₂-2x₁-x₂²-2x₂+1=（x₁x₂）²+2x₁x₂（x₁+x₂）-（x₁+x₂）²+6x₁x₂-2（x₁+x₂）+1.再以x₁+x₂=-1,x₁x₂=-1代入,计算出结果为-1.由于上述变形较繁,容易出现失误.实际上,本题可利用方程根的定义轻松解决:因为x₁、x₂是方程x²+x-1=0的两     

利用隐含条件解题

在许多数学题目中,都有一些条件隐含在题意中没有明确给出,这些条件就是所谓的隐含条件.而利用这些隐含条件,可以简捷地解题.下面通过几个例子加以说明.例1下列四式中与（a-3）（1/（3-a））^1/2相等的是A.（a-3）^1/2 B.-（a-3）^1/2C.（3-a）⁽1/2 D.-（3-a）^1/2分析此题的隐含条件是3-a>0,故（a-3）（1/（3-a））^1/2=（a-3）（（3-a）/（3-a）²）^1/2=（a-3）/（3-a）（3-a）^1/2=-（3-a）^1/2.故选D.例2已知实数a满足|2009-a|+（a-2010）^1/2=a,那么a-2009²的值是_<sub><sub><sub><sub>.分析此题的隐含条件是a-2010≥0,即a≥2010.故|2009-a|+（a-2010）^1/2=a可化     

变化中寻不变 探究中求推广

2011年北京大学自主招生考试试题中有这样一道题:题目已知（x₁,y₁）、（x₂,y₂）、（x₃,y₃）是圆x²+y²=1上的三点,且满足x₁+x₂+x₃=0,y₁+y₂+y₃=0.证明:x₁²+x₂²+x₃²=y₁²+y₂²+y₃²=3/2.文[1]通过转化思想将本题转化为三角等     

这个答案是错的——记一个讲评过程

按照复习的习惯,笔者在复习《两直线的位置关系》后,第二天给学生校对复习用书《课前热身》这部分的答案,其中第5题:"已知m为实数,直线l:（2m+1）x+（1-m）y-（4m+5）=0,P（7,0）,则点P到直线的距离d的取值范围是_<sub><sub><sub>."书上的答案为[0,2 5^1/2].     

求一次函数解析式的常见类型

求一次函数的解析式是中考命题的热点问题,下面就一次函数解析式的常见题型和解法举例说明,希望对同学们有所帮助。一、定义型例1已知函数y=（m+2）x^m2-3-5,当m=_<sub><sub><sub><sub><sub><sub>时,表示y是x的一次函数,此时函数解析式为_<sub><sub><sub><sub><sub>。解析一次函数y=kx+b中自变量x的次数为1,系数k≠0,得m²-3=1且m+2≠0,解得m=2,此时函数解析式为y=4x-5。点评利用定义求一次函数解析式时,不要忽视一次项系数k≠0。如本题中要特别注意m+2≠0。