三角形与其内接三角形面积的关系

设A_1,B_1,C_1分别是△ABC中BC,CA,AB边上的任意点,则你△A_1B_1C_1为△ABC的内接三角形。本文中记△ABC的面积为S,AB=c,BC=a,CA=b,内切圆半径为r,三旁切圆半径为r_a,r_b,r_c;AC_1/C_1B=m,BA_1/A_1C=n,CB_1/B_1A=l,△AC_1B_1,△BA_1C_1,△CB_1A_1,△A_1B_1C_1的面积分别为S_1,S_2,S_3,S′。则有。定理、△ABC的面积S与其内接△A_1B_1C_1面积S′有如下关系式:S′=(1+mnl)/((1+m)(1+n)(1+l))S其中AC_1/C_1B=m,CB_1/B_1A=l,BA_1/A_1C=n。     

运用直线重合的条件解题

众所周知,直线l_1:A_1x B_1y C_1=0与直线l_2:A_2x B_2y C_2=0(其中A_1、B_1、C_1、A_2、B_2、C_2均不为零)重合的充要条件是(A_1)/(A_2)=(B_1)/(B_2)=(C_1)/(C_2)。然而,运用这一条件求解某些数学问题,构思新颖,方法巧妙,过程简捷。本文就此作一些探讨,旨在抛砖引玉,并希望对我们的教学能有所帮助。     

第三届全国中学生数学冬令营试题与解答

试题第一天(上午8:00—12:30) 一.设a_1,a_2,…,a_n是给定的不全为0的实数,r_1,r_2,…,r~n是实数,如果不等式sum from k=1 to n[r_k(x_k-a_k)]≤(sum from k=1 to n(x_k~2))~(1/2)-(sum from k=1 to n(a_k~2))~(1/2)对任何实数x_1,x_2,…,x_n成立,求r_1,r_2,…,r_n的值。二.设C_1,C_2是同心圆,C_2的半径是C_1的半径的2倍。四边形A_1A_2A_3A_4内接于C_1,将A_4A_1延长交圆C_2于B_1,A_1A_2延长交圆C_2于B_2,A_2A_3延长交圆C_2于B_3,A_3A_4延长交圆C_2于B_4。试证:四边形B_1B_2B_3B_4周长≥2×四边形A_1A_2A_3A_4的周长;并确     

一道数学冬令营试题的推广

第三届全国数学冬令营选拨赛试题第2题:设C_1、C_2是同心圆,C_2的半径是C_1的2倍。四边形A_1A_2A_3A_4内接于C_1,将A_4A_1延长交圆C_2于B_1,A_1A_2延长交圆C_2于B_2,A_2A_3延长交圆C_2于B_3,A_3A_4延长交圆C_2于B_4。试证:四边形B_1B_2B_3B_4的周长≥2×四边形A_1A_2A_3A_4的周长,并请确定等号成立的条件。本题可推广为: 设C_1、C_2是同心圆,C_2的半径是C_1的m(m>l)倍。 n(n≥3)边形A_1A_2…A_n内于C_1。将A_nA_1延长交圆C_2于B_1,     

巧算六边形面积

题目如图1,RtΔABC的三边长为a,b,c(c~2=a~2+b~2),由边AB,BC,CA向外作正方形ABB_1A_2,ACC_2A_1,BCC_1B_2,连结A_1A_2,B_1B_2,C_1C_2,得六边形A_1A_2B_1B_2C_1C_2,求此六边形的面积。分析与解求六边形A_1A_2B_1B_2C_1C_2的面     

三角形内一个不等式的证明

定义:设△ABC的三内角为A、B、C,△A_1B_1C_1的三内角为90°-A/2、90°-B/2、90°-C/2,则称△A_1B_1C_1为△ABC的切点三角形(因为△A_1B_1C_1的几何意义是连接△ABC的内切圆与三边的切点所得的三角形,故取此名)。 下面叙述并证明本文中的定理。     

一个关于三角形的定理及其应用

本文首先介绍一个关于三角形的定理,然后举例说明它在解数学竞赛题时的应用. 定理设A_0,B_0,C_0分别位于△ABC的三边BC,CA,AB上,若AC_0:C_0B=m:n,BA_0:A_0C=p:q,CB_0:B_0A=r:s,△ABC与△A_0B_0C_0的面积分别为△与△_0,则     

对一道高考试题的简解与拓广

2007年江西高考理科第20题是这样的:如图是一个直三棱柱(以A_1B_1C_1为底面)被一平面所截得到的几何体,截面为ABC,已知A_1B_1=B_1C_1=1,∠A_1B_1C_1=90°,AA_1=4,BB_1=2,OC_1=3.     

1988年日本京都大学入学考试数学试题及答案(理、医、药、工、农类)

试题 1、对于实数a、b。 f(x)=x~2 ax b, g(x)=f[f(x)]。①证明 g(x)-x能被f(x)-x整除。②图示满足g(p)=p且f(p)≠p(p为实数)的点(a,b)的范围。 2、在△ABC中,设分AB、BC,CA为2:1的内分点依次为A_1,B_1,C_1;分A_1B_1,B_1C_1,C_1A_1,为2:1的内分点依次为A_2,B_2,C_2。证明△A_2B_2C_2与△ABC相似。 3、设A=, ①当=A时,设x~2-3y~2=1,     

高中数学会考模拟试卷(B)

(1)∵A_1B_1∥AB,AB⊥BC,∴A_1B_1⊥BC,又∵直棱柱,∴BB_1⊥平面A_1B_1C_1。∴BB_1⊥A_1B_1,∴A_1B_1⊥平面BB_1C_1C.(2)∵A_1C在平面BC_1内射影为B_1C,由三垂线定理得A_1C⊥BC_1.(3)取BB_1中点F,连EF,DF,∵DE∥A_1B_1,∴BE⊥平面BB_1C_1C,∴∠DFE为二面角D-BB_1,-E     

对统编教材上一道习题的商榷

在六年制重点中学高中数学课本《解析几何》(平面)一书第194页上,有这样一道习题: 23.证明:(A_1-C_1)B_2=(A_2-C_2)B_1≠0时,二次曲线 A_1x~2+B_1xy+C_1y~2+D_1x+E_1y+F_1=0 A_2x~2+B_2xy+C_2y~2+D_2x+F_2y+F_2=0的交点同在一个圆上。这道题的题意是清楚的: 即:(A_1-C_1)B_2=(A_2-C_2)且≠0是二次曲线 A_1x~2+B_1xy+C_1y~2+D_1x+E_1y+F_1=0 (1) A_2x~2+B_2xy+C_2y~2+D_2x+E_2y+F_2=0 (2)的交点在同一个圆上的充分条件。换句话说:只要有了条件(A_1-C_1)B_2=(A_2-C_2)B_1≠0(1)和(2)就有交点,且交点在同一个圆上。但笔者认为:(A_1-C_1)B_2=(A_2-C_2)B_1≠0这个条件对本题的结论既不充分也不必要。     

用假设法解填空问题

题目:把20以内的8个质数分别填在下图圆圈中(每一质数限填一次),使图中用箭头连接起来的四个数的和相等。分析与解答:设下图是一种满足条件的填法。容易知道只要 A_1 A_2=B_1 B_2=C_1 C_2即可,可见问题是从小于20的8个质数2、3、5、7、11、23、17、19中选出6个数填到 A_1、A_2、B_1、B_2、C_1、C_2、的位置上去,使满足条件。首先注意不能选2。因8个     

第30届IMO试题及解答

第一天 (布伦瑞克,1989.7.18) 1.求证:集合{1,2.…,1989}可以分为117个互不相交的子集A_i(i=1,2,…,117),使得 (1)每个A_i含有17个元素; (2)每个A_i中各元素之和相同. 2.锐角三角形ABC中,A角的等分线与三角形的外接圆交于另一点A_1.点B_1,C_1与此类似.直线AA_1与B,C两角的外角等分线相交于A_0.点B_0,C_0与此类似.求证:     

两二次曲线四交点共圆的充要条件

六年制重点中学解析几何课本194页第23题给出了这样一个结论:设二次曲线S_1、S_2(指非退化的情形,下同)的方程分别为 A_1x~2 B_1xy C_1y~2 D_1x E_1y F_1=0 (*) A_2x~2 B_2xy C_2y~2 D_2x E_2y F_2=0 (**) 如果(A_1-C_1)B_3=(A_2-C_2)B_1≠0,那么二次曲线S_1、S_2的交点在同一个圆上。显然(A_1-C_1)B_2=(A_3-C_2)B_1≠0是二次曲线S_1、S_2交点共圆的充分但不必要条件。例如双曲线xy=2与圆x~2 y~2=5;椭圆4x~2 9y~2=36与椭圆9x~2 4y~2=36;抛物线4x~2-4x 9y-35=0与双曲线x~2-4y~2-4=0的四个交点都是共圆的,但是它们都不符合(A_1-C_1)B_2=(A_2-C_2)B_1≠0的条件。     

三角形的“内角变换”及其应用

将△ABC的内用A,B,C与常数通过适当运算,变为三个正角A_1,B_1,Cl且满足A_1十B_1 C_1=π,我们把这样的过程叫做△ABC的一个内角变换.     

一道几何题的多种证法

题 如图所示,在矩形ABCD中,A_1E∥AB,AA_1=A_1A_2=A_2A_3=A_3A_4=A_4D=a,AB_1=B_1B_2=B_2B=3~(1/2)a, 求证:∠B_1A_1E     

(■+■)×■=■×■+■×■的另一种证明方法

本文利用平行六面体的体积得到了矢积分配律的另一较简便的证法。首先看下面引 引理:将A_1B_1C_1D_1分别平动到如图所示的A_2B_2C_2D_2 A_3B_3C_3D_3两个位置,则有: V_(A1c3)=V_(A1c2)+V_(A2C3)引理很显然,证明略。     

关于“平面束方程”教学的注记

<正> 在《空间解析几何》的“平面束方程”一节中,为使计算简单,常把平面束方程的公式:l(A_1x+B_1y+C_1z+D_1)+m(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0…(1)(其中l,m为不全为零的任意实数)改写成A_1x+B_1y+C_1z+D_1+λ(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0…(2)(其中λ为任意实数,π_1:A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0和π_2:A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0为系数不成比例的二个相交平面的方程)。(2) 式表示过π_1与π_2交线l的除π_2的所有平面,当λ=0时为π_1。若求满足某种条件且过L的平面方程,只要在(2)式中确定参数λ即可。但是由于(2)式中不包含平面π_2,所以     

面积比在几何证题中的应用

面积比的类型很多,本文着重谈“有一个角对应相等(或互补)的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比”在几何证题中的广泛应用。这个性质可表示为: 定理:在△ABC与△A_1B_1C_1中,∠B=∠B_1(或互补),则 S_(△ABC)/S(△A_1B_1C_1)=(AB·BC)/(A_1B_1·B_1C_1)。我们用三角形的面积公式S=1/2acsinB容易证明上述定理(略)。不少比例线段的证明,可归结为这个性质的应用。下面举例说明之。 1.证明三角形内角平分线的性质例1 已知△ABC的内角A的平分线交BC于D 求证:     

对解析几何中一道例题的一点意见

六年制重点中学高中数学课本解析几何(平面)P.47例2原题如下: 已知两条直线; l_1:x my 6=0, l_2:(m-z)x 3y-2m=0。当m为何值时,l_1与l_2(ⅰ)相交;(ⅱ)平行;(ⅲ)重合。解:将两直线的方程组成方程组这时,A1/A2=1/m-2,B_1/B_2=m/3,C_1/C_2=6/2m。当A_1/A_2=B_1/B_2时,1/m-2=m/3。(1)