正余弦曲线的一个余弦定理

本文介绍正弦曲线和余弦曲线的余弦定理与应用,供读者欣赏.定理：设正弦曲线y=Asinωx或余弦曲线y=Acosωx（A＆gt;0,ω＆gt;0）与x轴相邻的两个交点是M,N,P是正余弦曲线上且位于M,N之间的最高点或最低点,∠MPN=θ,π是圆周率,则cosθ=4ω2A2-π24ω2A2＋π2.证明：因为正余弦曲线的形状和周期性相同,故将点M平移至坐标原点O,由函数y=Asinωx（A〉0,ω〉0）的性质得M（0,0）,P（π/2ω,A）,N（π/ω,0）,故由对称性得｜MP｜=｜NP｜=√（4ω2A2＋π）/2ω,｜MN｜=π/ω。     

利用三角函数的图象特征解题

在求解三角函数有关问题时,如果能利用三角函数的图象特征解题,将起到事半功倍的作用.下面举例说明.例1如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=π8对称,那么a=.解析:利用正弦余弦函数的图象当自变量取对称轴时函数值取得最大或最小值这一特征得:|sin2.π8+acos2.π8|=a2+1=|22+22a|,解得a=1.例2已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R)(A>0,ω>0,-π<φ≤π)的图象在y轴右侧的第一个最高点(函数取最大值的点)为M(2,22),与x轴在原点左侧第一个交点为N(-1,0),求函数f(x)的解析式.图1解析:由y=sinx的图象可知,从图象与x轴的交点到达图象最高点(在同…     

谈由函数y=Asin(ωx+ψ)(A＞0,ω＞0)的图像求ψ

由函数y=Asin(ωx+ψ)(A＞0,ω＞0)的图像求它的解析式,是三角函数图像教学中的一个重要组成部分,也是进行逆向思维训练的极好题材,因此在各级各类考试中常有出现.其中ψ值的确定和求法既是重点又是难点,这主要是因为确定函数y=Asin(ωx+ψ)(A＞0,ω＞0)的对应关系是"多对一"的映射.为了突破难点,笔者认为关键在于让学生学会正确、合理地看图.     

三角函数

试题1（安徽卷，理科第6题）将函数y=sin ωx（ω〉0）的图象按向量α=（-π/6，0）平移，平移后的图象如图1所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ）． A.y=sin（x＋π/6） B.y=sin（x-π/6） C.y=sin（2x＋π/3） D.y=sin（2x-π/3）     

2013年南通市中考数学第28题赏析

原题呈现 如图1,直线y=kx＋b（b ＞0）与抛物线y=1/8x2相交于A（x1,y1）,B（x2,y2）两点,与x轴正半轴相交于点D,与y轴相交于点C,设△OCD的面积为S,且kS＋32 =0.（1）求b的值;（2）求证：点（y1,y2）在反比例函数y=64/x的图象上;（3）求证：x1·OB＋y2·OA=0.     

正（余）弦函数最值求法归类

1．标准型函数 标准型函数指y=Asin（ωx＋φ）（A〉0,ω〉0）和y=Acos（ωx＋φ）（A〉0,ω0）形式的函数．这两个函数都是有界函数,即当x∈R时,-A≤y≤A,在解决这类函数的最值问题时,只要注意具体题目所给定的定义域即可,这类题属于简单题．     

“初始点”的妙用

当我们用“五点法”画函数y=Asin（ωx＋φ）（A〉0,ω〉0）的图像时,我们会把ωx＋φ看成一个整体,分别令ωx＋φ＝0,π/2,π,3π/2,2π,通过列表、描点、连线作出函数的图象。     

“一点法”作三角函数的图象

熟知,函数y=Asin（ωx＋φ）（A〉0,ω〉0）和y=Acos（ωx＋φ）（A〉0,ω〉0）在一个周期内的大致图象一般采用五点法来作,即令ωx＋φ=0,     

反比例函数中k的几何意义

研究函数问题,常常要透视函数的本质特征．在反比例函数y=k/x（k≠0）中,比例系数k有一个很重要的几何意义：过反比例函数y=k/x（k≠0）的图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN（如图1所示）,     

三角函数的周期与等差数列

我们知道,三角函数是周期函数.正弦函数的周期是2π,正切函数的周期是π.函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,x∈R)的周期是2πω,函数y=Atan(ωx+φ),x≠kπω+π2ω-φω(其中A>0,ω>0,k∈Z)的周期是πω.余弦函数与余切函数有类似的结论.这些函数的周期与等差数列有何关系呢?性质1一条平行于x轴的直线y=m(m为常数)与函数y=Asin(ωx+φ),x∈R(A>0,ω>0)的图象相交,则(1)如果直线y=m(m为常数)交于函数图象的最高(或最低)点,则n个周期内有n个或n+1个交点,任意区间内的交点(不少于3个)的横坐标顺次构成等差数列,等差数列的公差就是函数周期…     

对一道高考题的反思

2008年高考山东卷理科17题是这样的：f（x）=√3sin（ωx＋φ）-cos（ωx＋φ）（0＜φ＜π,ω＞0）为偶函数,且函数y-f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为号．（Ⅰ）求,f（π/8）的值;（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移詈个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到函数y=g（x）的图象,求g（x）的单调递减区间．     

一道春季高考试题的开放性探究

2005年北京市春季高考试题第18题为：如图1，O为坐标原点，直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b，且交抛物线y^2=2px（p〉0）于M（x1,y1）、N（x2,y2）两点．证明：1/y1＋1/y2=1/b;     

一个周期边界条件下的Sturm-Liouville问题

研究了与常型Sturm-Liouville问题有密切联系的带有周期边界条件的Sturm-Liouville问题：（Ly=[-d^2/dx^2＋q（x）]y=λy,x∈[0,π],q（x）∈C^2[0,π] y（0）=-y（π） y′（0）=-y′（π））得到了整函数ω（λ），并且证明了其零点集合与特征值集合重合，其零点重数与特征值的秩一致．     

对一道意料之外的高考难题的研究

2012年湖北省数学高考文科第18题如下:设函数f（x）=sin2ωx+23^1/2sinωx·cosωx-cos2ωx+λ（其中x∈R）的图像关于直线x=π对称,其中ω,λ为常数,1且ω∈（,1/2,1）求函数f（x）的最小正周期;2)若y=f（x）的图像经过点,（π/4,0）,求函数f（x）的值域.此题是该高考卷解答题的第1题,命题者的本意是设计一道相对简单的试题,使文科考生易于得分,从而增加继续考试的信心.但出乎命题人意料的是,此题满分12分,平均得分为4.73分,实测难     

对《曲线的运动与变换》一文的一点修正

<中学数学杂志>2001年第6期<曲线的运动与变换>一文中有一个结论是:"函数y=f(x)定义在R上,则函数y=f(ωx+A)与y=f(B-ωx)的图象关于直线x=B-A/2对称".我认为,函数y-f(ωx+A)与y=f(B-ωx)的图象关于直线x=B-A/2ω对称.     

反比例函数中κ的几何意义

反比例函数y=κ/x（κ≠0）中，比例系数κ有一个很重要的几何意义。那就是：过反比例函数y=κ/x（κ≠0）图象上任一点P分别作x轴和y轴的垂线PM，     

巧用对勾函数y=x＋p/x（p〉0）图像性质解题

所谓的对勾函数,是形如y=ax＋b/x（a·b〉0）的函数（本文重点研究对勾函数y=x＋p/x（p〉0）,因为y=ax＋b/x=a（x＋b/a/x）,都能化为y=x＋p/x（p〉0形式）,函数y=x＋p/x（p〉0）的图像形似两个中心对称的对勾“√”,故名“对勾函数”,对勾函数是一种教材上没有,但考试经常考的函数,以它为模型的题型新颖、综合性强,解法灵活多样,近几年高考试题中,对勾函数部分占有相当大比重,是高考的热点内容之一．     

解答最值问题的常见易错点

易错点一：忽视函数的定义域 例1（2012年高考重庆文科卷第19题）设函数f（x）=Asin（ωx＋φ）（其中A〉0,ω〉0,-π〈φ≤π）在x=π6处取得最大值2,其图像与x轴的相邻两个交点的距离为π2.（Ⅰ）求f（x）的解析式;（Ⅱ）求函数g（x）=6cos4x-sin2x-1f（x＋π6）的值域.难度系数0.75解（Ⅰ）f（x）=2sin（2x＋π6）.解答过程省略.     

求初相六招

题目如图,是函数y=Asin（ωx＋φ）（A〉0,ω〉0）,     

探究K的几何意义及运用

根据反比例函数的意义可知，两个变量x与y的乘积是一个常数k（k≠0）．如图1，设P（x，y）是反比例函数y=k/x图象上的任意一点，过P作x轴、y轴的垂线，垂足为A、B，则△OPA（或△OPB）的面积=1/2OA.PA=1/2｜xy｜=1/2｜k｜,即矩形PAOB的面积等于｜k｜．[第一段]