从简约走向深刻诠释等比数列

一、基本概念题,体会简约问题问题1:等比数列的通项公式问题例1已知数列{a_n}是等比数列,且a₄+a₇=9,a₅+a₈=18,a_n=64,求项数n.分析:本题考查的是等比数列的定义及通项公式的应用,等比数列{a_n}的通项公式为a_n=a₁q^n-1,确定a₁及q后,又写出a_n关于n的表达式,再由a_n=64可求得n.解法1:因为     

一道高考题引发的思考

数列求和问题历来是高考的热点、重点、难点。对于求形如{a_nb_n}的数列的前n项和S_n这类问题,其中{a_n}是公差为d（d≠O）的等差数列,{b_n}是公比为q（q≠1）的等比数列,常规方法自然是错位相减法。是否有其他的方法可以解决这类问题呢?现通过研究2014年高考安徽文科数学第18题,探究解决这类问题的思路。一、解法探讨例1（2014年高考安徽文科）数列{a_n}满足a₁=1,na_n+1=（n+1）a_n+n（n+1）,n∈N^*。（1）证明:数列{a_n/n}是等差数列。     

等比数列求和公式推导方法赏析

在数学公式的教学中,公式的推导过程既是明确公式的条件和结论的过程,又是培养学生推理能力的过程,同时也是加强公式记忆的过程,因而具有极其重要的地位.本文以等比数列求和公式为例向读者介绍八种推导方法.这些方法思路迥异,殊途同归,各有巧妙,无不彰显数学科学独特的美丽.设数列{a_n}是公比q的等比数列,推导数列{a_n}的前n项和公式.方法1错位相减法对于等比数列{a_n},它的前n项和是S_n=a₁+a₂     

对一道高考试题的引申

本文对陕西省2009年文科高考题中的一道数列题进行引申,并给出一般性的中等数学的处理方法.陕西省2009年文科数学高考题第21题:已知数列{a_n}满足a₁=1,a₂=2,a_n+2=(a_n+a_n+1)/2,n∈N*.（Ⅰ）令b_n=a_n+1-a_n,证明,数列{b_n}是等比数列;     

巧用不动点求几类递推数列通项

已知数列{a_n}的递推关系式为a_n+1=f（a_n）,若存在实数a使得f（a）=a,则a称为数列{a_n}的不动点,在递推式a_n+1=f（a_n）中若令a_n+1=a_n=x,则方程f（x）=x的解就是数列{a_n}的不动点,方程f（x）=xc叫做递推式a_a+1=f（a_n）的特征方程.利用不动点,可将某些由递推关系所确定的数列转化为等差、等比数列.下面举例说明.1 a_n+1=pa_n+q（其中p、q为常数,p≠0,q≠0）型     

再探等差与等比数列前n项和的性质

文[1]作者得到下列两个性质:①若数列{a_n}是以口a₁为首项,d为公差的等差数列,则a₁Ca_n⁰+…+a_n+1C_nⁿ=（a₁+n/2d）·2ⁿ.②若数列{a_n}是以a₁为首项,q为公比的等比数列,贝a₁C_n⁰+a₂C_n¹+…+a_n+1C_nⁿ=q（1+q）ⁿ.文[2]作者得到性质:对于任意以口l为首项,q为公比的等比数列{a_n}（a₁≠0,q≠0）,任意以b₁为首项,d为公差的等差列{b_n},总有:     

高考数列解答常考哪些知识点

考点1:等差数列与等比数列的综合问题高考真题1（2014年高考湖南理科卷第20题）已知数列{a_n}满足a₁=1,|a_n+1-a_n|=pⁿ,n∈N^*.（Ⅰ）若{a_n}是递增数列,且a₁,2a₂,3a₃成等差数列,求p的值;（Ⅱ）若p=1/2,且{a_2n-1}是递增数列,{a_2n}是递减数列,求数列{a_n}的通项公式.难度系数0.55     

由递推公式求通项公式常见问题分析

数列中一个很重要的问题是由递推公式求通项公式,这类问题的一般方法是把递推公式变形,然后将它看成新数列（通常是等差或等比数列）的通项公式或递推公式,最后用新数列的性质解决问题.一、基本方法1.求和法:采用累加或累乘,有时需要用到a_n=S_n-S_n-1.例1已知正数数列{a_n}的前n项和S_n=1/2（a_n+1/a_n）,求{a_n}的通项公式.     

递推数列通项求解

类型1 a_n+1=pa_n+q（p≠1,q≠0）对这种类型一般是用待定系数法构造等比数列.令a_n+1+λ=p（a_n+λ）,与已知递推式比较,得λ=q/（p-1）,从而转化为{a_n+q/（p-1）}是公比为p的等比数列.     

2021年全国新高考数学Ⅰ卷第17题的解法探究和教学启示

1问题提出(2021年新高考Ⅰ卷第17题)已知数列{a_n}满足a1=1,a_n+1={a_n+1,n为奇数,a_n+2,n为偶数。(1)记b_n=a_2n,写出b₁、b₂,并求数列{b_n}的通项公式;(2)求{a_n}的前20项和.本题以“奇偶项交织”的递推关系考查数列的基本知识,注重基础,但形式新颖,解题方法较为丰富.     

刨根问底找题源

一、以教材例题为题源高考真题1（2014年高考湖南文科卷第16题）已知数列{a_n}的前n项和S_n=（n²+n）/2,n∈N*.（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式.（Ⅱ）设b_n=2^a_n+（-1）ⁿa_n,求数列{b_n}的前2n项和.教材原型（人教A版高中数学教材必修5第44页例3）已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n²+（1/2）n,求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗?如     

求解等差乘等比型数列求和问题的新路径

<正>黄元华老师在文[1]中介绍了由学生想出来的利用待定系数法解决{a_nb_n}(其中{a_n}是等差数列,{b_n}是等比数列)这类等差乘等比型数列求和问题的思路,但对问题背后隐含的规律并没有给出一般性证明. 笔者对其进行研究,发现了问题背后隐藏的规律,并对其进行了推广,得出了此类问题求解的另一条路径. 现整理成文,与读者共享.在文[1]中求通项公式为a_n=n·2ⁿ的数列{a_n}的前n项和S_n时,解题过程中利用了假设     

待定系数法求通项

本文从基本模型"a_n+1=ba_n+c"及其变式来说明"待定系数法"在求数列通项时的重要作用.基本模型a_n+1=ba_n+c.若b=1,则数列(a_n}是等差数列;若c=0,b≠0且是常数,则数列{a_n}是等比数列;     

2014年高考新课标Ⅱ卷数列题解答分析

一、试题2014年高考数学课标卷试题:已知数列{a_n},满足a₁=1,a_n+1=3a_n+1.（Ⅰ）证明{a_n+1/2}是等比数列,并求{a_n}的通项公式;（Ⅱ）证明1/（a₁）+1/（a₂）…+1/（a_n）<3/2.此题设置两道小题,融数列、方程与不等式等高中数学主干知识,以及换元、放缩、数学归纳法等核心数学思想方法,逻辑推理、归纳类比等核心能力于一体,具有较强的探索性,考查学生对数学主干知识与核心思想方法的深层次理解与掌握.第（Ⅰ）小题待求结论     

数列解答题的常见类型及解题技巧

类型1:已知数列{a_n}为等差数列或等比数列,求解相关的问题解题技巧利用基本量法解答,即运用等差数列或等比数列的通项公式、求和公式等,将题中所涉及的数量关系均用基本量（首项a₁和公差d或公比q）来求解.例1已知等差数列{a_n}满足:a₁=2,且a₁,a₂,a₅成等比数列.     

一类数列公共项问题的求解策略

<正>对两个数列{a_n}和{b_n}，特别是两个等差(比)型数列，经常会遇到求它们的公共项组成的新数列{c_n}的相关问题．本文借助几个典型例题，分析此类问题的几种求解策略，期望对大家的解题有所帮助．一、观察通项，寻找最小公倍数例1已知数列{a_n}和{b_n}的通项公式分别为a_n=3n+6,b_n=2n+7(n∈N^*)，它们的公共项由小到大排成的数列是{c_n}．(1)求c₁,c₂,c₃,c₄的值;(2)求数列{c_n}的通项公式．     

求通项6招

1.累加法（逐差相加法）例1已知数列{a_n}满足a₁=（1/2）,aⁿ⁺¹=a_n+(1/（n²+n）,求a_n.分析一般地,可将递推公式a_n+1=a_n+ f（n）转化为a_n+1^-a_n=f（n）,利用累加法（逐差相加法）求解.     

一道高三模考数列题的解法探究

试题(2020年11月衢州、丽水、湖州三地市教学质量检测第20题)已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n,且a₁=1,S_n+1+S_n=a²_n+1(n∈N^*).(Ⅰ)求a₂,a₃的值,并写出数列{a_n}的通项公式.     

一道高考试题的解法探究

2012年高考全国新课程卷理科第16题是:数列{a_n}满足a_n+1+（-1）ⁿa_n=2n-1,则{a_n}的前60项和为_<sub><sub><sub>.粗粗一看此题,似曾相识,对于递推数列问题,我们平时总结了不少,好象是a_a+1=a_n+d（n）或是a_n+1+a_n=f（n）型问题,运用叠加法,即可解决.仔细一看,发现多了（-1）ⁿ,于是没有现成的模式可套,怎么解?下面是笔者对此题解法进行探究的心路历程.     

差分法求解递推数列奇偶分项问题

<正>一、差分数列的概念定义对于数列{a_n}，记Δa_n=a_n+1-a_n，称{Δa_n}为{a_n}的(一阶)差分数列^[2]．易见有等式a_n=(a_n-a_n-1)+(a_n-1-a_n-2)+…+(a₂-a₁)+a₁,