串联电路的特点

如图1所示,两个电阻串联后接到电压为U的电源上.设电阻R₁和R₂上的电压分别为U₁和U₂.则（1）当R₁变大,而R₂不变时,串联电路的总电阻变大,电流变小.由欧姆定律可知,U₂=IR₂变小,由U₁+U₂=U可知,U₁变大.     

举一反三 触类旁通——对一道典型电学问题的反思

如图1所示,一个定值电阻R₁和滑动变阻器R₂串联,当滑片P向右移动时,电路中电流、定值电阻和滑动变阻器两端电压各怎样变化?解析如图1所示,当滑片P向右移动时,R₂接入电路中的电阻变大,电路中的总电阻R=R₁+R₂也变大;     

它山之石，可以攻玉

电阻R₁和R₂串联接在电压恒为U的电源上,根据串联电路的电压关系可知,电阻R₁和R₂两端的电压满足U₁+U₂=U.因为U值不变,则当U₁变大时,U₂将变小,且U₁的增大量等于U₂的减小量.同理,当U₁变小时,U₂将变     

电路动态变化分析方法

图示电路中,当滑动变阻器滑片向上滑动时,滑动变阻器接入电路中的阻值增大,则外电阻R增大,由闭合回路中的欧姆定律I=E/R+r,回路电流I减小,再由U_外=E-Ir,外电压U_外增大,因此电压表示数变大,由于回路电流减小,因此电阻R₁两端电压U₁减小,则电阻R₂两端分得电压U₂增大,流过电阻R₂的电流也增大,由并联分流可得,电流表示数减小.     

不同的思考方向引出不同的解法

在人教版普通高中课程标准实验教科书数学5（必修）第二章《数列》习题2.5A组中的一道题目:在等比数列{a_n}中,已知a₃=/2,S₃=9/2,求a₁与q.根据题目条件,不同的思考方向会为我们引出不同的解法,在算法上也有所体现.思考方向一:根据已知联想到和的定义式S₃=a₁+a₂+a₃,出现两个未知数a₁、a₂,利用等比数列的概念及已知量a₃与要求的量q表示未知数a₁、a₂求解.解:因为a₃=3/2,S₃=9/2,又S₃=a₁+a₂+a₃=a₃(q^-2+q^-1+1),所以q^-2+q^-1+1=3,即aq²-q-1=0,解得q=1或q=-1/2.当q=1时,a₁=3/2;当q=-1/2时,a₁=6.思考方向二:根据已知联想到和的定义式S₃=a₁+a₂+a₃,出现两个未知数a₁、a₂,利用等比数列的概念用基本量a₁与q表示未知数a₁、a₂求解.解:因为a₃=3/2,S₃=9/2,所以（?）     

一道课本习题的解法探究

人教A版必修五教材第69页的习题6为:已知数列{a_n}中,a₁=5,a₂=2,a_n=2a_n-1+3a_n-2（n≥3）,对于这个数列的通项公式作一研究,能否写出它的通项公式?与教材配套的教师用书给出了如下解答:由a_n=2a_n-1+3a_n-2,得a_n+a_n-1=3(a_n-1+a_n-2),及a_n一3a_n-1=-(a_n-1-3a_n-2),于是a_n+a_n-1=（a₂+a₁）·3^n-2,a_n-3a_n-1:（a₂-3a₁）·（-1）^n-2.     

数学竞赛中二次函数类题的解法

二次函数类竞赛题是近年来热点问题之一.现将有关竞赛题归类并进行解析.一、求二次函数解析式例1已知二次函数y₁和y₂,当x=a（a>0）时,y₁取得最大值5,且y₂=25;又y₂的最大值为-2,y₁+y₂=x²+16x+13.求a的值及二次函数y₁、y₂的解析式.解由已知,设y₁=m（x-a）²+5,贝y₂=x²+16x+13-m（x-a）²-5.又当x=a时,y₂=5,即a²+16a+8=25.解之,得a₁=1,a₂=-17（舍去）,故y₂=x²+16a     

2013年高考数学湖北理科卷第12题的背景素材

（2013年高考湖北卷·理12）阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果i=_<sub>.解析（1）a₁=10,i=1;（2）a₁为偶数,则a₂=a₁/2=5,i=2;（3）a₂为奇数,则a₃=3a₂+1=16,i=3;（4）a₃为偶数,则a₄=a₃/2=8,i=4;（5）a₄为偶数,a₅=a₄/2=4,i=5.故答案为i=5.本题立意新颖,其背景是世界数学名题"3x+1问题":即任意一个正整数,若是偶数则除以2;若是     

利用方程的两根之比解题——由一道课本习题所想到的

如果一元二次方程ax²+bx+c=0的两根之比为2:3,求证:6b²=25ac,证明:设方程ax²+bx+c=0的两根分别为x₁、x₂则x₁/x₂+x₂+x₁=2/3/2=（13）/6由一元二次方程根与系数的关系知: x₁+x₂=-b/a x₁·x₂=c/a     

如何用构造法求数列的通项

例1已知数列|a_n|的前n项和为S_n满足:a_n=2S_nS_n-1=0（n∈N^*,n≥2）,a₁=1/2.（1）求证:{1/S_n}是等差数列;（2）求a_n的表达式.解因为a_n+2S_nS_n-1=0（n∈N^*,n≥2）,所以S_n-S_n-1+2S_nS_n-1=0,在等式的两边同除以     

椭圆焦点三角形中的几个结论及应用

<正> 设 F₁,F₂是椭圆（x²/a²）+（y²/b²）=1（a>b>0）的焦点,过 F₁,F₂的弦交椭圆于 P 点,称∠F₁PF₂为椭圆的弦焦角,△F₁PF₂为椭圆中的焦点三角形。如图1所示,在△F₁PF₂中,P 与 A₁,A₂不重合,设∠F₁PF₂=2α,则有下列三个结论。一、|PF₁|·|PF₂|·cos²α=b²证明在△F₁PF₂中,设|PF₁|=m,|PF₂|=n,|F₁F₂|=2c。由余弦定理得:m²+n²-2mncos2α=4c²①,又 m+n=2a,     

引入参数求摆动数列通项

例1已知数列{a_n}中,a_n+1+a_n=5,a₁=2,求数列{a_n}的通项a_n.解令a_n=b_n+μ,由a_n+1+a_n=5,得(b_n+1+μ)+（b_n+μ）=5,即b_n+1=-b_n+5-2μ,令5-2μ=0,解得μ=5/2.     

变化中寻不变 探究中求推广

2011年北京大学自主招生考试试题中有这样一道题:题目已知（x₁,y₁）、（x₂,y₂）、（x₃,y₃）是圆x²+y²=1上的三点,且满足x₁+x₂+x₃=0,y₁+y₂+y₃=0.证明:x₁²+x₂²+x₃²=y₁²+y₂²+y₃²=3/2.文[1]通过转化思想将本题转化为三角等     

一类对称方程的一般解法探究

我们有时会遇到这样的问题:题型A:"已知x₁、x₂分别为方程2^x+2x=5、2log₂（x-1）+2x=5的实数根,求x₁+x₂的值".一般会这样变形:2^x=5-2x、2log₂（x-1）=5-2x,会错误地得到结论x₁+x₂=10/3.究其原因,是受到曾经作过形似的问题:题型B:"已知x₁、x₂分别为方程2^x+x=5、     

竞赛中的数列

数列在中学数学中占有很重要的地位,是数学学习的一项基本内容,本文主要介绍了数列在竞赛中的应用.例1（2001年全国高中数学联合竞赛）设{a_n}为等差数列,{b_n}为等比数列且b₁=a₁²,b₂=a₂²,b₃=a₃²（a₁2）,又（?）(b₁+b₂+     

析真题 引教学 育素养——以2023年全国甲卷理科第12题为例

<正>1.真题呈现(2023·全国甲卷·理12)已知椭圆■1,F₁、F₂为两个焦点,O为原点,P为椭圆上一点,cos∠F₁PF₂=3/5,则|OP|=()■2.解法探究根据题意知a=3,b=■,c=■,焦点在x轴,设PF₁=r₁,PF₂=r₂,P(x₁,y₁),不妨设x₁>0,y₁>0,则r₁+r₂=6.     

递推数列求通项 活化思维有保障

<正>若数列连续若干项之间满足等量关系a_n+k=f (a_n+k-1,a_n+k-2,…,a_n),则称其为数列的递推关系.由递推关系和k个初始值可以确定一个数列，称数列{a_n}是递推数列.例1数列{a_n}中a₁=1, a_n=a_n-1+2n-3，求该数列的通项.解析:由a_n=a_n-1+2n-3，得a_n-a_n-1=2n-3，因此有a₂-a₁=1, a₃-a₂=3, a₄-a₃=5,     

一类抛物线内接三角形的性质初探

文[1]、文[2]研究了以椭圆中心为重心的椭圆内接三角形的一些性质及其定值,笔者进一步类比探究发现以抛物线焦点为重心的抛物线内接三角形也有许多优美的性质,下面就这一类三角形的一些性质与大家一起探讨.如图1所示,A(2pt²₁,2pt₁),B(2pt²₂,2pt₂),C(2pt²₃,2pt₃)是抛物线y²=2px(p>0)上的三个不同的点,F(p/2,0)抛物线y²=2px(p>0)的焦点,已知点F是ΔABC的重心,抛物线在点A,B,C处的切线分别为l₁,l₂,l₃,且l₁∩l₂=C′,l₂∩l₃=A′,l₃∩l₁=B′.     

2014年全国高中数学联赛湖北赛区预赛

一、填空题（每小题9分,共90分）1.已知正整数数列{a_n}满足a_n+2=a_n+1+a_n（n∈Z₊）.若a₁₁=157,则a₁=_<sub><sub><sub>.2.函数y=sin²x+sinx·cosx-2cos²x的值域为_<sub><sub><sub>.3.在△ABC中,已知∠A=30°,2 AB·AC=3BC².则△ABC的最大角的余弦值为_<sub><sub><sub>.4.在直角坐标平面内,曲线|x-1|+|x+1|+|y|=3围成的图形的面积为_<sub><sub><sub>.5.若（3-a）^1/2-（a+1）^1/2>1/2恒成立,则a的取值范围是_<sub><sub><sub>.6.去掉集合     

巧用方差求值

巧妙利用方差公式求函数的最大值、最小值等,可以使一类函数求值的思路清晰,解法巧妙.由方差的定义:当已知随机变量ξ的分布列为P（ξ=x_k）=p+k（k=1,2,…）时,则方差Dξ=Eξ²-（Eξ）²=（x₁-Eξ）²p₁+（x₂-Eξ）²p+2+…+（x_n-Eξ）²p_n+…≥0,可得Eξ²≥（Eξ）².当x₁=x₂=x₃=…=x_n=…=Eξ时,取得等号.