对《一个公式的巧用》的一点补充

“数学教学通讯”85年第5期张山同志的文“一个公式的巧用”读后很受启发,公式(a b c)(a~2 b~2 c~2-ab-bc-ca)=a~3 b~3 c~3-3abc在解题中巧用之处不少。今就这个公式在三角恒等式的证明中巧用的一角补充几个例题,使该文更有说服力。例1.已知sinα sinβ sinγ=0, cosα cosβ cosγ=0 求证:(1)sin~3α sin~3β sin~3γ=3sinαsinβsinγ (2)cos~3α cos~3β cos~3γ=3cosαcosβcosγ证明:当a b c=0时,a~3 b~3 c~3=3abc令α=siaα,b=sinβ,c=sinγ,则sin~3α sin~3β sin~3γ=3sinαsinβsinγ。令a=cosα,b=cosβ,c=cosγ,则cos~3α cos~3β cos~3γ=3cosαcosβcosγ。利用例1的结论又得一题: 例2.已知:sinα sinβ sinγ=0, cosα cosβ cosγ=0 求证:(1)sin3α sin3β sin3γ     

联用sin~2θ+cos~2θ=1与二维柯西不等式解题

解数学题,学生是多么期盼掌握一些“战无不胜”的技法。本文联用sin~2θ+cos~2θ=1与二维柯西不等式解题,其构思别致,变换灵巧,可谓学生所盼的“阳春白雪”。二维柯西不等式是:ac+bd≤(a~2+b~2)~(1/2)·(c~2+d~2)~(1/2),a、b、c、d∈R当且仅当a/c=b/d时,等式成立。(现行高中《代数》课本下册P.14)。一求值(或证明条件不等式) 例1 若α、β∈(0,π),且cosα+cosβ-cos(α+β)=3/2,求α、β。解:已知即为(1-cosα)cosβ+sinα·sinβ+cosα=3/2,于是:(cos~2β+sin~2;xx2)[1-cosα)~2+sin~α]≥[(1-cosα)cosβ+sinα·sinβ]~2=(3/2-cosα)~2即(2cosα-1)~2≤0,cosα=1/2,α=π/3,同理知β=π/3。(α、β∈(0,π)) 例2 已知msinθ-ncosθ=(m~2+n~2)~(1/2) (1)sin~2θ/α~2+cos~2θ/b~2=1/(m~2+n~2) (2)     

两组三角恒等式的应用

在平面三角中有与代数中的平方差公式a~2-b~2=(a+b)(a-b)形似的恒等式: sin~2α-sin~2β=cos~2β-cos~2α=sin(α+β)·sin(α-β),(1)与 cos~2α-sin~2β=cos~2β-sin~2α=cos(α+β)·cos(α-β)。(2) 这两组恒等式不妨叫做三角中的“平方差”公式。熟记这两组恒等式对于解答某些三角问题、几何问题或综合题会有所帮助。恒等式(1)证明如下: ∵sin~2α-sin~2β=1/2(1-cos2α)-1/2(1-cos2β)=1/2(cos2β-cos2α)=sin(α+β)sin(α-β),     

一道第三届世界数学锦标赛团体赛试题的研究

正题目已知α,β,γ∈(0,π/2),且sin~2α+sin~2β+sin~2γ=1,求sinα+sinβ+sinγ/cspα+cosβ+cosγ的最大值.这是一道第三届世界数学锦标赛(青年组)团体赛的第8题,本文先给出问题的解,然后从一题多变的角度给出问题的多种变式,给同学们参考.     

三角解几 融为一体

解析几何的本质是用代数方法研究几何问题,而三角可以实现几何特征与代数运算的有效转化,因此解析几何中的三角问题俯拾即是:一、以三角为工具,用三角的一整套变换公式,求解圆锥曲线的特征变量【例1】设P是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任意一点,F1、F2是椭圆的焦点,∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,求椭圆的离心率e.解:由正弦定理得|PF1|sinβ=|PF2|sinα=|F1F2|sin(π-α-β),∴|PF1|+|PF2|sinα+sinβ=|F1F2|sin(α+β),即2asinα+sinβ=2csin(α+β),而e=ca,∴e=sin(α+β)sinα+sinβ=2sinα+β2cosα+β22sinα+β2cosα-β2=cosα+β2cos…     

巧用Sin~2α+Cos~2α=1解题

一、正用例1已知sinα+cosα=m,sinαcosα=n,则m,n的关系是().A.m=n B.m=2n+1 C.m~2=2n+1 D.m~2=1-2n解将sinα+cosα=m两边平方,得sin~2α+2sinαcosα+cos~2α=m~2,     

构造对偶式解题

一、三角对偶式例1。化简cos~2α cos~2β-2cosαcosβcos(α β). 设原式为A,设B=sin~2α sin~2β 2sinαsinβcos(α β),则A B=2-2cos~2(α β)=2sin(α β),A-B=cos2α cos2β-2cos(α β)·cos(α-β)=0,故A=B=2sin~2(α β). 类似计算cos~2A cos~2B cos~2C 2cosAcosBcosC(A B C=π),Cos~2θ cos~2(θ 120°) cos~2(θ-120°)等.     

例说三角代换的种种误区

运用三角代换解题 ,具有思路巧妙、解法简练等优点 ,非常利于强化思维的灵活性、批判性、广阔性等品质 ,能有效训练综合性分析与解决问题的能力以及培养创新意识 .但实际中发觉学生运用三角代换解题时存在种种误区 ,现陈述如下 .误区之一　不辨关联用三角代换解题 ,要认真、细心分析已知与所求中涉及的字母是否有关联 ,不要盲目代换 .例 1　已知 |a|<1,|b|<1,求证|a+b1+ab|<1.讲评　有学生见 |a|<1,|b|<1,即设 a= sinα,b=cosα,则有|a+b1+ab|=|sinα+cosα1+sinα· cosα|<1 |sinα+cosα|<|1+sinα·cosα| sin2α+2 sinα· cosα+cos2…     

关于三角函数求值基本方略

一、三角函数取值范围的方程求法我们知道在sin~2a+cos~2α=·1中,运用换元,令cosα=x,sinα=y,就是x~2+y2=1.这样就可把求t=F(cosα,sinα)的范围化为在方程组{x~2+y~2}=1F(x,y)=t},中求t的取值范围.例1已知sinαcosβ=1/2,求t=cosαsi的取值范围.解令cosα=x,sinα=y,cosβ=m,sinβ=n,得方程组(?)消去m,n,y(过程略)得4x~4-(4t~2+3)x~2+4t~2=0(0≤x~2≤1)⑤在⑤中解出t~2求值域或解出x~2求定义域或用二次方程实根的分布方法可得0≤t2≤1/4,所以一1/2≤t≤1/2.例2已知sinα+sinβ=1,求t=cosαt+cosβ的取值     

倍角正、余弦展开式的一个性质

考察下列恒等式: cos2θ=2cos~2θ-1; cos2θ=-(2sin~2θ-1) cos3θ=4 cos~3θ-3cosθ; sin3θ=-(4sin~3θ-3sinθ) cos4θ=8 cos~4θ-8cos~2θ+1; cos4θ=8sin~4θ-8sin~2θ+1 cos5θ=16cos~5θ-20cos~3θ+5cosθ;sin5θ=16sin~5θ-20sin~3θ+5sinθ, ………………………………我们或许会猜测;是否存在某个定理,可以揭示上列展开式之间的微妙关系呢? 回答是肯定的。本文将提出并证明这个定理。定理若已知casnθ=F(cosθ))     

错在哪里?

一、广西东兰中学宋全宁来稿题:设方程x~2-2mx+m+2=0有两个实根,且分别为某直角三角形两锐角正弦的四倍,求m的值。解设直角三角形两锐角分别认α、β,则方程之二根为4sinα和4sinβ=4sin(90°-α)=4cosα,分别代入方程,得 16sin~2α-8msinα+m+2=0和16cosα~2-8mcosα+m+2=0 ∴m=(16sin~2α+2)/(8sinα-1)和m=(16cos~2α+2)/(8cosα-1) 即(16sin~2α+2)/(8sinα-1)=(16cos~2α+2)/(8cosα-1)解得锐角α=45°     

三角代换在解一类不等式问题中的应用

三角代换巧解不等式问题,即根据题目的特点,选取恰当的三角代换,能达到化难为易,化繁为简的目的,它是解不等式问题常用的方法,现举例说明. 例1 已知a,b,x,y∈R,且a2 +b2＝1,x2+y2=1,求ax+ by的范围. 解:通过观察已知条件我们不难发现:令{a=sinα,b=cosα,{x=sinβ,y=cosβ,则ax+by=sinαsinβ+cosαcosβ=cos(α-β).     

构造三角对偶式解三角题初探

本文将探求,具备什么样特征的三角式,可以构造相应的三角对偶式,以及施行怎样的运算顺序,就能达到化繁为易的目的。一、由公式sin~2α+cos~2α=1,cos~2α-sin~2α=cos~2α,cosα·cosβ±sing·sinβ=cos(α±β),sinα·cosβ±cosα·sinβ=sin(α±β)可以得出,具备上述特征的三角式,即为本文探求的第一类三角式。下面举例说明。     

点击“sin~2α+cos~2α=1”的应用

同角三角函数关系式“sin~2α cos~2α=1”在三角恒等变形中具有广泛的应用．本文作一介绍,供大家参考．一、正用例1已知tanα=m≠0,求sinα．解:由sin~2α cos~2α=1,sinα/cosα=tanα,可得tan~2α=sin~2α/cos~2α=1-cos~2α/cos~2α= 1/cos~2α-1,所以cos~2α=1/1 m~2,可得cosα=±1/(?)~(1/2)．又m≠0,知α终边     

错在哪里?

一、(山东莱芜六中宋尊良来稿题:已知:|a|≤1,|b|≤1 求证:ab+((1-a~2)(1-b~2))~(1/2)=≤1 证明:∵|a≤1,|b|≤1, 不妨设sinα=a,cosα=b, 则有:ab+((1-a~2)(1-b~2))~(1/2)=sinα·cosα+((1-sin~2α)(1-cos~2α))~(1/2)=(1/2)sin2α+(sin~2α·cos~2α)~(1/2)=(1/2)sin2α+(1/2)|sin2α|≤(1/2)|sin2α|+(1/2)|sin2α|=|sin2α|≤1     

探讨例题的简捷解法

讲解例题,主要是教给学生解题的方法。在教学中应注意不断改进解法,以提高学生的解题能力。下面举三例以说明之。例一:已知sinα=asinβ……① tgα=btgβ……②求证:cosα=(a~2-1/b~2-1)~(1/2) 分析(1)从求证等式右边着手,只要从已知条件求出a,b代入右边即可。证法(一):分别由(1),(2)得a=sinα/sinβ分析(2)从求证等式没有β的三角函数着手,只要从(1),(2)消去β即可,这可由sin~2β+cos~2β=1办到     

一类三角求值题的制作

如图:ABCD是由两个斜边是1的直角三角形组成,且∠BAD=∠BCD=90°,∠ADB=α,υ∠BDC=β,(0°<α,β<90°)则 AC=sin(α+β),AD=cosα,CD=cosβ。在△ACD中, AC~2=AD~2+CD~2-2AD·CDcos(α+β),即 cos~2α+cos~2β-2cosαcosβcos(α+β) =sin~2(α+β)。这时我们只要令α+β为     

数学练习题(十八)解答

103.α,β,τ为锐角且 cos~2α cos~2β cos~2τ=1,试证:(3)/(4)π<α β τ<π.证由条件可得:cos~2α=sin~2β-cos~2τ>0及 cos~2α=sin~2τ-cos~2β>0.因而又有:sinβ>cosτ及 sinτ>cosβ.于是:sinβ·sinτ>cosτ·cosβ,即 cos(β τ)<0,得:β τ>(π)/(2)·同法可证得:α β>(π)/(2)及τ α>(π)/(2),因而得:α β τ>(3)/(4)π·     

不等式证明的两种巧法

不等式证明既是高中数学的重点,也是高中数学的难点。化归函数法、放缩法是技巧性较高的不等式证明方法.一、化归函数法例1、已知a,b,c,d∈R,且a2+b2=1,c2+d2=1求证:-14FabcdF41分析:将已条件与sin2α+cos2α=1进行对照,可知本题能通过换元将原不等式问题转化为三角函数求值域的问题来解决.证明:设a=sinα,b=cosα,c=sinβ,d=cosβ]｜abcd｜=｜sinα·cosα·sinβ·cosβ｜=14｜sin2α·sin2β｜F14｜sin2α｜·｜sin2β｜F41]-14FabcdF41例2、求证:｜a｜+｜b｜1+｜a｜+｜b｜E1+｜a｜+a+b｜b｜分析:认真观察原不等式两边,不难发现它们…     

由和差化积公式想到的

三角函数中和差化积公式,它将低一级的运算转化为高一级的运算,利用它解决了化简、求值、解方程,利用对数进行计算等问题。其中公式cosα+cosβ=2cos(α+β)/2 cos(α+β)/2更给人以美的感受,公式两端函数名称完全相同。那么,是否存在着一种特殊的恒等式,将低一级的运算转化为高一级运算,且函数形式完全不变呢?如果存在,这些函数又有什么关系呢? 在三角恒等式证明中,我们看到sec~2x+csc~2x=1/cos~2x+1/sin~2x=(sin~2x+cos~2x)/cos~2xsin~2x=1/cos~2xsin~2x=csc~2xsec~2x显然,符合上述条件。此外,尚有