一道巴尔干地区数学竞赛题的推广

2006年4月26日举行的第23届巴尔干地区数学竞赛的第1题为：已知a,b,c∈R~ ,求证：1/(a(1 b)) 1/(b(1 c)) 1/(c(1 a))≥3/(1 abc)．推广已知a,b,c,λ∈R~ ,求证：1/(a(λ b)) 1/(b(λ c)) 1/(c(λa)) (?)(*)     

一道IMO预选题简证

IMO11(1990,泰国)预选题2是:a,b,c,d∈R~-且∑ab=1。则 ∑ (a~3/(b c d))≥1/3。 证明 ∵∑(a~3/(b c d)) 1/9∑a(b c     

两道著名不等式等价性的一个简证

命题1 (1963年莫斯科竞赛题)设a,b,c∈R_ ,求证:(a/(b c)) (b /(c a))=(c/(a b))≥(3/2)。 命题2 (第二届“友谊杯”国际数学竞赛题)设a,b,c∈R_ ,求证: (a~2/(b c)) (b~2 (c a)) (c~2 (a b)≥(a b c)/2。 对于这两个著名问题,许多数学前辈都给出了它们的巧思妙解。本文给出它们等价关系的一个简证。     

一类三元分式不等式及其证明

本文旨在介绍几个新颖有趣的三元分式不等式,并给出它们的巧妙证明.例1已知a,b,c为满足abc=1的正数,求证:1/(2 a) 1/(2 b) 1/(2 c)≤1.证明:因bc ca ab≥3(abc)~(1/3)=3,故1-(1/(2 a) 1/(2 b) 1/(2 c)) =1-(bc ca ab 4(a b c) 12)/((2 a)(2 b)(2 c))     

从一道经典的竞赛题到两个优美的三角不等式

1963年,一道经典的不等式题在莫斯科数学竞赛中应运而生,原题如下:设 a,b,c∈R+,求证:a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)≥3/2.①这个不等式的证法很多,下面笔者给出两个最简单的证明过程.证法1:要证原不等式成立,只须证 a/(b+c)+1+b/(c+a)+1+c/(a+b)+1≥9/2,即只须证[2(a+b+c)](1/(b+d)+1/(c+a)+1/(a+b))≥9,由柯西不等式易知上式显然成立,所以原不等式     

涉及旁切圆半径的一个不等式

命题 设△ABC的三边长分别为a、b、c,旁切圆半径分别为r_a、r_b、r-c.则 (a/(r_a))~n (b/(r_b))~n (c/(r_c))~n≥2~n·3~(1-n/2)(n>0). (1) 证明:由算术—几何平均值不等式得     

怎样证明条件等式

有关证明条件等式的代数题,是一类综合性比较强的题目,如果能让学生掌握其各种不同的证明方法,对于培养他们的逻辑思维能力和熟练的技能技巧都是大有益处的。下面介绍几种证明条件等式的常用方法。一、将已知条件直接代入欲证等式例1 已知:x=(a-b)/(a b),y=(b-c)/(b c), z=(c-a)/(c a) 求证:(1 x)(1 y)(1 z) =(1-x)(1-y)(1-z) 证明:∵(1 x)(1 y)(1 z) =(1 (a-b)/(a b))(1 (b-c)/(b c))(1 (c-a)/(c a)) =2a/(a b)·2b/(b c)·2c/(c a) (1-x)(1-y)(1-z) =(1-(a-b)/(a b))(1-(b-c)/(b c))(1-(c-a)/(c a)) =2b/(a b)·2c/(b c)·2a/(c a) ∴ (1 x)(1 y)(1 z)=(1-x)(1-y)(1-z) 二、通过已知条件之间的相互变换,得出求证式。例2.设x=by cz,y=cz ax,z=ax by 试证:(a 1)x=(b 1)y=(c 1)z     

应该纠正的两道习题

现行高中教材代数下册(必修)本在数列一章的复习参考题六中,第128页6题:已知 a~2、b~2、c~2成等差数列.求证:1/(b c)、1/(c a)、1/(a b)也是等差数列.当|a|=|b|=|c|且 a、b、c 不完全同号或都等于0时,数列 a~2、b~2、c~2为等差数列,首项为a~2,公差为0,满足题目条件.而这时,b c、c a、a b 中至少有两个都等于0,从而1/(b c)、1/(c a)、1/(a b)中至少有两个没有意义,当然不能     

一道IMO备选题的雏形及推广

第31届IMO备选题中,有一道不等式证明的试题,我们把它表述为:命题2 设a、b、c、d为非负实数,且满足 ab bc cd da=1,则a~3/(b c d) b~3/(a c d) c~3/(a b d) d~3/(a b c)≥1/3综合条件与结论,就是:命题2 对于a、b、c、d∈R~ ,有a~3/(b c d) b~3/(a c c) c~3/(a b c) d~3(a b c)≥1/3(ab bc cd a).仔细研究,不难发现,命题2的雏形是常见的     

一道IMO试题的别证

题:设 a、b、c 是正实数,且满足 abc=1,求证:(a-1 (1/b))(b-1 (1/c))(c-1 (1/a))≤1.这是2000年第41届国际数学奥林匹克竞赛试题的第2题.本文给出两个别证.由题设条件可知(a-1 (1/b))、(b-1     

两道IMO题的拓广

,作者华强.本文介绍了两个对证明和推广对称不等式有用的命题,把第28届 IMO 的一道预选题“证明;若 a,b,c 为三角形的边长,a b c=2s.那么 a~n/(b c) b~N/(c a) c~n/(a b)≥(2/3)~(u-1)s~(n-1)(n≥1)”推广到一般形式,并给出一个处理对称形不等式较为通用的方法.     

一道集训试题的最佳上界估计

2005年中国国家集训队测试试题第6题:设 a、b、c、d 是正实数,且满足 abcd=1,求证:1/(1 a)~2 1/(1 b)~2 1/(1 c)~2 1/(1 d)~2≥1.下面给出上面左边式子的上界估计,即有:1/(1 a)~2 1/(1 b)~2 1/(1 c)~2 1/(1 d)~2<3,其中上界3是最佳的不能再改进.先证一个引理:     

设计关联题组 引导思维活动——不等式教学一得

高中代数不等式这一章,内容广泛,问题类型多变,方法多样,技巧性强,是教学上一个难点。我们在解决不等式问题的教学中,有针对性地精心设计题组,引导学生开展积极的思维活动,使他们掌握思想方法,培养思维能力。 例1 设a,b,c∈R~ ,求证: (1)(a b c)(1/a 1/b 1/c)≥9; (2)(a b c)(1/(a b) 1/(b c) 1/(c a))≥9/2     

关于《据本巧设题》的讨论

1《据本巧设题》1997年第4期第1期的讨论题已知a、b、c、d∈ER~ 且c/a d/b=1,求证:a b≥(c～(1/c) d～(1/d))~2.曹兵(江苏通州二甲中学)证一 由柯西不等式     

擂台题(13)的评注及其它

设△ABC的三边BC、CA、AB与半周长分别为a、b、cs.点P为△ABC平面上的任一点,证明或否定:(b c)/a ×PA (c a)/b×PB (a b)×PC≥4/(3~(1/3)) s本题至今收到了不少来稿.一般都是举出反例,做对了此题.因反例不太复杂,故我们决定马上截止此题的打擂,以免更多的人做重复工作.做对此题的人分别为;江苏灌云县四队中学 颜廷好(邮戳日期;1995、5、5;邮码:222234),河北保定市顺平县职教中心徐长征(邮戳日期;1995.5.12,邮码:072251);陕西洛川师范     

一道赛题的简证

题目　已知a、b、c为正实数.证明:a2 b2 c2 abc=4a b c≤3.(第20届伊朗数学奥林匹克(第2轮))文[1]利用三角法给出了证明,本文给出一种代数证明.证明:若a、b、c都大于1,或者都小于1,显然不满足题设条件.因此,a、b、c中一定有两个或者都不大于1,或者都不小于1,不妨设为a、b.则(1-a)(1-b)≥0,即　ab≥a b-1.①由a2 b2≥2ab,有4=a2 b2 c2 abc≥2ab c2 abc,即　ab(2 c)≤4-c2.于是,ab≤2-c.②由①、②,有a b c≤3.一道赛题的简证@羊明亮$湖南师范大学附属中学广益高中!410081[1] 第20届伊朗数学奥林匹克(2002—2003)[J].中等数学2004增刊.70.…     

对现行高中数学教材中几个问题的异议

我们对现行高中数学课本及《教学参考资料》中几处地方有异议,分类一一列出。 (一)课本上有六个题目条件欠充分。 (1)已知a、b、c成等比数列,m是a、b的等差中项,n是b、c的等差中项,求证a/m c/n=2。(代数甲种本第二册P43第4题) (2)已知a~2、b~2、c~2成等差数列,求证1/(b c),1/(c a),1/(a b)也成等差数列。(代数第二册P76第6题)     

2005年高中数学联赛加试题二之“源”与再推广

1 赛题与"源" 赛题 (2005年全国高中数学联赛加试题第二题)设正数a,b,c,x,y,z满足cy+bz=a,az+cx=b,bx+ay=c,求函数f(x,y,z)=x2/(1+x)+y2/(1+y)+z2/(1+z)的最小值.     

一个结论的证明及应用

如果1/a 1/b 1/c=1/(a b c),则a,b,c三个数中必有两个互为相反数.分析要证明这一结论,只需证明a,b,c三数中必有两个数之和为0即可.证明由1/a 1/b 1/c=1/(a b c) (a b c)(bc ac ab)-abc=0 (a b)(a c)(b c)=0 a b=0或b c=0,或a c=0,即a,b,c三个数中必有两个互为相反数.下面介绍这一结论的具体应用.     

证明三个数成等差数列的一个充要条件

已知三个数成等差数列,求证与此相关的另三个数也成等差数列,这是《数列》一章经常出现的习题。例如“已知 a~2,b~2,c~3 成等差数列,求证1/(b+c),1/(c+a),1/(a+b)也成等差数列。“(高中代数第二册复习题二第6题)从数列的定义出发,证明过程往往较繁,本文介绍一个新的方法。命题:已知三个数 a,b,c 成等差数列(公差