关于一道高校自主招生题的探究

1问题提出 已知：a〉0，b〉0，求证：1/a＋b＋1/a＋2b＋…＋1/a＋nb〈n/√[a＋（n＋1/2）b]（a＋b/2）     

函数f（x）=a/cos^nx＋b/sin^nx最小值猜想的一个初等证明

万新灿、郑晓玲老师在文[1]中提出猜想： f（x）=a/cos^nx＋b/sin^nx（0〈x〈π/2,a、b为大于0的常数，n∈N＋），当且仅当x=arctan n＋2√a/b时，取最小值（a2/n＋2＋b2/n＋2）n＋2/2     

函数f（x）=a/cos^nx＋b/sin^nx最小值猜想的又一简证

文献[1]提出了如下猜想： 猜想f（x）=a/cos^nx＋b/sin^nx（0〈x〈π/2,a，b为大于零的常数,n∈N^＊）当且仅当x=arctan n＋2√b/a时,取到最小值（2/a^n＋2＋2/b^n＋2）^n＋2/2．     

一道三角题的多种解法和推广

题目已知α，β为锐角，sin（α＋β）=2sina，求证sina〈sinβ。     

忽视字母的取值范围

已知函数F（x）=｜lg x｜,若0〈a〈b,且f（a）=f（b）,则a＋2b的取值范围是（）.A.（22~（1/2）,＋∞） B.[22~（1/2）,＋∞）C.（3,＋∞） D.[3,＋∞）错解：由f（a）=f（b）,得｜lg a｜=｜lg b｜,则a=b（舍去）或b=1/a,故a＋2b=a＋2/a≥22~（1/2）...     

求一类三角函数的最小值

（数学问题338）《数学通报》2008年第6期P61《探求一类三角函数的最值问题》等诸多文献,已深入讨论并得出了三角函数f（x）=a/con^nx=b/sin^nx（0〈x〈π/2,a,b〉0）,对n∈R^＋的最小值为（a2/n＋2＋b2/b^n＋2）^n＋2/2.进一步地,我们探讨：     

对两个不等式证明方法的改进及应用

问题1（《数学通报》1472号数学问题）已知a,b∈R＋,a＋b=1,求证：3/2〈1/a3＋1＋1/b3＋1≤16/9.     

一个简单不等式的应用

全日制普通高级中学教科书数学第二册第12页例2已证明： 若a,b,m都是正数，并且a〈b，则a/b〈a＋m/b＋m。     

关于f(x)=a/cos~nx+b/sin~nx最小值猜想的商榷与简解

《中学数学教学参考》于2006年第10期刊登了王凯成老师的关于f（x）=a/cos^nx＋b/sin^nx（0〈x〈π/2,b〉0,n∈N^＊）最小值猜想的初等证明一文,结论是x=arctan n＋2√a/b时,f（x）min=（2/a^n＋2,2/b^n＋2）,笔者觉得该结论值得商榷,     

追求数学简约之美

题1 求证：对任意正实数a、b、c，都有1〈a/√a^2＋b^2＋b/√b^2＋c^2＋c/√c^2＋a^2≤3√2/2。     

构造“数字式”求函数y=a/cosx＋b/sin^nx最小值

问题设a,b,n∈N,0〈x〈π/2,求函数y=a/cos^nx＋b/sin^nx的最小值．     

一个猜想的简证

文[1]在文末提出猜想：f（x）=a/cos^nx＋b/sin^n（0〈x〈π/2,a，b为大于0的整数，n∈N^＋。）当且仅当z=arctan n＋2√b/a时取最小值（2/an＋2＋2/bn＋2）n＋2/2．文[2]用相当长的篇幅且繁琐的方法证明了文[1]提出的猜想是正确的，本文将直接运用均值不等式给出文[1]猜想的一个简单的初等证明．[第一段]     

函数f（x）=a/cos^nx＋b/sin^x最小值猜想的简证

文[1]在文末提出猜想：f（x）=a/cos^nx＋b/sin^x（0〈x〈π/2,a、b为大于0的常数，n∈N^＊当且仅当x=arctan n＋2√b/a时，取最小值（2/an＋2＋2/bn＋2）n＋2/2,文[2]用相当长的篇幅且非常繁杂的方法证明了文[1]提出的猜想是正确的．本文将直接运用均值不等式给出文[1]猜想的一个简单漂亮的初等证明．     

一些特殊不等式的巧用

在不等式证明中,如果多留意,多反思,就可以发现一些课本上没有作为公式,但却十分有用的不等式,如a/b〈（a＋m）/（b＋m）,（b〉a〉0,m〉0）（a＋b）/2≤√（a^2＋b^2）/2,a^2＋b^2＋c^2≥ab＋bc＋ca等等,在证明某些不等式时,利用这些不等式可以简化思路、缩短解题过程。     

对一道课本例题的再思考

人教社高中数学第二册（上）P12例2：已知a,b,m都是正数，并且a〈b,求证a＋m/b＋m〉a/b。（Ⅰ）     

一类分式函数最小值的求导处理及推广

函数f（x）=a/x-c＋b/d-x（a,b,c,d∈R^＋,c〈x〈d）,求其最小值,文[1][2]采用均值不等式或三角换元变换去求解,     

一道课本例题的证法探究与引申

高中数学新教材第二册（上）（人教版）第12页例2题：已知a，b，m都是正数，且a〈b，求证：a＋m/b＋m〉a/b[第一段]     

用均值不等式证高次不等式

1．设a,b,c∈R^＋,求证： （a＋2b/a＋2c）^n＋（b＋2c/b＋2a）^n＋（c＋2a/c＋2b）^n≥3． 证明a＋2b/a＋2c＋b＋2c/b＋2a＋c＋2a/c＋2b≥3 ←→（a＋2b）（b＋2a）（c＋2b）＋（b＋2c）（c＋2b）（a＋2c）     

2．代数式

1．已知-1〈b〈0，0〈a〈1，那么在代数式a-b，a＋b，a＋b^2，a^2＋b中，对任意的a、b，对应的代数式的值最大的是（ ）．     

一道不等式题的推广

1题目再现 最近笔者在安振平老师的博客上学习了一道不等式问题： 问题1设a,b∈R＋,证明：1/3〈√a/3a＋b＋√b/3b＋a≤1.