二次函数的解析式

二次函数的解析式上海宝山淞浦中学刘德明二次函数是中学数学中极真重要的内容，它的解析式有多种不同的表现形式，其中ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）称为“一般武”；如果它的顶而坐标为（ｋ，ｍ），则ｙ＝ａ（ｘ十ｋ）２＋ｍ称为“项点式”；如果它的图象与Ｘ轴的两个...     

韦达定理运用的几种常见类型

韦达定理运用的几种常见类型□兰州西北中学孙俊峰１已知ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０的一根为ｘ１，求另一个根ｘ２．把ｘ１代入ｘ１＋ｘ２＝－ｂａ和ｘ１ｘ２＝ｃａ中的任一个，都可得到ｘ２．２已知ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０，求其根ｘ１、ｘ２的对称式的值例１已知ｘ１、...     

用“判别式法”求函数y=mx±sqr(ax~2+bx+c)的值域

用“判别式法”求函数ｙ＝ｍｘ±ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的值域□武山水泥厂中学杨允利形如ｙ＝ｍｘ±ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的无理函数，若采用平方取掉根号，再利用判别式△０求ｙ的范围，就会把值域的范围扩大，从而导致错误的结论．例如：求函数ｙ＝ｘ＋４－ｘ２的值域，易得到...     

一元二次方程两根间的关系

一元二次方程是中学代数的一个重要组成部分。现将一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）两根之间关系归纳如下．不妨设一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０中,ａ＞０,△≥０,则（１）ｂ＞０,ｃ＞０两实根都为负;（２）ｂ＞０,ｃ＜０两实根异号,绝对值较大的为负;（３）ｂ＜０,ｃ＞０两实根都为正;（４）ｂ＜０,ｃ＜０两实根异号,绝对值较大的为正;（５）ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ是一个完全平方式,则必有ｂ＝±２ａｃ（ｃ＞０）,或△＝０两实根相等;（６）ｂ＝０,ｃ＜０两实根互为相反数;（７）ａ＝ｃ两实根互…     

内接于抛物线中的三角形面积公式及应用

内接于抛物线中的三角形面积公式及应用安徽省舒城县杭埠中学丁遵标如图，二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝ａ的图象，抛物线顶点Ｃ的坐标为（），与ｙ轴的交点坐标为（Ｑ．’·），当其判别式面一ｂ’，４ａｃＭＯ时，他物线与Ｘ轴两交点为Ａ（ｘ；．０）、Ｂ（。。，０）...     

巧用判别式和二次函数性质解题

文献（１）着重于解决不等式问题,笔者研读后深受启发。一元二次方程ａｘ２十ｂｘ十ｃ＝０的根有下列判断条件：（１）方程有实根,＝ｂ２－４ａｃ　０;（２）方程无实根＝ｂ２-４ａｃ＜０。二次函数ｆ（ｘ）＝ａｘ２十ｂｘ＋ｃ（ａ　０）有下列几条性质：性质１若ａ＞?..     

巧设待定系数求二次函数的解析式

一、用一般式确定二次函数的解析式　　如果已知二次函数的图象经过三点 ,则可用一般式 ｙ=ａｘ2 +ｂｘ +ｃ建立方程组 ,求出ａ、ｂ、ｃ的值 ,从而写出解析式。　　〔例 1〕已知二次函数的图象经过点Ａ( 1,-1) ,Ｂ( 2 ,4) ,Ｃ( -1,-5 ) ,求此函数的解析式。　　解 :设此函数的解析式为 ｙ =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ,由已知得 :　　ａ +ｂ+ｃ =-14ａ +2ｂ +ｃ=4ａ -ｂ+ｃ =-5　解这个方程组得ａ =1ｂ =2ｃ=-4　　∴此函数的解析式为 ｙ =ｘ2 +2ｘ -4　　二、用顶点式确定二次函数的解析式　　如果已知二次函数的顶点坐标和图象上的另一点 ,则可用顶点…     

抛物线中的两种内接三角形

抛物线中的两种内接三角形□周以宏（江苏省盱眙县中学２１１７００）设抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）与ｘ轴交于Ａ、Ｂ两点，顶点为Ｃ，不难证明（１）对直角三角形ＡＢＣ，有Δ＝ｂ２－４ａｃ＝４．（２）对等边三角形ＡＢＣ，Δ＝ｂ２－４ａｃ＝１２．合理地应...     

这道赛题解法不妥

这道赛题解法不妥□朱家海（贵州威宁县哲觉中学５５３１１５）１９９２—１９９３学年广州、洛阳、福州、武汉、重庆初中数学联赛试题的第三大题是：已知二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象的顶点是Ｃ，它与ｘ轴有两个不相同的交点Ａ和Ｂ．（１）若点Ｃ的横坐标是３，Ａ...     

一道习题的引申与推广

１引子许多书上都列有这样一道练习题 :设 ｆ（ｘ）＝ａｘ２ ｂｘ ｃ,那么对 ｘ∈Ｒ,恒有 ｆ（ｘ ３） -３ｆ（ｘ ２） ３ｆ（ｘ １） - ｆ（ｘ）＝０（１）解答该题似乎无甚奇妙之处 .然而只要我们仔细观察（１）的结构特征 ,就会发现该习题改写成下面问题 :设 ｆ（ｘ）＝ａｘ２ ｂｘ ｃ ,ｎ为自然数 ,ｇ（ｘ,ｎ）＝Ｃｎｎｆ（ｘ＋ｎ）＋Ｃｎｎ－１ｆ（ｘ＋ｎ－１）（－１）＋ … ＋Ｃｎ１ｆ（ｘ＋１）（－１）ｎ－１＋Ｃｎ０ｆ（ｘ）（－１）ｎ （２）试求 ｇ（ｘ,３）的值 .自然提出 :（Ａ）当 ｆ（ｘ）＝ａｘ２ ｂｘ ｃ时 ,…     

与最值相关问题的解法(上)

一、内容概述：与最值相关的数学问题在现实生活中普遍存在,各个学科领域普遍涉及．此类问题的表现形式有：（１）求一些代数式的最值（最大值,最小值）,（２）求函数值域,（３）求一些代数式中参量的取值范围等．解决此类问题的方法多种多样,常用到的有判别式法、配方法、配对法、代换法、数形结合法等．本文将结合一些相关问题对上述诸法作以初步诠释,供大家参考．二、基础知识１．关于ｘ的实系数二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）有实数根判别式Δ≥０．２．二次函数ｆ（ｘ）＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ＞０）在ｘ≥－ｂ２ａ时…     

“二次函数”教学浅淡

“二次函数”教学浅淡□兰州市十一中王萍二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）是初中代数教材的重点和难点之一从知识结构上分析，它包括四个方面的主要内容，即二次函数的定义、图象、性质及其应用；从数学思想方法上来看，始终贯穿着运动、变化的观点和形数结合的...     

初中数学升学复习测试题精编──综合测试题（一）

初中数学升学复习测试题精编──综合测试题（一）一、填空题１．函数的定义域是２．若函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图象过点Ａ（１，－１），Ｂ（－２，５），则函数的表达式为３．若方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ＜０）的根为－３，２，则的解是４．以线段ＡＢ为斜边的直角三角形...     

相似而不同的两道题

大家知道，在复数范围内，关于ｘ的二次方程ａｘ＾２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ，ｂ，ｃ是常数，且ａ≠０）有且只有两个根ｘ１，ｘ２，如。     

例谈用待定系数法求二次函数解析式

待定系数法是一种重要的数学思想方法 .利用待定系数法求二次函数的解析式 ,是历年中考的一个重要考点 .本文以近年中考试题为例 ,说明如何应用待定系数法求二次函数的解析式 .一、已知函数图象上三点的坐标当已知二次函数图象上三点的坐标时 ,可设其解析式为ｙ =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ,将三点坐标分别代入解析式 ,得到关于ａ、ｂ、ｃ的三元一次方程组 ,解方程组求出ａ、ｂ、ｃ的值即得解析式 .例 1　已知一个二次函数的图象经过(1 ,-1 )、(0 ,1 )、(-1 ,1 3)三点 ,求这个二次函数的解析式 . (1 999年河南省中考题 )解　设二次函数的解析式为ｙ =…     

数形结合 化难为易

数形结合化难为易卢朴勤（甘肃省甘谷一中７４１２００）今年高考第２４题：设二次函数ｆ（ｘ）＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ＞０），方程ｆ（ｘ）－ｘ＝０的两根ｘ１、ｘ２满足０＜ｘ１＜ｘ２＜１ａ．（Ⅰ）当ｘ∈（０，ｘ１）时，证明ｘ＜ｆ（ｘ）＜ｘ１；（Ⅱ）设函数ｆ（ｘ...     

二次函数与一元二次方程关系的应用

知识链接二次函数ｙ=ａｘ2 +ｂｘ +ｃ(ａ≠ 0 )与一元二次方程ａｘ2 +ｂｘ+ｃ =0 (ａ≠ 0 )的关系是 :二次函数ｙ =ａｘ2 +ｂｘ+ｃ(ａ≠ 0 )的图象与ｘ轴交点的横坐标是一元二次方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ =0 (ａ≠ 0 )的根 ;反之 ,一元二次方程ａｘ2 +ｂｘ+ｃ=0 (ａ≠ 0 )的根是二次函数ｙ =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ(ａ≠ 0 )的图象与ｘ轴交点的横坐标 .一、判断二次函数图象与ｘ轴的交点情况例 1　已知抛物线ｙ =ｘ2 - (2ｍ - 1)ｘ +ｍ2 -ｍ- 2 .(1)证明抛物线与ｘ轴有两个不同的交点 .(2 )分别求出抛物线与ｘ轴的交点Ａ、Ｂ的横坐标ｘＡ、ｘＢ及与ｙ轴…     

抛物线对称性的灵活应用

学习了二次函数及其图象后 ,同学们都知道 ,抛物线ｙ =ａｘ2 ｂｘ ｃ是轴对称图形 ,它的对称轴是直线ｘ =-ｂ2ａ,抛物线的顶点在对称轴上 .解决有关二次函数的问题时 ,若能充分应用抛物线的对称性 ,则可给出特别简捷的解法 .例 1　已知抛物线的对称轴为ｘ =-2 ,抛物线与ｘ轴两交点间的距离为 2 ,交ｙ轴于点(0 ,2 ) ,求此抛物线的解析式 .(1 997年江苏省苏州市中考题 )分析　设抛物线的解析式为ｙ =ａｘ2 ｂｘ ｃ,按照常规解法 ,需要解关于ａ、ｂ、ｃ的三元二次方程组 ,从而求得ａ、ｂ、ｃ的值 .这种解法 ,运算过程是相当繁杂的 .若利用抛…     

实系数方程ax~2+b｜x｜+c=0的根的个数问题

实系数方程ａｘ２＋ｂ｜ｘ｜＋ｃ＝０的根的个数问题□徽县一中李宗奇我们知道,实系数二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）的根的情况比较简单,容易解决．但是实系数方程ａｘ２＋ｂ｜ｘ｜＋ｃ＝０（ａ≠０）的根的情况,随着解集的变化而不同,本文利用分类讨论思想...     

利用对称性巧求二次函数解析式

轴对称性是二次函数图像的一个重要性质 ,运用它求二次函数的解析式 ,能收到事半功倍的效果 ,现举例说明 ,希望同学们能从中得到一定的启发。例 1　一条抛物线ｙ =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ经过点 ( 0 ,0 )与 ( 1 2 ,0 ) ,最高点的纵坐标是 3,求这条抛物线的解析式。分析 :此题若将点 ( 0 ,0 ) ,( 1 2 ,0 )代入解析式 ｙ =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ,由最高点纵坐标 3,得4ａｃ-ｂ24ａ =3,组成议程组解之并非省事。反之由抛物线的轴对称性 ,并注意到抛物线过 ( 0 ,0 )和 ( 1 2 ,0 ) ,可知抛物线的对称轴为直结ｘ =6,从而得到其顶点为 ( 6,3) ,故抛物线解析式为 …