异面直线距离的几种求法

求异面直线的距离,在立体几何中是一个难点。怎么求?条件不同,方法各异。很多刊物介绍了其代数和几何求法,下面再介绍几种代数求法。式1 如果l_1、l_2为异面直线,l_2交以l_1为交线的两平面π_1,π_2于A、B两点。若AB==m,又对l_1上任两点C、D,有AC=a、BD=b、∠ACD=a,∠BDC=β,l_1、l_2间夹角为θ,则l_1、l_2间距离: d=1/(2msinθ)(4a~2b~2sin~2a.sin~2β-(a~2sin~2a+b~2sin~2β-m~2sin~2θ)~2)~(1/2)     

数学解题错误例评

1．概念不清,引起错误例1．求直线l_1:y=-2x 3到直线l_2:y=x-(3/2)的角θ。[错解]∵tgθ=(1-(-2)/(1 1×(-2)=-3,∴θ=arctg(-3)。[点评]本题错在反正切函数的概念不清。由l_1到l_2的角θ的正切值是-3,知θ是钝角。而arctg(-3)表示一个负锐角,显然不等。正确答案是θ=π-arctg3。     

求与两条平行直线平行的直线方程的简便方法

我们知道,若两条平行直线的方程为,l_1:ax+by+c_1=0,l_2:ax+by+c_2=0(c_1≠c_2)则ax+by+c_1+λ(ax+by+c_2)=0(λ≠0,λ≠-1)是与l_1、l_2都平行的直线l_3的方程。设M(x_0,y_0)是l_3上任一点,那么ax_0+by_0+c_1+λ(ax_0+by_0+c_2)=0(?)λ=-((ax_0+by_0+c_1)/(ax_0+by_0+c_2)) (1)因此|λ|表示l_3到l_1的距离与l_3到l_2的距离之比。当λ>0时,从(1)知(ax_0+by_0+c_1)/(ax_0+by_0+c_2)<0,这时,l_3介于l_2、l_3之间;当λ<0时,由(1)知,(ax_0+by_0+c_1)/(ax_0+by_0+c_2)>0,这时,l_3位于l_1、l_2之外。这样,我们推出下列有用的结论。定理:若两条平行直线l_1:ax+by+c_1=0,l_2:ax+by+c_2=0(c_1≠c_2),则到l_1的距离与到l_2的距离之比为|λ|的直线l_3的方程为ax+by+c_1+λ(ax+     

立体几何中一个公式的发现

定理:已知平面φ_1、φ2、φ_3两两相交,φ_1∩φ_2=φ_3,φ_2∩φ_3=l_1,φ_3∩φ_1=l_2,并且φ_1与φ_2所成二面角为θ,φ_2与φ_3所成二面角为θ_1;φ_3与φ_1所成二面角为θ_2。则     

直线和圆的方程典例解析

例1已知三条直线l_1:2x-y a=0(a>0),l_2:4x-2y-1=0和l_3:x y-1=0,且l_1与l_2的距离是7/(10)5~(1/2) (1)求a的值;     

异面直线的性质

空间两条直线有相交、平行、不共面三种可能的相互位置。我们知道,空间两条直线的夹角或交角的概念是从平面两直线的夹角或交角概念推广而来的,空间里平行线的传递性也是由平面内平行线的传递性直接推导的,事实上,将平面内直线之间相互位置的某些概念和性质推广引伸到空间去,可以相应地得到与其平行的结果,本文试图从平面到空间,用类比的方法,论证几个异面直线的性质定理。为了叙述简便起见,我们约定,MN为异面直线l_1、l_2的公垂线,M、N分别是l_1及l_2上的垂足,l_1和l_2的交角是θ(0〈θ≤1/2π)。     

异面直线距离的求法

两条异面直线间的距离,有下述六种求法。不妥之处,请批评指正。 一、定义法 由异面直线的定义知,设l_1⊥l_2如果AB分别交l_1、l_2于A、B两点,并且AB⊥l_1,AB⊥l_2,那么AB的长就是l_1、l_2间的距离。所以,过l_1作平面α,使α⊥l_2,利用三垂线定理,便可确定异面直线l_1、l_2间的距离。     

求“两条异面直线的距离”公式一则

求两条异面直线的距离是立体几何中一个很有意思的课题。解决这个课题所需的基础知识并不超过目前高中立体几何教材的要求,只是综合运用基础知识的要求略高一些。求两异面直线的距离通常的解法有:(1)直接根据定义求;(2)转化为平行的直线与平面间的距离求;(3)转化为两平行平面间的距离求,等等。以上这些解法,多数情况下要添作一些补助线,推导过程比较繁,图形又不易表达清晰,历来令学生们大伤脑筋。本文想导出一则求两条异面直线的距离的公式,以帮助同学们减少一些这方面的苦恼。设异面直线l_1、l_2,A、B为l_1上的两点,AO⊥l_2,     

怎样确定两条异面直线的公垂线的位置

本文对如何确定两条异面直线的公垂线的位置,怎样在图形上准确作出两异面直线的公垂线就这个问题作一点探讨。先引进一个定义空间两条射线所成的角: 设AB、CD是两条射线,过空间任一点O,分别作与AB、CD平行且同向的射线OM、ON则∠MON叫做射线AB与CD所成的角。根据定义知道,两条射线所成的角θ与点O的位置无关,且O≤θ≤π。若射线AB与CD所成的角为θ,则射线AB与DC所成的角就为π-θ。定理:设l_1与l_2为     

一道作业题引发的思考

<正>一、解析一道作业题不久前笔者在教学"直线与方程"一章时布置了一道作业题:已知直线l_1:ax-by+4=0与直线l_2:(a-1)x+y+b=0平行,且原点到两直线的距离相等,求实数a,b的值.批改时发现有十多位学生不会做,第二天课堂上笔者及时作了评讲,主要过程如下:因为l_1∥l_2,所以     

用发散思维分析焦点弦

例1已知抛物线G的顶点在原点,焦点在y轴正半轴上,点P（M,4）到其准线的距离等于5。过焦点弦与抛物线G的交点A、B分别作抛物线G的切线l_1,l_2,且l_1,l_2交于点M,试证点M必在一条定直线上,并求出该定直线。     

极坐标法证三点共线

本文应用极坐标法对三点共线问题进行归类证明,下列是与证题有关的公式和方程: 1.两点间距离公式:d=(p_1~2+p_2~2-2p_1p_2cos(θ_1θ_2))(1/2)表示两个点与之间的距离。 2.经过P_1(p-1,θ-1)与P_2(p-2,θ_2)两点的直线的斜率公式:(O≤α<π)。 3.三点P_i(p-i,θ_i)(i=1,2,3)共线的充要条件:     

平面内的点到直线距离公式的应用例析

<正>在平面内,已知点P(x_0,y_0),直线l:Ax+By+C=0,则点P到直线l的距离公式d=|Ax-By+C|/(A²+B2+B²)2)^(1/2)。解析几何中的轨迹问题、最值问题、曲线与直线的位置关系等都与点到直线的距离有关。因此,应用点到直线的距离公式能够解决许多重要问题。一、求轨迹方程例1求两条直线l_1:3x+4y+1=0,l_2:5x+12y-1=0的交角平分线方程。     

从一道预赛试题探究椭圆焦点三角形外接圆的性质

<正>1题目呈现(2019年江西省预赛第9题)如图1,椭圆C的两焦点为F_1、F_2,两准线为l_1、l_2.过椭圆上一点P,作平行于F_1F_2的直线分别交l_1、l_2于M_1、M_2,直线M_1F_1与M_2F_2交于点Q.证明:P、F_1、Q,F_2四点共圆.     

L-S耦合与JJ耦合的物理实质

在原子物理学中,研究原子组态时,计算多电子原子的总角动量问题,是教学的重点。大多数教材为了说明 L-S 耦合与 JJ 耦合的适用条件,均先引入了六种相互作用;G_1(S_1S_2)、G_2(l_1l_2)、G_3(l_1S_1)、G_4(l_2S_2)、G_5(l_1S_2)和 G_6(l_2S_1),并根据这些相互作用的强弱作为判断两种耦合的标准,以计算出原子的总角动量。但是,     

圆锥曲线切线的一个性质及简证

性质1:已知椭圆方程(x~2)/(a~2) (y~2)/(b~2)=1(a＞b＞0),AB是过中心的弦,C为椭圆上不同于A、B的动点,在点A处的切线为l_1,在C点处的切线为l_2,两切线交于E点,l_(CB)与l_1交于点D,则DE=EA．     

一道高考作图题的剖析

2010年上海秋季高考数学试卷的最后一题如下：已知椭圆Γ的方程为（x~2）/（a~2）＋（y~2）/（b~2）=1（a〉b〉0）,点P的坐标为（-a,b）.（1）若直角坐标平面上的点M、A（0,-b）、B（a,0）满足（？）=（？）,求点M的坐标;（2）设直线l_1：y=k_1x＋p交椭圆Γ于C、D两点,交直线l_2：y=k_2x于点E.若k_1·k_2=-（b~2）/（a~2）,证明：E为CD的中点;（3）对于椭圆Γ上的点Q（acosθ,bsinθ）（0〈θ〈丌）,如果椭圆Γ上存在不同的两点P_1、P_2使得（？）,写出求作点P_1、P_2的步骤,并求出使P_1、P_2存在的θ的取值范围.     

长方体对角线性质应用举隅

如果我们把长方体交于一个顶点的三条棱的长叫做三度,那么就有性质:长方体对角线的长的平方等于三度的平方和。设长方体对角钱的长为l,三度分别为a、b、c,就有l_2=a~2 b~2 c~2。对于正方体来说,如果棱长为a,则有l~2=3a~2。长方体对角线的这个性质,实质上就是两异面直线上两点间的距离公式:l=(m~2 n~2 d~2-2mncosθ)~(1/2)当θ=90°时的特例。看起来如此简单的有关长方体的一个性质,但在1988年高考的四道立体几何题中,却有两题可以用这一性质来解决。可见,长方体对角线性质在应用方面具有一定的广泛性。     

要考虑特殊情况

在六年制重点中学数学课本《解析几何》的第47页上,有这样一个例题: 已知两条直线: l_1:x+my+6二0 l_2:(m一2)x+3y+2m=0,当二为何值时,l_1与l_2(i)相交,(ii)平行,(iii)重合。     

数形结合,相映成辉——巧构图形解竞赛和高考题

数形结合是中学数学的重要思想方法之一,数与形是数学的两翼,是我们解决数学问题的一柄双刃利剑,活用数形结合,可以培养不循常规、不拘常法、不落俗套的创新思维.例1　(1996年全国高中数学联赛试题)求实数a的取值范围,使得对任意实数x和任意θ∈[0,π2]恒有(x+3+2sinθcosθ)2+(x+asinθ+acosθ)2≥18.分析1:设sinθ+cosθ=t(1≤t≤2),条件转化为不等式(x+t2+2)2+(x+at)2≥18恒成立,利用数形结合,由上式的结构特点,联想到构造距离,即只需求点P(x,x)到定点A(-t2-2,-at)距离平方的最小值不小于18即可.而点P(x,x)的轨迹为、象限的角平分线x-y…