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1.
张伟新 《中学数学研究(江西师大)》2004,(4):41-43
问题:设x、y、z是正实数,且xyz=1,证明x3/(1 y)(1 z) y3/(1 x)(1 z) z3/(1 z)(1 y)≥3/4.(39届IMO预选题) 相似文献
2.
题目 已知△ABC,点X是直线BC上的动点,且点C在点B、X之间.又△ABX、△ACX的内切圆有两个不同的交点P、Q.证明:PQ经过一个不依赖于点X的定点。 相似文献
3.
笔者受文[1]启发写了文[2].此后不久,重庆的沈毅老师给笔者来信指出,由文[2]的证明过程中可得到一个很有意义的等式,并在此基础上提出了空间推广(见本文式①、②),笔者证明了沈老师的猜想.本文对这道IMO预选题作进一步拓展与推广. 相似文献
4.
196 1年 ,在匈牙利举行的第三届国际数学竞赛中 ,有一道由波兰命题的三角形不等式证明题 :已知三角形的边长分别为 a,b,c,面积为 S,证明 :a2 +b2 +c2≥ 4 3S,(1)并求出在什么条件下等号成立 .这就是著名的魏琴伯克 (Weitzenbock)不等式 (1919年 ) ,等号成立的条件是此三角形为正三角形 .后来 ,Finsler(1937年 )又将它加强成2 bc+2 ca+2 ab- a2 - b2 - c2 ≥ 4 3S.(2 )本文将 (1)左式缩小 ,建立如下的定理 :在△ABC中 ,如上所设 ,有2 ab+c2 ≥ 4 3S,(3)等号当且仅当△ ABC为正三角形时成立 .根据三角形面积的不同的表达形式 ,下面给出几… 相似文献
5.
一道IMO预选题的推广 总被引:1,自引:0,他引:1
第37届(1996年)IMO中有如下一道预选题:若a,b,c,∈(0,+∞),且abc=1.试证: (ab)/(a5+b5+ab)+(bc)/(b5+c5+bc)+(ca)/(c5+a5+ca)≤1. 相似文献
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题目设a、b、c〉0,且ab+bc+ca=1.证明:不等式^3√1/a+6b+^3√1/b+6c+^3√1/c+6a≤1/abc.[第一段] 相似文献
7.
设a,b,c∈R^+,abc=1,证明:1/a^3(b+c)+1/b^3(c+a)+1/c^3(a+b)≥3/2
这是一道第26届IMO竞赛题,试题简洁、对称、和谐,给人以美感,广大数学教育工作者从不同角度思考,给出了多种证法.笔者尝试用Cauchy不等式加以证明. 相似文献
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设a,b,c为三角形的三边长,证明: ∑a~2b(a-b)≡a~2b(a-b)+b~2c(b-c)+c~2a(c-a)≥0 (1) 这是第24届IMO的一道试题. 经探讨,我们得到了与(1)类似的如下不等式: ∑a~3b(a-b)≥0 (2) ∑a~4b(a-b)≥0 (3) 证令a=y+z,b=z+x,c=x+y,并记σ_1=x+y+z,σ_2=xy+yz+zx,σ_3=xyz(x,y,z>0),则∑a~3b(a-b)=∑(σ_1-x)~3(z+x)(y-x)=∑(σ_1-x)~3(σ_2-x~2-2xz)=σ_2∑(σ_1~3-3σ_1~2x+3σ_1x~2-x~3)-∑(x+2z)(σ_1~3x-3σ_1~2x~2+3σ_1x~3-x~4) 相似文献
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题目:设f是一个从实数集R映射到自身的函数,且对任何x∈R都有|f(x)|≤1,及f(x 13/42) f(x)=f(x 1/6) f(x 1/7). 相似文献
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一道IMO预选题的推广 总被引:1,自引:0,他引:1
题目 设△ABC是锐角三角形,外接圆圆心为D,半径为R,AO交△BOC所在的圆于另一点A’,BO交△COA所在的圆于另一点B’,CO交△AOB所在的圆于另一点C’.证明: 相似文献
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一道IMO预选题的探索 总被引:2,自引:2,他引:2
第37届IMO预选题的第16题[1]为:设△ABC是锐角三角形,外接圆圆心为O,半径为R,AO交△BOC所在的圆于另一点A′,BO交△COA所在的圆于另一点B′,CO交△AOB所在的圆于另一点C′.证明:OA′·OB′·OC′≥8R3.①并指出在什么情况下等号成立?由于不等式①即OA′·OB′·OC′≥8OA·OB· 相似文献
14.
题目:在△ABC中,∠A=90°,∠B<∠C。过点A作△ABC的外接⊙O的切线,交直线BC于D,设点A关于BC的对称点为E,作AX⊥BE于X,Y为AX的中点,BY与⊙O交于Z。证明:BD为△ADZ的外接圆的切线。 证明:如图1,连AE交BC于F,连FY、FZ、EZ、ED。 ∵点A与点E关于BC对称, ∴AF=EF且AF⊥BD。 相似文献
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2001年爱尔兰数学奥林匹克2试第10题如下: 求(并予以证明)所有的函数f:N*→N*,使得对任意正整数x、y,均有f(x f(y))=f(x) y. 相似文献
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题目 已知A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB上的点,△AB1C1、△BC1A1、△CA1B1的外接圆与△ABC的外接圆分别交于点A2、B2、C2(A2≠A,B2≠B,C2≠C),A3、B3、C3分别是A1、B1、C1关于边BC、CA、AB的中点的对称点.证明: 相似文献
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第46届IMO预选题几何部分的第7题为:
在锐角△ABC中,点A、B、C在边BC、CA、AB上的投影分别为D、E、F,点A、B、C在边EF、FD、DE上的投影分别为P、Q、R.记△ABC、△PQR、△DEF的周长分别为P1、P2、P3.证明:[第一段] 相似文献