一道焦半径拓展题的探究

<正>一、问题的提出如图1,在椭圆x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)中,F_1、F_2分别是左、右焦点,点P是椭圆上任一点,对于焦点△PF_1F_2中的两条焦半径PF_1,PF_2,现有的研究已比较深入,我考虑延长PF_1交椭圆于点Q,延长PF_2交椭圆于点M,把两条焦半径的问题拓展为四条焦半径PF_1,PF_2,QF_1,MF_2的问题.由于点P是动点,所以     

巧解一道解几试题

91年全国高考湖南、海南、云南三省的数学试题第29题是: 已知双曲线C的实半轴长与虚半轴长的乘积为3~(1/2),C的两个焦点为F_1,F_2,直线l过F_2且与直线F_1F_2的夹角为φ,tgφ=(21)~(1/2),l与线段F_1F_2的垂直平分线的交点是P,线段PF_2与双曲线C的交点为Q,且|PQ|:|QF_2|=2:1。     

椭圆切线的一个性质及其应用

命题:过椭圆焦点作椭圆任一切线的垂线,垂足在椭圆的大辅助圆上。证明:设P为椭圆上任意一点,过焦点F_1作过P点的切线l的垂线,垂足为C_1。又设焦点F_2与P的连线的延长线交F_1G_1于F_1’,连P、F_1,由椭圆切法线性质知∠1=∠2, ∴ F_1、F_1′关于切线l对称,G_1为F_1F_1′的中点。又连O、G_1, ∵ O为F_1F_2中点, ∴ OG_1=1/2 F_1′F_2=1/2(PF_1+PF_2)=a。∴ G_1在以O为圆心、a为半径的圆     

浅谈椭圆方程及其题型求解

<正>一、利用椭圆的定义解题例1已知椭圆方程(x~2)/~(a~2)+(y~2)/~(b~2)=1(a>b>0),焦点为F_1,F_2,P是椭圆上一点,∠F_1PF_2=α。求:△F_1、PF_2的面积(用a、b、α表示)。解:如图1,设P的坐标为(x,y),根据椭圆的对称性,不妨设P在第一象限。由三角形的余弦定理可知:|F_1F_2|~2=|PF_1|~2+|PF_2|~2-2|PF_1|·|PF_2|cosα=4c~2。①     

椭圆弦焦角的几个结论及应用

设 F_1、F_2 是椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1(a>b>0)的焦点,过 F_1、F_2的弦交椭圆于 P 点,称∠F_1PF_2为椭圆的弦焦角,如图。设∠F_1PF_2=2θ,则有下列结论.结论1|PF_1||PF_2|cos~2θ=b~2.证明:在△F_1PF_2中,由余弦定理|PF_1|~2 |PF_2|~2-     

２００１年上海高考数学试题（１８）题拓广

2001年上海高考数学试题(18)题:设F_1,F_2为椭圆9/x~2 4/y~2=1的两个焦点,P,F_1,F2是一个直角三角形的三个顶点,且|PF_1|>|PF_2|,求|PF_2|/|PF_1|的     

数学奥林匹克高中训练题（48）

2.已知F_1、F_2为椭圆E的左、右焦点,抛物线C的F_1为顶点,F_2为焦点,设P为椭圆与抛物线的—个交点。如果椭圆E的离心率e满足|PF_1|=e|PF_2|,则e的值是( )。     

椭圆的一个有趣性质与应用

本文介绍椭圆离心率的一个有趣性质,并举例说明它在解题中的应用。 定理 椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1(a>b>0)的离心率为e,焦点为F_1、F_2,P为椭圆上一点,且∠PF_1F_2=o,∠PF_2F_1=夕,则 1-e/1 e=tgO/2tg厘/2 证明 由正弦定理与等比定理知: |PF_1|/sin丛=|PF_2|/sin竺=|F_1F_2|sin(止 二) |PF_1| |PF_2|/SinO Sin夕     

椭圆的焦点三角形

<正>由椭圆的两个焦点F_1,F_2和椭圆上任意一点P构成的三角形称为焦点三角形。由椭圆的定义,得椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和为定值,即|PF_1|+|PF_2|=2a,所以焦点三角形△PF_1F_2的周长为定值2a+2c。解答与焦点三角形相关的问题(如求△PF_1F_2的面积等)时,     

焦点三角形 高考常青树

椭圆、双曲线上任一点与两个焦点F_1、F_2所成的三角形,常称之为焦点三角形。解焦点三角形问题经常借助于正余弦定理,并结合三角形边角关系的有关定理加以解题。解题中,经常需要通过变形,结合椭圆、双曲线的有关定义,使之出现|PF_1|+|PF_2|=2a或|PF_1|-|PF_2|=±2a,再结合有关条件,进行解题。     

圆锥曲线的特征三角形

本文研究圆锥曲线的切线与其特征三角形的关系.1.椭圆的特征三角形如图1,点M在椭圆上,F_1、F_2是椭圆的两个焦点,延长F_1M到N,使MN=MF_2,由此得到一个等腰△MNF_2(点M与长轴上的顶点重合时除外),我们称这个三角形为椭圆的一个特征三角形.     

错在哪里

解析几何中的一个常见题“P是椭圆(x~2)/(a~2) (y~2)/(b~2)=1上一点,F_1、F_2是焦点,若∠F_1PF_2=α,求△PF_1F_2的面积”。下面给出二种解法. 解法一:S_△=1/2|PF_1|·|PF_2|sinα,|F_1F_2|~2=|PF_1|~2 |PF_2|~2-2|FF_1||PF_2|cosα=(|PF_1| |PF_2|)~2-2|PF_1|·|PF_2|-2|PF_1|·|PF_2|cosα=4a~2-2|PF_1|·|PF_2|(1 cosα)=4c~2, ∴|PF_1|·|PF_2|=(4a~2-4c~2)/(2(1 cosα))=(2b~2)/(1 cosα)。     

对一类特殊的椭圆焦点三角形的研究

<正>引例已知F_1,F_2分别为椭圆(x²)/6+(y2)/6+(y²)/2=1的左,右焦点,在椭圆上是否存在一点P,使|OP|=|OF_1|?若存在,求点P的坐标,并求∠OF_(1)P的大小;若不存在,说明理由.设点P为椭圆(x2)/2=1的左,右焦点,在椭圆上是否存在一点P,使|OP|=|OF_1|?若存在,求点P的坐标,并求∠OF_(1)P的大小;若不存在,说明理由.设点P为椭圆(x²)/(a2)/(a²)+(y2)+(y²)/(b2)/(b²)=1(a>b>0)上(除长轴的两个端点外)任意一点,F_1,F_2为椭圆的两焦点,称△F_(1)PF_2为椭圆的焦点三角形.特别地,若∠F_(1)PF_2为直角时,不妨称     

关于椭圆、双曲线的张角问题

1993年全国高考上海试卷第26题的(1)、(2)两小题为:如图,P为椭圆x~2/a~2 y~2=1上的一个动点,它与长轴端点不重合,a≥2~(1/2),点F_1和F_2分别是双曲线x~2/a~2-y~2=1的左焦点和右焦点,φ=∠F_1PF_2.     

椭圆离心角的一个性质及其应用

椭圆中的参数ψ叫做椭圆的离心角。它具有如下重要命题。 命题 P是椭圆(a>b>0)上的一点,c为椭圆的半焦距,F_1、F_2是两个焦点,若∠F_1PF_2=2θ,则|sinψ|=(b/c)tgθ。     

与圆锥曲线有关的圆(弧)轨迹的探究

笔者在研究了最近几年的高考试题后发现,圆锥曲线中一类轨迹问题的模型有着广泛的教学意义．本文以高考试题为引子,借助于几何画板软件,对此类问题作了探究．引例1(2002年高考题)已知椭圆的焦点是F_1、F_2,P是椭圆上的一个动点,如果延长F_1P到Q,使得|PQ|=|PF2_|,则动点Q的轨迹是………………………………………( )     

一道竞赛题的引申

2008年全同高中数学联合竞赛,湖北预赛试题第11题：设P为椭圆x^2/4＋y^2/3=1上的一个动点,过点P作椭圆的切线与⊙O：x^2＋y^2=12相交于M,N两点,⊙O在M．N两点处的切线相交于点Q,求点Q的轨迹方程．     

问疑答难

问题1.已知双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F_1、F_2,P为双曲线右支上任意一点,当(|PF_1|~2)/(|PF_2|)取得最小值时,求该双曲线离心率e的最大值.解:由点P在双曲线右支上,     

椭圆切线的初等作法

关于圆锥曲线的作法,已有众多的文章论述,本文试再向广大读者介绍一种不置椭圆于平面直角坐标中,不依赖于椭圆的对称中心与对称轴,过椭圆外一点作椭圆切线的初等作法。作图:过已知椭圆外一点P作椭圆的切线。作法:过P点作两条射线PAB、PA′B′分别交椭圆于A、B、A′、B′,分别在弦AB、A′B′上作出点T、T′,使PA:PB=AT:TB,PA′:PB′=A′T′:T′B′(*)。过点T、T′作弦QR交椭圆于Q,R,连结PQ,PR,那么PQ、PR就是所求作的切线。     

必须比较 决定舍取

《中学数学教学》“1984年第二期问题解答”栏中有这样一题:“在椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1上求一点 P,使到直线 l:mx+ny=t 的距离最小,并求这个最小值。”原解答首先用综合法,根据过椭圆上一点 P 的切线是△F_1PF_2的过 P 点的外角平分线这一几何性质定出 P 点,然后用代数法,解出 P 点的坐标:(?),从而得出 P 点到直线 l 的距离是:RS=|(m~2a~2+n~2b~2)~(1/2)-t|/(m~2+n~2)~(1/2)。我们认为,这是欠妥的。首先从几何观点来看,从 F′引直线 l的垂线与⊙O 应有两个交点 R 和 R′,因此椭