内积空间中Gram矩阵的半正定性

首先将Euclid空间与酉空间中基的Gram矩阵概念作了推广,得到内积空间中向量组的Gram矩阵,讨论了Gram矩阵的半正定性,最后给出内积空间中关于Gram行列式的不等式.     

内积空间中Gram矩阵的半正定性

首先将Euclid空间与酉空间中基的Gram矩阵概念作了推广，得到内积空间中向量组的Gram矩阵，讨论了Gram矩阵的半正定性，最后给出内积空间中关于Gram行列式的不等式。     

求极大线性无关组的一点体会

设α_1,α_2,…,α_s为一组n维向量,α_i=(a_(i1),a_(i2),…,a_(in))。将矩阵(a_(ij))_(axn)化成阶梯形,如果将运算过程写在矩阵的右边,则由非零向量的个数可决定向量组的秩r,从零向量的个数可得s-r个等式,利用这s-r个等式,则容易解决下面的问题:(1)求向量组的极大线性无关组,其余向量用此极大线性无关组表出。(2)从已知线性无关组出发,扩充为向量组的极大线性无关组。今分述如下:     

活用向量内积巧解竞赛问题

空间向量是高中数学九(B)教材中的新增内容,向量的内积是这部分内容的重点.利用空间向量的内积可顺利地处理立几中的"角"的问题,、"垂直"问题,"距离"问题等,这些在文[1]中已作了较为详细的介绍.事实上,空间向量的内积有着非常广泛的应用空间,在求解一些代数问题时,若有目的、有意识地运用它,则同样能收到较满意的解题效果.     

内积空间的教学应向学生强调定理成立的大前提条件——两个字面叙述相同让人困惑的充要条件的启示

内积空间是大学线性代数或高等代数课程教学的重要内容,分为实内积空间和复内积空间两部分内容。在实内积空间的教学中我们引入了特殊矩阵正交矩阵,而在复内积空间的教学中我们对应于正交矩阵引入了特殊矩阵酉矩阵。本文对内积空间的教学中正交矩阵和酉矩阵的两个字面叙述相同容易引起学生困惑的充要条件即"矩阵的列向量组是一个单位正交向量组"进行仔细分析,指出了它们之间虽然字面叙述一样但却隐藏着本质性的不同之处,这一不同之处就是这两个充要条件各自成立的大前提条件的不同,而引起学生困惑的根源就在于我们为了这两个充要条件记忆和叙述方便省略了它们各自成立的大前提条件。于是我们得出结论,教师在内积空间的教学中,应该主动向学生强调定理成立的大前提条件,以免学生在学习中产生疑惑。     

关于《空间两个向量的内积》的说课

1 教材分析 1.1 教材的地位和作用 <两个向量的内积>是教育部<中学数学实验教材>(北京师范大学出版社)高中教科书(试验本*必修)数学第二册(下)的第九章<立体几何>的第3.4节. 本节教材首先引入空间向量内积的概念和计算方法,然后探索了向量内积的性质和运算律,并举例说明如何应用向量内积解决立体几何问题,教材内容分两课时完成.     

一个活跃在高考中的恒等式

极化恒等式是泛函分析中揭示内积和范数关系的一个重要恒等式,有实内积空间与复内积空间两种表现形式.极化恒等式能有效地将内积运算问题转化为范数运算问题,从而使内积问题得以简单、直观地解决.在高中数学的平面向量中.     

向量的内积与二面角的计算

利用向量的内积证明关于二面角的公式cosθ=cosαcosβ+sinαsinβcosφ,进而利用该公式给出二面角的一个简便求法.     

欧氏空间中向量内积在证明不等式中的应用

本应用欧氏空间中向量内积的性质解决了一些不等式的证明问题。     

关于《空间两个向量的内积》的说课

1教材分析1.1教材的地位和作用《两个向量的内积》是教育部《中学数学实验教材》(北京师范大学出版社)高中教科书(试验本·必修)数学第二册(下)的第九章《立体几何》的第3.4节.本节教材首先引入空间向量内积的概念和计算方法,然后探索了向量内积的性质和运算律,并举例说明如何应用向量内积解决立体几何问题,教材内容分两课时完成.向量是高中数学实验教材的新增内容,由于向量具有几何与代数形式的“双重身份”,使它成为中学数学知识的一个交汇点,成为联系多项内容的媒介,特别是在处理度量、角度、平行、垂直等问题时,向量工具有其独到之处.空…     

梅涅劳斯定理在n维空间中的一个推广

梅涅劳斯定理:直线L与△ABC的三边AB,BC,CA分别交于X,Y,Z三点,当且仅当λ_1λ_2λ_3=-1。其中λ_1=(AX)/(XB),λ_2=(BY)/(YC),λ_3=(CZ)/(ZA)。下面试将该定理推广到n维空间。 设V是实数域R上的一个n维向量空间R~n,对于V中任一对向量ξ=(X_(11),X_(12),…,X_(1n)),η=(X_(21),X_(22),…,X_(2n))。记d(ξ,η)=~(1/2)(sum from i=1 to n(X_(2i)-X_(1i))~2),定义内积     

浅议欧氏空间的基

基在n维向量空间的讨论中起着重要的作用。n维欧氏空间作为实数域R上的向量空间,基的作用尤为广泛、具体。从内积、正交变换、对称变换诸方面探讨了基的重要性。     

局部凸空间上的收缩半群和耗散算子

本文是由Lumer的半内积(见文献〔1〕)的思想,定义了拟内积,使局部凸空间成为一个拟内积空间,从而定义出局部凸空间上的收缩半群和耗散算子。在这基础之上得到文献〔2〕中Phillips—Lumer定理的推广形式。一、拟内积定义1设X是复(或实)向量空间,对于X×X中任一元{x、y},对应一个复(或实)数〔x,y〕使满足     

Gram行列式的某些性质及其应用

一、Cram行列式及其几何解析 大家知道,N维欧氏空间,其中任两个元素都为N维向量,表示为 表示两个向量内积。如果     

欧氏空间中的Gram矩阵及其应用

定义:设V是n维欧氏空间,α1,…,αn是V中的向量组,β1,…,βn也是V中的向量组,我们规定:     

法向量在空间问题中的应用

如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面α,则称这个向量垂直于平面α,记作n⊥α:那么向量n叫做平面α的法向量.在解决空间问题时若能结合法向量的有关知识,灵活运用法向量解题,则可避免繁杂的空间想象,通过建立空间直角     

矩阵空间欧氏化的若干度量性质

数域F上n阶矩阵全体Mn(F)是数域F上的一个向量空间,对于一个抽象的空间,经过度量化,欧氏化后将引出与之相关的若干有用的性质。本文引入与n阶矩阵的迹有关的三种内积,得到在每一内积下,Mn(F)的空间形式和有关性质。     

行列式几何化的教学研究

基于向量内积与外积的几何意义,将行列式用向量的这2种运算形式表示,揭示空间中由向量构成的平行四边形的面积或平行多面体的体积与行列式之值的关系,将行列式几何化,丰富直观教学内容,探索行列式教学的新途径。     

线性方程组理论的一个应用

设V是数域F上的向量空间,{α1,α2,…,αr}与{β1,β2,…,βs）是V的任意两组向量．本文利用线性方程组的理论,给出了计算子空间L（α1,α2,…,αr}∩（β1,β2,…,βs）的基的一般方法．     

向量组扩充为基的一法

已知线性空间V的一线性无关组α_1,…,α_m,将它扩充为V的基α_1,…,α_m,一般要先求出β:β不能被α_1,…,α_m线性表出。但也可如次解决:设α_i=(a_(i1),…,a_(in))(i=1,2,…,n),先将矩陈(a_(ij))_(mxn)化成阶梯形,添加一些元素使之成(a_(ij))_(nxn),只要|a_(ij)|≠0,则(a_(ij))_(nxn)的后n—m行即为所添向量。例如,设α_1=(1,4,3,5,7)α_2=(1,3,4,2,3)α_3=(3,5,2,4,1),化成阶梯形后,(a_(ij))_(x)的