一个递推数列中的素数

设{an}^∞ n=1是满足递推关系a1=1，an＋1=a^2n＋4an＋2（n≥1）的数列，本文证明了：当n是偶数时，an仅当n=2时是素数。     

一道国外高考题的教育功能

1990年日本全国大学考试千叶大学一道试题： 已知数列{an}中,a1=2,3（a1＋a2＋…＋an）=（n＋2）an,n∈N,试求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn.     

an=Sn-Sn-1（n∈Z,n≥2）与待定系数法裂项求和

根据数列{an}的前n项和Sn与an的关系an=Sn-Sn-1（n∈Z,n≥2）可知,凡是存在通项公式Sn=f（n）的递推公式Sn=a1＋a2＋…＋an-1＋an,     

经典均值不等式的再改进

设a1,a2,…,an∈R＋,n≥2,则n/1/a1＋1/a2＋…＋1/an≤n√a1·a2…an,其中等号成立的充要条件为a1=a2=…an.     

一道高考压轴题的别解、变式及推广

题目 在数列{an}中,a1=1,an＋1=can＋c （n＋1） （2n＋1）（n∈N＊）,其中实数c≠0,求数列{an}的通项公式．     

常见递推数列通项公式的求解策略

一、递推式为an＋1=pan＋q（p,q为常数）型 【例1】已知数列{an}中,a1=1,对于n〉1（n∈N^＊）有an=3an-1＋2,求an     

一道数学竞赛题的探究

题目 已知数列{an}满足：a1=2,an=2（an-1＋n）（n=2,3,…）.求数列{an}的通项公式.（2013年全国高中数学联赛（B卷）试题）本文从一题多解,一题多变两个角度对本题目进行探究,希望对同仁有所帮助.一、一题多解解法1：a1 =2,a2 =2（a1＋2）=8,当n≥3时,我们有an-2an-1=2n,an-1-2an-2=2（n-1）,两式相减,得an-3an-1＋2an-2=2,即an-an-1＋2=2（an-1-an-2＋2）,令bn=an-an-1＋2（n≥2）,则数列{bn}（n≥2）是公比为2的等比数列,且b2=a2-a1 ＋2=8,于是bn=b2×2n-2=2n＋1,即an-an-1＋2=2n＋1,于是,an-1-an-2＋2=2n,…,a2-a1＋2 =23,将上面n-1个等式相加,得an-a1＋2（n-1）=23 ＋24＋…＋2n＋1=2n＋2—8,∴.an=2n＋2—2（n＋2）,注意到当n=1,2时,公式仍适用,所以这就是所求的通项公式.     

放出容易收回难克服定势寻它法

例1 （2009年全国高考陕西卷文21变式）已知数列{an}的前n项和为Sn,满足a1=1,a2=2,Sn＋2=Sn＋3an＋1＋an/2,n∈N^＊.     

细节之大——函数观点求递推数列通项一例

例题：在数列{an}中,a1=1,an=a1＋2a2＋2a3＋…＋（n-1）％。（n≥2）,则通项公式an=＿＿＿．     

探究多米诺骨牌效应的背后

已知函数f（x）=x^2＋ax＋b的零点与函数g（x）=2x^2＋4x-30的零点相同.数列{an},{bn}定义为：a1=1/2,2an＋1=f（an）＋15,bn=1/2＋an（n∈N°）.（1）求实数a,b的值;（2）若将数列{bn}的前n项和与前n项积分别记为Sn,Tn证明：对任意正整数n,2^n＋1Tn＋Sn为定值;     

常见递推数列求通项公式的七种方法

类型一：已知a1=a1an＋1-an=f（n）（n∈N＊）型,可用累加法求an an=a1＋（a2-a1）＋（a3-a2）＋…＋（an-an-1） =a1＋f（1）＋f（2）＋…f（n-1）.     

用三角函数表示周期性数列的通项

题目 写出数列{an）：4，1，0，4，1，0，…的通项公式． 分析与解 因为在数列{an}中，有an=an＋3，令f（n）=an（n∈N^＊），则f（n）=f（n＋3），也就是说函数厂（n）是一个周期为3的函数．这样我们容易想到利用正弦（或余弦）函数来构造f（n），故令f（n）=b0＋b1cos2nπ/3＋b2sin2nπ/3（其中f（1）=a1=4,f（2）=a2=1,f（3））=a3=0,b0,b1,b2为待定系数）。[第一段]     

高考江苏卷第21题充分性的别证及推广

题目 设数列{an}，{bn}，{cn}满足：bn=an-an＋2，cn=an＋2an＋1＋3an＋2（n=1，2，3，…），证明{an}为等差数列的充分必要条件是{cn}为等差数列且bn≤bn＋1（n=1，2，3，…）。     

赏析如出一辙的三道高考数列题

试题1（2007年山东高考题）设数列{an}满足a1＋3a2＋3^2a3＋…＋3^n-1an=n/3,n∈N^＊． （1）求数列{an}的通项; （2）设bn=n/an,求数列{bn}的前n项和Sn．     

等差数列前n项和的构造求法及其应用

教材（全日制普通高级中学教科书（必修）《数学》第一册上,人民教育出版社）中利用等差数列的性质a1＋an=a2＋an-1=…=an＋a1,通过“倒序相加”的方法推导等差数列的前n项和公式Sn=n（a1＋an）/2.本文现给出等差数列前n项和的一个构造性求法,及构造法在数列求和中的一些应用。     

高考福建理科第22题的别解及推广

题目 已知数列{an）满足an=1，an＋1=2an＋1，n∈N^＋。     

2007年全国高考数学压轴题的一个拓广

2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题第22题： 例1 已知数列{an}中a1=2,an＋1=（√2-1）（an＋2）,n=1,2,3,…．     

殊途同归——等差数列一个典型性质的证明

定理 设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=m,Sm=n（m≠n）,则Sm＋n=（m＋n）． 预备定理：（1）在等差数列{an}中,若m＋n=p＋q←→am＋an=ap＋aq;     

用特征方程法求数列通项

特征方程法是指：在数列{an}中,给出a1,a2,且an＋2=pan＋1＋qan．其特征方程x2=z＋q的两根为x1与x2．若x1≠x2,则an=A1x1^n＋A2x2^n,若x1=x2,则an=（A1n＋A2）x1^n,其中A1、A2由初始值a1、a2求出．     

竞赛常用知识手册

4数列 4．1 一般数列 设Sn=a1＋a2＋…＋an.则an={S1，n=1/Sn-Sn-1，n≥2.[第一段]