三角形中关于|∏((b-c)/a)|的一个不等式

定理设△ABC三边长为BC=a,CA=b,AB=c,外接圆半径为R,内切圆半径为r,记Qb ca=∏?,则232151(4)22Qr r r r≤+R?R?R+R,(1)当且仅当b ca?,c ab?,a bc?中,有两个相等时(1)式取等号.证明记y1=∏b a?c+b a?c,2yb c c aa b=∏?+?,y3=∏b a?c+a?cb,则经计算有y1+y2+y3=0,y2y3+y3y1+y1y2=?(1?2R r+13Q2),312322(1)273y y y Q rQ=?+R.由此可知,y1,y2,y3是方程3(1212)232(1)3273y r Q y Q rQ??R+?++R=0,①的三个实根.根据三次方程有三个实根的充要条件可以得到1[232(1)]24273Q rQ?++R1[(121)]30273r Q+??R+≤,②即242324Q(840r4r)Q4(12r)0…     

1998年上海市初中数学竞赛(鹏欣杯)

第一试 1.已知b、c为方程x~2 bx c=0的两个根,且c≠0.则(b,c)=____。 2.实数x、y、z满足 x=6-3y, x 3y-2xy 2z~2=0.     

三个不等式之间隐含的关系

观察下面三个问题 :( 1 )设a、b、c为△ABC的三边 .求证 :a2 b(a -b) +b2 c(b -c) +c2 a(c-a)≥ 0 .①(第 2 4届IMO)( 2 )若x、y、z∈R+,则x·x +yx +z+y·y +zy +x+z·z+xz+y≥x +y +z.②( 1 992 ,国际“友谊杯”数学邀请赛 )( 3)设x、y、z∈R+,求证 :x2 ·y +zy +x+y2 ·z+xz+y+z2 ·x +yx +z≥xy +yz+zx .③这三个不等式均不难证明 ,此处从略 .今将揭示他们之间隐含的内在联系 .1 .建立对应关系 ,揭示①可转化为②众所周知 ,对于任意△ABC的三边a、b、c,总可找到这样的正数x、y、z,使得a =y +z,b =z+x ,c =x +y .于是 ,式①化为(y+z…     

((a-b c)/a)~(1/2) ((b-c a)/b)~(1/2) ((c-a b)/c)~(1/2)的一个下界

安振平先生在《中学数学月刊》2 0 0 3年第 7期《一个三角形中的不等式》一文中给出了不等式 :命题 1　在△ ABC中 ,三边长 a,b,c,则a - b ca b- c ab c - a bc ≤ 3. ( 1 )现在给出 ( 1 )左式的下界 :命题 2　在△ ABC中 ,三边长为 a,b,c,则 a - b ca b- c ab c - a bc >2 . ( 2 )证明　设2 x =a - b c,2 y =b- c a,2 z =c- a b则a =x y,b =y z,c=z x,且 x,y,z >0 .∴ a - b ca b - c ab c - a bc=2 xx y 2 yy z 2 zz x= 2 ( xx y yy z zz x)>2 ( xx y yy z zz x)>2 ( xx y z yy z x zz x y) =2 .这个…     

九年级第一学期期末代数质量检测题

一、选择题 (每小题 3分 ,共 30分 )1.在直角坐标系中 ,设P(x ,y)在第二象限 ,且|x| =2 ,|y| =3.则点P关于原点的对称点的坐标是 (　　 ) .(A) ( - 2 ,3)　　　　　 (B) ( - 3,2 )(C) ( 3,- 2 ) (D) ( 2 ,- 3)2 .已知菱形的面积为 8,两条对角线分别为 2x、2y .则y与x的函数关系式为 (　　 ) .(A)y =4x 　 (B)y =8x(C)y =1x 　 (D)y =x23.a、b、c均为正数 ,且 ab +c=bc+a=ca +b=k .则下列 4个点中 ,在正比例函数y =kx图像上的是(　　 ) .(A) 1,12 (B) ( 1,2 )(C) 1,- 12 (D) ( 1,- 1)4 .二次函数y =ax2 +bx +c的图像如图 1.则点图 1ac …     

化归思想在高中数学解题过程中的运用

<正>一、化归思想在函数中的运用例1已知函数y=x³-3x+c的图像与x轴相交有两个公共点,求c值。证明:因为y=x3-3x+c的图像与x轴相交有两个公共点,求c值。证明:因为y=x³-3x+c,所以y′=3x3-3x+c,所以y′=3x²-3=3(x+1)(x-1)。所以当x=±1时,函数存在极值。由于y_(x=1)=0或者是y_(x=-1)=0,就可以得出c-2=0或c+2=0,即c=±2。二、化归思想在不等式中的运用不等式是高中数学中较为重要的内容,这种解题方法通常会与函数方程进行进行紧     

30分钟智力冲浪

1 .若x是正整数 ,且 y =x4+ 2x3 + 2x2 + 2x + 1 ,则 (　　 ) .(A) y一定是完全平方数(B)存在有限个x ,使 y是完全平方数(C) y一定不是完全平方数(D)存在无限多个x ,使 y是完全平方数2 .当x -3 y+ 4z=1 ,2x+ y-2z =2时 ,化简x2 -2xy-3 y2 + 2xz+ 1 0 yz-8z2 的结果是 (　　 ) .(A) 1　　　　 (B) 0　　　　 (C) 2 -x　　　　 (D)x -23 .若a ,c ,d是整数 ,b是正整数 ,且满足a +b =c,b +c=d ,c +d =a,则a +b +c+d的最大值是 (　　 ) .(A) 0　　　　 (B) 1　　　　 (C) -1　　　　 (D) -54.若a2 + 2a + 5是a4+ma2 +n的一个因式 ,则mn的值…     

圆锥曲线的渐屈线和曲率圆

曲线C在点P(x0,y0)曲率圆是与该曲线C相切于点P(x0,y0)(凹侧)的最大圆,曲率圆的圆心D的轨迹曲线G称为曲线G的渐屈线.抛物线y2=2px(p>0)、椭圆x2/a2+y2/b2=1和双曲线x2/a2-y2/b2=1的渐屈线方程分别为y2=8/27P(x-p)3、x3/(c2/a2/3=1和x3/(c2/a2/3-y3/(c2/b)2/3=1.抛物线、椭圆和双曲线的最小曲率圆都是它们的内切圆,其方程分别为(x-P)2+y2=p2、(x±c2/a)2+y2=b4、(x±c2/a)2+y2=b4/a2.     

灵活消元 巧妙求值

解方程组的基本思想是消元。事实上 ,这种消元的思想还可应用于多元求值中。下面举例介绍多元求值的几种消元途径。一、代入消元例 1　若 x- y- 2 =0 ,2 y2 -y- 4 =0 ,则 xy- y的值是 (　　 )(A) 12 ;　　 (B) 2 ;(C) 12 ,2 ;　 (D) 12 ,2或 - 12 。解 :由 x- y- 2 =0 ,2 y2 - y- 4 =0 ,得x=y 2 ,2 y2 =y 4。原式 =2 x- 2 y22 y=2 (y 2 ) - (y 4)2 y=12 。二、加减消元例 2　已知 3a b 2 c=3,a 3b 2 c=1 ,求 2 a c的值。解 :已知两等式联立为3a b 2 c=3,a 3b 2 c=1。∴ 3(3a b 2 c) - (a 3b 2 c) =8,即 8a 4c=8,∴ 2 a c=2。三、比值消元…     

函数及其图象考点分析及复习研究(续)

(接上期)考点7二次函数的概念、图象及其性质[知识要点]1.函数y=(a,b,c是常数,a≠0)叫做二次函数.当a≠0,b=c=0时,则y=;当a≠0,b=0,c≠0时,则y=;当仅有c=0时,则y=.这些函数都叫做.把二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)通过配方写成y=a()2+,由此可知对称轴是,顶点坐标是(,).2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条;当a>0时,开口向,当x=时,函数有值;当a<0时,开口向,当x=时,函数有值.3.对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),a确定图象的,c确定图象与y轴的交点坐标是,Δ=b2-4ac确定图象与轴是否相交,当Δ>0时,抛物线与x轴有两个不同交点,当Δ=0时,抛物线与x轴只…     

从一道选择题浅谈反证法的应用

2013年高三质检福建理科卷第10题为:设数集S={a,b,c,d)满足下列两个条件:(1)(?),y∈S,xy∈S;(2)(?),y,z∈S,若x≠y,则xz≠yz.现给出如下论断:①a,b,c,d中必有一个为0;②a,b,c,d中必有一个为1;③若x∈S且xy=1,则y∈S;④存在互不相等的x,y,z∈S,使得x~2=y,y~2=z.其中正确论断的个数是A.1 B.2 C.3 D.4初看此题时,笔者有种似曾相识的感觉,翻阅资料后,发现此题是根据2010年高考福建卷理数学     

利用三角形三边的一种重要代换

在三角形中,三边之间有这样的一种重要代换关系:a,b,c是三角形三边长的充要条件是存在正数x,y,z,使得a=y z,b= z x,c=x y.     

2006年第3期问题

13.在□内填数,使得四位数□□25恰有两个数字相同,有几种填法?(木子提供)14.设an表示42n 323n的个位数字,试求a1 a2 a3 … a2006的值.(湖北黄梅县第一中学435500王卫华提供)15.已知a,b,c,d均为正数,且满足abcd=1,若不等式1(1 λa)2 (1 1λb)2 (1 1λc)2 (1 1λd)2≥1恒成立,试求正数λ的取值范围.(安徽省芜湖市城南实验中学241002杨晋提供)16.已知实数a,b满足:a b=1,a2 b2=2.证明:a4 b4-2(a b) (a2 b2)=(a b) (aa5 2 bb5-2)2 (a3 b3).(尹孜提供)17.已知x,y为满足x y=1的正数,求证:xx y3 x3y y≥5(x24 y2)≥35x2 xy3 x3 yy2),.(江西南昌大学…     

略谈一个不等式的应用

设 x,y为正实数 ,则由均值不等式得(x y) 3=(12 x 12 x y) 3≥ (3·314x2 y) 3=2 74x2 y.∴ (x y) 3 ≥ 2 74x2 y(* ) ,当且仅当 y=12 x时不等式取等号 .不等式 (* )形式简单 ,但在不等式证明中往往有独到的作用 ,下面举例说明之 .例 1　已知 a,b,c∈R .求证 :(a 1 ) 3b (b 1 ) 3c (c 1 ) 3a ≥ 814.(《中等数学》2 0 0 0年第 4期数学奥林匹克问题 91 )证明　由 (* )式得(a 1 ) 3≥ 2 74a,(b 1 ) 3≥ 2 74b,(c 1 ) 3≥ 2 74c,∴ (a 1 ) 3b (b 1 ) 3c (c 1 ) 3a ≥ 2 74(ab bc ca)≥ 2 74· 3·3ab· bc· ca=814.例 2　已知实数 a>1 ,b…     

与反函数有关的图象平移(高一)

本文从定理入手,探讨与反函数有关的图象平移问题,与大家共同学习. 1.定理若函数y=f(x)的反函数为y=g(x),则函数y=f(x c)(c∈R)与y=g(x)-C的图象关于直线y=z对称. 证明设P(a,b)是函数y=f(x c)上任意一点,则b=f(a c) ①而点P(a,b)关于直线y=x的对称点为Q(b,a).因为函数y=f(x)的反函数为y=g(x),由①,得 a c=g(b),a=g(b)-C,所以点Q(b,a)在函数y=g(x)-c的图象上.     

一元二次方程根的妙用

若x1、x2是方程ax2+bx+c=O(a≠O)的两根,则ax_(1)~2+bx1+c=0和ax_(2)~2+bx2+c=0.方程与方程根的这一关系在解题中有着广泛的应用. 例1(1994年河南省中考题)以x2-3x-1=0的两个根的平方为根的一元二次方程是( ). (A)y2-11y+1=0 (B)y2+y-11=0     

一道中考题的数形结合分析

1 案例的呈现2005年天津市中考有一道代数综合题:例已知二次函数 y=ax~2+bx+c.(1)若 a=2,c=-3.且二次函数的图象经过点(-1,-2),求 b 的值;(2)若 a=2,6+c=-2,b>c,且二次函数的图象经过点(p,-2),求证:b≥0;(3)若 a+b+c=0,a>b>c,且二次函数的图象经过点(q,-a),试问当自变量 x=q+4时,二次函数y=ax~2+bx+c 所对应的函数值 y 是否大于0.并证明你的结论.本题的核心内容在第(3)问(第(1)、(2)问只是其     

一类根式双连不等式的统一证法

我们不难列举或编拟出下列一批既有趣 ,又令人有点望而生畏的无理不等式 :2≥ a 12 b 12 >2 62 .(1)(其中 a,b∈R ,a b=1)4 2≥ 5 x 3 5 y 3>3 13. (2 )(其中 x,y∈ R ,x y=2 )2 1≥ 4a 1 4 b 1 4 c 1>2 5 . (3)(其中 a,b,c∈ R ,a b c=1)4 2≥ 4a 1 4 b 1 4 c 1 4 d 1>3 5 . (4 )(其中 a,b,c,d∈R ,a b c d=1)33≥ 3a 1 3b 1 3c 1>2 7. (5 )(其中 a,b,c∈ R ,a b c=2 )4 3≥ tan A2 tan B2 5 tan B2 tan C2 5 tan C2 tan A2 5 >6 2 5 . (6 )(其中 A,B,C为△ ABC的三个内角 )6≥ 3 3a 7 3 3b 7 3 3c 7>2 3 7 3 10 . (7)(其…     

北师大版八年级(下) 第4章相似图形

一、选择题(每题3分,共24分)1.若 x/y=2/3,则下列式子成立的是( ).A.y/(x+y)=5/30 B.(x+y)/x=5/2C.(x+y)/(x-y)=5 D.(x+2)/(y+3)=4/52.若 a:b=3:5,且 b 是 a、c 的比例中项,那么 b:c 的值是( ).A.3:2 B.5:3 C.3:5 D.2:33.下列命题正确的是( ).A.矩形都相似B.等腰直角三角形都相似     

谈谈记数学笔记

一、选择题(本大题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.到点A(-1,0)的距离与到直线x=3的距离相等的点的轨迹方程是( ) A.y2=8x+8 B.y2=-4x+4 C.x2=-8y+8 D.x2=-4x+4 2.已知直线ax+by+c≠0(abc≠0)与圆x2+y2=1相切,则三条边长分别为|a|,|b|,|c|的