关于Diophantine方程x^2=p^a＋p^2＋p^c

设p是奇素数，文章证明了：当p=3时，方程x^2=p^a p^2 p^c?BD鲇蟹歉赫?x，a，b,c)=(3^n，2n-1，2n-1，2n-1)，其中n是正整数；当p＞3且p≠7(mod8)时，该方程无非负整数解(x，a，b，c)．     

推广不等式成立的条件——再谈√（a^2＋b^2＋k1ab）＋√（b^2＋c^2＋k2bc）≥√（a^2＋c^2＋k3ac）

1背景概述1．1从一个特殊的新解法开始 文[1]在叙述“差异分析法”的应用与不足时，举了一个不等式的例子(见文[1]例5)：     

多项式（a1＋a2＋a3＋a…＋am）^n展开式项数之初探

(ａ+ｂ) ｎ二项展开式有 (ｎ+ 1)项 ,(ａ +ｂ+ｃ) ｎ三项展开式的项数可以按二项展开式办法求出 :[(ａ+ｂ) +ｃ]ｎ =Ｃ0 ｎ(ａ +ｂ) ｎｃ0 +Ｃ1ｎ(ａ +ｂ) ｎ- 1ｃ1+…+Ｃｒｎ(ａ +ｂ) ｎ-ｒｃｒ+… +Ｃｎｎ(ａ +ｂ) 0 ｃｎ,其展开式共有 (ｎ + 1) +ｎ + (ｎ - 1) +… + 2 + 1=(ｎ + 1) (ｎ+ 2 )2 项 .那么 (ａ1+ａ2 +ａ3 +… +ａｍ) ｎ展开式又有多少项呢 ?观察是思维的入口 ,是解题的第一能力 .从五光十色的交叉干扰信息中 ,能迅速找到自己需要的要点 ,这是观察能力中最基础、最珍贵的直觉思维能力 .观察上式结论 :(ｎ + 1) (ｎ+ 2 )2 =Ｃ…     

也谈求（a1＋a2＋…＋am）^n展开式中的项数

文[1]用观察、类比、归纳的数学思想求出了(a_1 a_2 … a_m)~n 展开式中的项数,本文用另一种数学思想——模型思想给出这一问题的简捷解法.先从文[1]的选择题谈起:(a b c)~(10)展开式中所有的项数是( )(A)11 (B)33 (C)55 (D)66     

不等式x1^2／y1＋x2^2／y2≥（x1＋x2）^2／y1＋y2的解题功能

这是 1990年一道脍炙人口的全国高考试题 :题　如果实数ｘ、ｙ满足等式 (ｘ- 2 ) 2 + ｙ2 =3,求ｕ=ｙｘ 的最大值 .此题是个多解题 ,考生往往借助三角知识 ,或求助于数形结合解之 .其实 ,下述代数方法也颇为有趣 .解　由题设ｙ=ｕｘ ,则3=(ｘ- 2 ) 2 +ｕ2 ｘ2 =ｕ2 (ｘ- 2 ) 2ｕ2 + ｕ2 (-ｘ) 21≥ [ｕ(ｘ - 2 ) +ｕ(-ｘ) ]2ｕ2 + 1=4ｕ2ｕ2 + 1,解 3≥ 4ｕ2ｕ2 + 1,得 3≥ｕ ≥ - 3,故 (ｙｘ) ｍａｘ =3.当然 ,还有意外收获 :尚知 (ｙｘ) ｍｉｎ =- 3.分析解题过程 ,该题恰恰巧用了如下定理 :定理　设ｘ1、ｘ2 ∈Ｒ ,ｙ1、ｙ2 ∈Ｒ+,则　 …     

胞浆Ca^2＋浓度的相对稳定性

静息状态时,胞浆Ca~(2 )浓度具稳定水平,而Ca~(2 )在细胞内的各种作用又有赖于胞浆Ca~(2 )浓度的改变.细胞活动时,细胞外液和细胞内Ca~(2 )库的Ca~(2 )进入胞浆,使胞浆Ca~(2 )浓度升高.Ca~(2 )与胞浆内的特异蛋白质结合,蛋白质发生构象变化而被激活,完成Ca~(2 )的调节机能.Ca~(2 )发挥作用后,立即返回细胞外液和细胞内Ca~(2 )库,使胞浆Ca~(2 )浓度回降.可见胞浆Ca~(2 )浓度的稳定是通过细胞外Ca~(2 )内流、细胞内Ca~(2 )释放和胞浆Ca~(2 )清除的动态平衡来调节和维持的.一、细胞外Ca~(2 )内流胞外Ca~(2 )内流主要通过细胞膜上的电压依赖性Ca~(2 )通道和受体操纵性Ca~(2 )通道.1.电压依赖性Ca~(2 )通道 这种通道的开     

Fe^2＋与Fe^3＋的鉴别18法

1观察法Fe2 盐溶液呈浅绿色,Fe3 盐溶液呈棕黄色.2SCN-盐溶液法Fe2 溶液Fe3 Fe3 溶液KSCN溶液或NH4SCN溶液溶液不呈红色,Fe2 溶液呈红色.Fe2 2SCN-=Fe(SCN)2(无色);Fe3 3SCN-=Fe(SCN)3(血红色).3苯酚溶液法Fe2 溶液Fe2 Fe3 溶液苯酚溶液溶液不呈紫色,Fe3 溶液呈紫色.Fe3 6C6     

不等式（1／n＋1＋1／n＋2…＋1／2n）^2〈1／2的六种不同证法

给出了不等式((1)/(n+1)+(1)/(n+2)+…+(1)/(2n))2＜(1)/(2)的六种不同证法.     

对Cu^＋和Cu^2＋稳定性问题的探析

本文从学生提出的问题:"根据洪特规则,可以得出Cu (3s23p63d10)比Cu2 (3s23p63d9)更加稳定的结论,但事实上Cu 在水溶液中尤其是在酸性溶液中不稳定,可发生歧化反应生成Cu2 和Cu,但CuO在高温下会分解成Cu2O,这是什么原因?"入手,引导学生分别从结构、热力学、电化学的角度进行了探析,并对问题进行适当延伸。     

函数y=ax^2n＋bx^n＋c的性质新探

虽然在中学课本中我们只学习了有限的几种初等函数,但通过它们的复合、四则运算可以构造出许多新的函数.这里笔者将对形如y=ax~(2n)+bx~n+c(其中a≠0,n∈N)的函数的性质进行初步探讨. 显然F(x)=ax~(2n)+bx~n+c(其中a≠0,n∈N)是一类多项式函数,它的定义域为R,是由y=f(u)=au2+bu+c和u=x~(n∈N)复合而成.利用复合函数的单调性法则,即“同调得增,异调得减”,若能画出其图像草图,则其性质就一目了然.     

Diophantine方程a^4x（x＋1）（x＋2）（x＋3）=y（y＋1）（y＋2）（y＋3）

设a是大于1的正整数.本文运用初等数论方法证明了:方程a4x(x+1)(x+2)(x+3)=y(y+1)(y+2)(y+3)无正整数解(x,y).     

α^2＋b^2≥2ab的推广变形及其应用

现将基本不等式a2 +b2 ≥ 2ab推广如下 :定理　若x、y、a、b均为正数 ,则有xax+y+ ybx+y ≥ (x+ y)axby,( )当且仅当a=b时等号成立 .证明　由加权不等式得xax+yx+ y+ ybx+yx+ y≥ (ax+y) xx+y· (bx+y) yx+y,即xax+y+ ybx+y ≥ (x+y)axby,当且仅当ax+y =bx+y,即a=b时等号成立 .( )式可变形为ax+yby ≥ x+ yx ax - yxbx,( )利用上述变形 ( )式 ,来证明某些分式不等式 ,能起到化繁为简 ,化难为易之功效 .现举例说明如下 :例 1　 (《数学通报》问题 871)设n∈N ,α、β∈(0 ,π2 ) ,求证 :sinn+2 αcosnβ + cosn+2 αsinnβ ≥ 1.证明　由 …     

Asinθ＋Bcosθ=√（A^2＋B^2）sin（θ＋Ф）的作用

高中教科书三角函数一章中，公式Asinθ Bcosθ=√(A^2 B^2)sin（θ Ф）(其中Ф由tanФ=B/A确定)在历年的高考数学试卷中几乎都涉及到了，因此，弄清它的作用，有利于我们在应试中快速灵活地解决此类问题．笔现分几个类型举例说明．     

关于公式x^2＋（q＋p）x＋pq=（x＋p）（x＋q）蕴含的数学思想方法

全日制义务教育《数学课程标准(实验稿)》(以下简称《标准》)中指出:通过义务教育阶段的数学学习,学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识(包括数学事实、数学活动经验)以及基本的数学思想方法和必要的应用技能,初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会,去解决日常生活中和其他学科学习中的问题.     

三次函数y=ax^3＋bx^2＋cx＋d的性质及应用

综观2004年全国及各省、市高考试卷，高中数学新增内容(向量、概率统计、导数等)占有相当的比重，其中导数在函数中的应用已成为高考的热点．笔对2004年全国及各省地高考试题进行分析研究，发现导数在三次函数中的应用出现在多套试卷之中(特别是科试卷)，而这些试题难度适中，属中档题，为大多数考生的得分题，     

导出1^3＋2^3＋3^3＋…＋n^3公式的四种方法

在教学公式1^3 2^3 3^3 … n^3=[1/2 n(n 1)]^2时，我们要求学生首先用数学归纳法证明，导出这个公式(为方便书写，我们记Sn^(k)=1^k 2^k 3^k … n^k)。     

活用Sn=an^2＋bn求解等差数列问题

对于等差数列{an}，若其公差d≠0，则其前n项和Sn=na1 (n(n-1)d)/2=d/2bn^2 (a1-d/2)n。     

巧用“a^2＋6^2≥2ab”简化方程组的解法

我们知道,对于任意的实数a和b,有a2+ b2≥2ab(1)当且仅当a=b时取等号,若ab >0,在(1)的两边同除以ab,即得a/b+b/a≥2(2),当且仅当a=b时取等号. 在(1)中,若令u=a2,v=b2,显然u≥0, v≥0。则有,当且仅当u=v时取等号,现在我们利用这些重要不等式来解一     

方程ax^2＋b｜x｜＋c=0的求解

对于形如ax^2 b|x| c=0(a≠0)的方程求解问题，不少同学不知如何入手．其实．只要对绝对值的概念和一元二次方程求解的基本方法能够牢固掌握和灵活运用，此类问题并不难解决．     

a^2＋b^2=c^2其变式的应用

由勾股定理:a2 b2=c2,可得到两个重要变式:a2 b2=(a b)2-2ab=c21a2 b2=(a-b)2 2ab=c22这两个变式在解题中有着极其广泛的应用,今分类举例说明如下.一、应用变式(a b)2-2ab=c2解题例1在Rt△ABC中,已知S△ABC=6,AC BC=7,求斜边AB及斜边AB上的高的长.解:设a、b、c分别为直角边、直