“等腰直角三角形”专题教学

<正>浙教版数学八年级上册第二章为特殊三角形,本单元主要设计为让学生学习等腰三角形和直角三角形的定义、性质、判定以及应用.但在日常学习中出现了许多等腰直角三角形的相关问题,这些问题的解决需要更多的借助等腰直角三角形的性质知识与技能.本文介绍等腰直角三角形的一节专题教学课.一、教学目标1. 了解等腰直角三角形的定义和性质;2. 掌握等腰直角三角形的三种常见辅助线:"K"字型、斜边上的高线、旋转;3. 会运用等腰直角三角形的常见辅     

一道竞赛题的简证

在1997年安徽省初中数学竞赛中有一道几何选择题（见《中等数学》1998年第1期）如下: 4.在等腰直角三角形ABC的斜边AB上取两点M,N,使∠MCN=45°,记AM=m,MN=x,BN=n.则 图1以x,m,n为边长的三角形的形状是().(A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)随x,m,n的变化而变化的     

一道“错位中点”试题的改编过程与思考

原题如图1,已知等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形AED中,∠AED=∠ACB=90°,点D在AB上,连结EC,M、N分别为DB、EC的中点.求证:MN=1/2CE.     

1998年山东省初中数学竞赛

一、选择题(每小题6分,共48分) 1.已知等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,点D在CB的延长线上,且BD=AB.则∠ADB的余切值是( ).     

2005中考热点——动态几何例析

动态性几何问题就是以几何为背景,赋运动、开放、探索于一体,是近年来中考的新题型.举例剖析如下,供同学们复习参考.例1(2005年内江市)如图1,已知△ABC是等腰直角三角形,∠C=90°.     

巧旋转,妙解题

在几何的学习中,旋转变换在帮助我们认识图形的性质方面起到了很好的作用,也使我们觉得几何学习很有趣,其实在解题中,如果应用好旋转的知识,也能使问题的求解变得直观、明了.1.等腰直角三角形中的旋转例1等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,点D和E在AB边上,AD=3,BE=4,∠DCE=45°,则DE=____或____.解析因为不知斜边AB的长度,因而无法确定点D和点E哪个点更靠近点A,所以分情况讨论.(1)如果点D比点E更靠近点A(如图1).将△ADC     

对称与旋转

小清和W同学来找Z老师.他们在解一道题:在等腰直角三角形ABC的斜边AB上取两点M、N,使∠MCN=45°.记AM=m,MN=x,BN=n,则以x、m、n为边长的三角形的形状是().     

一道竞赛题的再推广

题　如图 1 ,在等腰直角三角形ＡＢＣ中 ,ＡＢ =1 ,图 1∠Ａ =90° ,点Ｅ为腰ＡＣ的中点 ,点Ｆ在底边ＢＣ上 ,且ＦＥ⊥ＢＥ ,求△ＣＥＦ的面积。( 1 998年全国初中数学竞赛第 1 1题 )文 [1 ]将等腰直角三角形推广到等腰三角形 ,本文再作如下推广。图 2推广 1　如图 2 ,在等腰直角三角形ＡＢＣ中 ,∠Ａ =90°,ＡＢ =ａ ,点Ｅ为腰ＡＣ上的点 ,点Ｅ内分ＣＡ为 :ＣＥ∶ＥＡ =λ ,点Ｆ在底边ＢＣ上 ,且ＦＥ⊥ＢＥ ,则Ｓ△ＣＥＦ=λ2 ａ22 (λ 1 ) 2 (λ 2 ) 。证明　由ＡＣ =ＡＢ =ａ ,ＣＥＥＡ=λ ,知ＥＣ =λａλ 1 ,ＥＡ =ａλ 1 。作ＡＤ…     

聚焦主线选编问题 开放留白变式追问——以“等腰直角三角形补图问题”教学为例

<正>等腰直角三角形是一类重要的基础图形,在不少地区的中考几何综合题中都少不了它的身影．开展中考几何专题复习时,以等腰直角三角形为背景的补图问题是一类重要专题,值得安排专题复习课．近期笔者在学校备课组内开设一节“等腰直角三角形补图问题”专题复习课,取得较好的教学效果,本文整理该课教学设计,并跟进教学思考,提供研讨．     

活用勾股定理 探究一题多变

<正>一、应用勾股定理探究图形面积例1如图1,在直线l上有三个正方形,面积分别为a,b,c,若a=5,c=11,则最大正方形的面积b是多少?思路点拨:根据“AAS”可证Rt△ABC≌Rt△BED,则BC=ED,由勾股定理易得b=a+c=16.变式1:如图2,以Rt△ABC的三边为斜边,分别向外作等腰直角三角形BFC、等腰直角三角形AHC、等腰直角三角形AEB,面积分别为S₁,S₂,S₃,则S₁+S₂=S₃.(请同学们尝试证明)     

例析典型的分类问题

<正>运用分类思想解决问题,能够培养学生慎密思维的优良品质.本文拟对初中数学中典型的分类问题加以举例分析.一、直角三角形的边、角问题例1在RtΔABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,点D为RtΔABC外一点,且ΔACD是等腰直角三角形,则BD的长是.解分3种情况:①当∠DAC=90°时,如图1,BD=4;A D C B A D C     

相似形中的动点问题

动点问题是数学中的难点,动点相似问题是相似形中的难点1为了更好地掌握这一难点,现举例说明如下:图1例1如图1,在矩形ABCD中,AB=12厘米,BC=6厘米1点P沿AB边从A点开始向点B以2厘米/秒的速度移动;点Q沿DA边,从点D开始向点A以1厘米/秒的速度移动1如果P,Q同时出发,用t表示移动的时间(0≤t≤6),那么(1)当t为何值时,△QAP为等腰直角三角形?(2)当t为何值时,以Q,A,P为顶点的三角形与△ABC相似?解(1)对于任何时刻t,则AP=2t,DQ=t,QA=6-t1当QA=AP时,△QAP为等腰直角三角形,即6-t=2t,解得t=2(秒).所以当t=2秒时,△QAP为等腰直角三角形…     

点P的存在性在一类最值问题中的应用与推广

<正>最近笔者有幸加入了中学数学杂志群,群里云集了全国各地高水平的数学教师,在交流讨论这样一道题目.呈现如下:原题如图1所示,已知等腰直角三角形ABC中,∠ABC=90°,AB=CB.点P为三角形ABC所在平面内任意一点,且PA=1,PB=2,求PC的最值.解析本题的条件是三角形ABC为等腰直角三角形,且PA=1、PB=2.易知,三角形ABC确定形状,但其大小不确定.本题的问题是求PC的最值,然而点P的位     

新题荟萃

1.在长为20cm的线段AB上任取一点P,以AP为底边构造等腰直角三角形ΔADP,则这个等腰直角三角形的面积介于     

2007年第8期问题解答

115.在等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=BC,将直角顶点C沿直线BD折叠,使点C恰好落在斜边AB上的E点,连结EC交BD于点G,F是平面内一点,且     

三道数学联赛题的分析

1.设P为等腰直角三角形ACB斜边AB上任意一点,PE垂直AC于点E,PF垂直BC于点F,PG垂直EF于点G,延长GP并在其延长线上取一点D,使得PD=PC,试证BC⊥BD,且BC=BD。 分析:根据题目要求,画出图形如图1。欲证BC⊥BD且BC=BD,只需证△PCB≌△PDB,这是因为△ACB为等腰直角三角形,故∠ABC=45°,而此时∠DBP=45°.这样∠DBC=45° 45°=90°故BC⊥BD.而BC=BD是显然的。以下给出证明。     

2013年高考数学模拟题(一)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.函数y=2sinx的定义域为A,值域为B,则A∩B=A.AB.BC.[-1,1]D.2A2.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对边,若a=2bcosC,则此三角形一定是A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰或直角三角形     

一道中考试题的分析与拓展

<正>2014年浙江省绍兴市数学学业评价试卷第23题,是以正方形和等腰直角三角形为命题依托,以直角夹半角(简称半角模型)为命题的关键条件,综合考查了轴对称,旋转,三角形全等,三角形相似等知识,体现了几何基本模型的构建,方程,转化等数学思想,对学生几何直观的意识渗透与能力的培养起到了较好的促进作用.题目(1)如图1,正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,∠EAF=45°,延长     

变换图形解题

平移法和旋转法是平面几何中解题的两种有效方法.通过图形变换,借助图形各元素之间的新旧位置关系探索解题的方法,在解决平面几何问题时有广泛的应用.例1已知,如图1,△ABC中,AC=AB,∠BAC=90°,P为△ABC内一点,PA=1,PB=3,PC=7姨.求∠APC的度数.分析:从PB=3,PC=7姨来看,如果还有一条线段为2姨,则可构成直角三角形,这样只要把PA逆时针方向旋转90°,(也可以顺时针方向旋转90°)构成一个等腰直角三角形,问题可以解决.解:过A点作DA⊥AP,(逆时针方向旋转)且DA=AP=1,连结CD、PD∵△DAP为等腰直角三角形,∴PD=2姨,∠DPA=45°.∵…     

构造全等三角形解题

在解几何题时,添加辅助线的目的是构造出新的几何图形,用来沟通条件与结论之间的联系,从而使问题获得解决.添加辅助线,构造全等三角形,是常用的证(解)题技巧.现举例如下. 例1 如图1,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E、F分别是AB、AC边上的点,且DE⊥DF.若BE=12,CF=5,求线段EF的长.(1997年黑龙江省中考试题)