中考数学中的“格点问题”探究

正数学中的"格点问题"考查了学生对方格纸中的图形的理解,对学生的观察力和对规律的探究能力要求比较高,体现了"数形结合"的数学思想方法,还体现对学生的创新意识考查,是中考作图中的热点题型,其题型多样,涉及的知识点十分广泛,综合性很强,下面以几例介绍"格点问题"。一、与图形变化相关的问题(2013·泰安中考题)在如图1所示的单位正方形网格中,△ABC经过平移后得到△A1B1C1,已知在AC上一点P(2.4,2)平移后的对应点为P1,点P1绕     

挖掘特征寻突破 多解探究促创新——一道巴西数学奥林匹克试题的解法探究

<正>在数学教学中,多解探究,不仅有利于培养学生的逻辑推理能力,而且有利于培养学生的创新素养．本文在挖掘图形几何特征的基础上,从多角度对2020年巴西数学奥林匹克(第二级)第5题进行解法探究,以期为创新素养教育积累丰富的课程素材．一、试题呈现如图1,在△ABC中,M为AB的中点,O为△ABC的外心．已知△CMO和△ABC的外接圆再次相交于点K,直线OM和直线CK交于点P．求证:∠PAK=∠MCB.     

构造Z字形相似——网格问题的常用方法

<正>网格问题是近几年各地中考的热门题型,在网格中研究格点图形(在正方形的方格纸中,每个小方格的顶点叫做格点,我们把以格点的连线为边的图形叫做格点图形),具有很强的可操作性,这和新课标的理念相符合.中考中的"格点问题"也秉承了"狠抓基础,注重过程,渗透思想,突出能力,强调应用,着重创新"这一精神,既突出了"数形结合"的数学思想方法,考查了学生对图形的敏锐观察力和对数学规律的发现探究能力,又考查了学生的创新意识、决策意识和实践能力.     

等腰三角形新题型解析

本文就等腰三角形的三类新题型解析如下,供同学们学习时参考.一、从已知图形中数等腰三角形的个数例1如图1,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线,且相交于点F,则图中等腰三角形有()A.6个"B.7个"C.8个"D.9个(天津市中考题)解:因为AB=AC,∠A=36°,所以易求得∠1=∠2=∠3=∠4=36°,∠5=∠6=∠7=∠8=72°,从而图中共有8个等腰三角形,即:△ABC、△FBC、△BCD、△CBE、△DAB、△EAC、△CDF、△BEF.故应选C.二、从已知图形中找构成等腰三角形的点例2在等边△ABC所在的平面内求一点P,使△PAB、△…     

对一道作图试题的错因分析

2012年安徽省一道数学中考题貌似平淡无奇,实则暗藏玄机,它是一道作图题,设计新颖,解题思路广阔;既出人意料,又耐人寻味,它起点低,入口宽,动手易,立意高,活而不难,解法多样,令人叫绝.题目:如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了格点△ABC（顶点是网格的交点）和点A₁.（1）画出一个格点△A₁B₁C₁,使它与△ABC全等,且A与A₁是对应点.（2）略.     

解读坐标系中图形变换的规律

<正>图形的对称、平移、旋转与位似是初中数学中几种重要的图形变换问题,也是各地中考的难点.解决这类问题需在平面直角坐标系中作出变换的图形,或根据图形变换求点的坐标;需要综合运用图形变换的性质特征,运用点的坐标的变化规律,根据图形的性质找到各点对应点的位置,从而得到解决问题的途径和方法.下面举一例,对坐标系中图形变换的规律进行剖析.题目如图1,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点都在格点上,点A的坐标为(2,4),请解答下列问题:     

分类例析动点引发的最值问题

<正>由动点引发的最值问题是初中数学的常见题型.本文通过几道中考题,分类例析此类问题的求解策略,供大家参考.一、基于动点轨迹图形求解在几何中,由动点引发的最值问题,往往隐含着我们熟悉的若干个基本图形,因此,通过探究关键点的轨迹,可以明确问题的本质,使问题获解.这是处理此类最值问题较为常见的视角.例1 (2019年扬州中考题) 如图1,已知等边△ABC的边长为8,点P在AB边上,PB=6,直线l是经过点P的一条直线,将△ABC沿直线     

一组有趣的格点问题

问题1如图1,根据格点A、B、C、D的位置,通过计算推证:∠BAC=∠DAC.问题2如图2,三个同样的正方形并排放在一列,计算:∠ACB+∠AEB+∠AGB的角数.问题3如图3,在正方形格点有6个斜三角形:①△ABC,②△BCD,③△BDE,④△BFG,⑤△FGH,⑥△EFK.在②~⑥中,与①相似的有哪些?问题4以O为圆心,5为半径在图4中画⊙O,⊙O的圆周经过的格点个数是多少个?问题5如图5,是格点纸上画有一个圆,能否仅用不带刻度的直尺就能确定圆心的位置?能确定则写出确定的方法;不能确定则说明理由.问题6△ABC的顶点A、B、C都在格点上,三边上均无其它格点,形内…     

图形的平移、旋转、轴对称

[知识要点]1.图形的平移有两个要素:平移的方向和平移的距离;平移后的图形与原来图形相比,只改变　　　　,不改变　　　　.2.图形旋转的两个要素:旋转中心和旋转角度,旋转不改变图形的　　　　和　　　　,只改变图形的　　　　.3.利用平移、旋转、轴对称及其组合设计图案.图1例1　(2004年四川成都市实验区)在下面的网格图1中按要求画出图形,并回答问题:(1)先画出△ABC向下平移5格后的△A1B1C1,再画出△ABC以点O为旋转中心,沿顺时针方向旋转90°后的△A2B2C2;(2)在与同学交流时,你打算如何描述(1)中所画的△A2B2C2的位置?分析　(1)①…     

谈谈几何证明的直观教学

<正>几何直观是《义务教育数学课程标准(2011年版)》的新增关键词,它主要是指利用图形描述和分析问题.笔者在教学实践中了解到,学生对利用图形描述和分析问题的意识还没有得到有效的引导.下面,笔者结合一个具体的实例,谈谈几何直观在解决数学问题中的应用,以期抛砖引玉.原题呈现(1)如图1,△ABC中,∠ABC与∠ACB     

谈“相似三角形教学”中数学思想方法的渗透

一、渗透转化思想方法,提高学生解决问题的能力数学问题的求解过程,实质上是由未知向已知转化、生疏向熟悉转化、复杂向简单转化、困难向容易转化的过程.还有不同数学问题之间的相互转化,转化思想方法贯穿数学教学过程的始终.例1如图1,锐角△ABC的高CD和BE相交于O点.求证:B0·EO=CO·DO.证明∵CD和BE是△ABC的高,     

不变中的多变 多变中的不变——一道数学题的变式尝试

<正>数学中的许多问题蕴含着"动"与"静","变"与"不变"的辩证关系,本文结合一道数学题的变式尝试,揭示"不变中的多变,多变中的不变"的道理,以此培养学生自主学习、合作探究、开拓创新的的能力.题目(苏科版七年级下册第八章)如图1,在△ABC中,∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P,若∠A=60°,则∠BPC=?     

基本活动经验助推高效课堂

<正>《全日制义务教育数学课程标准(2011年版)》特别强调:"数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志。帮助学生积累数学活动经验是数学教学的重要目标,是学生不断经历、体验各种数学活动过程的结果。"在一次教研活动中,我执教"三角形内角和"一课时,发现学生不会或者没意识使用字母或符号表示一个图形,如图1(如用字母表示"△ABC"、"AD是△ABC中BC边上的高"、"∠1、     

勾股定理与格点作图

几何作图在实际生活中应用广泛,体现了数学"源于生活、用于生活"的思想.在大部分省市中考试卷中均出现了此类题,其目的是考查运用所学数学知识解决实际问题的能力.作图主要分为基本尺规作图,图形的对称、平移与旋转,格点作图等.格点作图题是近几年各地中考数学命题中的新题型之一.它不仅考查数形结合思想方法的运用能力,而且     

有趣的图形滚动

数学中,有许多融知识性与趣味性于一体的问题.比如,图形沿直线滚动时,计算某点经过的路径长,就是其中的一种.这种问题确实让人耳目一新.例1边长为1的等边△ABC的边AC在直线l上.当它按顺时针方向沿l无滑动地滚动8次,则点A所经过的路线长等于.简析如图1所示,当等边△ABC沿l按顺时针方向无滑动地依序滚动2、5、8次时,那么点A分别落在l上的点A1、A2、A3处,此时。     

利用几何画板开展探究性数学学习的案例分析

在高中探究性数学学习课堂上,我们在数学教育实验室充分利用先进的信息技术设备开展探究性数学学习活动。师生借助计算机网络相互沟通和交流,这样的环境为充分发展学生的个性、发挥学生的潜能、培养学生创新精神以及师生之间相互合作提供了便利条件。在学生学习完Ceva定理之后,笔者利用几何画板软件在大屏幕上给出下列问题情境:如图1,在△ABC三边上向外侧作等边△ABC1、△BCA1、△ACB1,可能有什么样的结论?利用几何画板软件,经过多次尝试,学生将AA1、BB1、CC1连结以后,发现3线交于1点,有的学生怀疑是不是因为△ABC的某种特殊位置造…     

两个等边三角形中的三角形全等

等边三角形是数学学习的一个基本图形,两个等边三角形进行各种各样的拼接,形成比较复杂的图形.但只要掌握三角形全等这个武器,就能快速准确分解复杂图形,防止其他无关信息干扰,从而快速获得解题思路,提高解题的有效性,收到化繁为简、化难为易的良好效果.一、以一个点为顶点向外作两个等边三角形基本题型:如图1:△ABC与△ADE都是等边三角形,点D在AC上,求证:BD=EC证明∵△ABC与△ADE都是等边三角形∴BA=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°     

猜想型几何探究题分类例析

猜想型几何探究题是指给出题设条件或配备图形,要求学生通过观察、实验、联想、归纳、分析、类比、比较等获得数学猜想,并证明自己的猜想的正确性.这类试题考查学生对图形敏锐的观察力和对数学规律的发现探究能力,体现试题以能力立意的理念.一、形如a±b=c型几何探究题例1在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E.     

一个有趣的几何不等式

《数学通报》2003年第4期数学问题1429[1]是: 设O是锐角△ABC的外心,R、1R、2R、3R分别是△ABC、△OBC、△OCA、△OAB的外接圆的半径.求证:1233RRRR?+. 当且仅当△ABC为正三角形时等式成立. 本文将锐角△ABC的外心O换成一般△ABC的内点P,得到如下一个有趣的几何不等式. 定理 设P是△ABC的一个内点,1R、2R、3R分别是△PBC、△PCA、△PAB的外接圆的半径,r是△ABC的内切圆的半径.求证: 1236rRRR?+ 当且仅当△ABC是正三角形且P是其中心时等式成立. 为证明定理,先给出以下几个引理. 引理1 设r正、r分别为面积为定值D的…     

基本图形显魅力 激发思维促生长

<正>教材中很多习题的图形既简洁又开放,具有进一步思考与研究的教育价值. 充分挖掘、深化教材习题基本图形,展现图形多维变化,不仅有助于提升学生对数学知识的理解和应用,加强学生的数学学习能力,激发学生的思维生长,而且能够彰显教材的育人价值.一、题目呈现如图1,AB是⊙O的直径,OC⊥AB,交⊙O于点C,判断△ABC是哪一类特殊的三角形,并说明理由.