浅谈利用弦图解题的一点瑕疵

近日,笔者研读了"例析残缺弦图的玄机"一文(下称"原文"),对其构造或补全弦图的解法感触颇深.下面再举一例,以便读者充分感受到此种解法的巧妙之处.题目(2014年重庆中考题)如图1,正方形ABCD的边长为6,点O是对角线AC、BD的交点,点E在CD上,且DE=2CE,过点C作CF⊥BE,垂足为F,连结OF,则OF的长为___.分析注意到CF⊥BE,可在正方形ABCD中顺次作垂线构造弦图(如图2).     

一道几何题的多种解法

题目如图1,已知E为正方形ABCD的边BC延长线上一点,EF⊥AE,且与∠BCD的外角平分线CF交于F,试判断AEF的形状,并证明你的结论.一、利用全等三角形的性质解法1如图1,延长BA至E′,使AE′=CE,连结EE′.∵四边形ABCD为正方形,∴BA AE′=BC CE,即BE′=BE.∴∠E′=∠BEE′=45°.又∵CF平分∠DCE,∴∠E′=∠FCE=45°.∵∠1 ∠2=∠3 ∠2,∴∠1=∠3,∴∠E′AE=∠CEF.∴E′AE≌CEF.∴解法AE2=EF,即AEF为等腰直角三角形.如图1,同上得∠E′EB=45°.又∠FCE=45°,∴∠FGE=90°.∴∠E′EF ∠5=90°.∵∠4 ∠E′EF=90°,…     

由一道中考题探索线段长度问题的求解策略

<正>本文从一道中考几何压轴题的解法中,提炼总结出解决线段长度问题的基本思路和常规方法,供大家参考.原题(2016年宁波市初中毕业生学业考试说明)如图1,正方形ABCD的边长为4,点O为对角线AC,BD的交点,点E在CD的中点,连结BE,交BE于点G,过点C作CF⊥BE,垂足为F,连结OF,则OF的长为____.评析这是一道经典题目,它蕴含着求解线段长度的常规思考方向,从不同层次的视角可以得到一些线段长度问题的求解策略.一、巧借特殊角,构造所求线段与已知线段之间数量关系     

以正方形为背景的中考试题

正方形是初中平面几何中的常见图形,以正方形为背景的中考试题往往与代数、三角等知识结合在一起,具有较强的综合性。 例1 如图1,在边长为a的正方形ABCD的一边BC上任取一点E,作EF⊥AE交CD于点F.如果BE=x,CF=y,那么,用x的代数式表示y的     

30分钟智力冲浪

1.如图1,△ABC中,AB≠AC,△ADB与△AEC都是等边三角形(三边相等、三内角相等).那么,CD与BE是否相等?为什么?图1图22.已知,如图2,△ABC中,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,他们相交于点F,且BF=AC.在CE的延长线上取点G,使CG=AB.连接AF,AG.试说明AF⊥AG.3.已知,如图3,AD∥BC,DE∥BF,点E,F在AC上,AF=CE.你能说明AB与DC的位置关系吗?图3图4图54.已知,如图4,CF是正方形ABCD外角∠DCG的平分线,E是BC边上的一点,且AE⊥EF.你能说明AE与EF相等吗?(提示:正方形的四条边相等.设法找到分别以AE,EF为一边的两个三角形,并说明他…     

分类构图寻思路 多元求解提素养

<正>1试题呈现(深圳中考第22题)(1)如图1,在矩形ABCD中,E为AD边上一点,联结BE。(1)若BE=BC,过C作CF⊥BE,垂足为F,求证:△ABE≌△FCB;(2)若S_矩形ABCD=20,则BE·CF=______。(2)如图2,在菱形ABCD中,cos A=1/3,过C作CE丄AB交AB的延长线于点E,过E作EF丄AD,垂足为F,若S_菱形ABCD=24,求EF·BC的值。     

关注正方形的探究问题

正方形的探究问题近年来在中考中屡见不鲜.这类问题以正方形为框架,将探究问题融入其中.解答时,要注意灵活利用正方形性质,借“全等三角形”之力.现举例介绍如下: 例1(梅州市中考题)如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE. (1)求证:CE=CF; (2)若点G在AD上,且∠GCE=45°,则GE=BE+GD成立吗?为什么?     

巧添辅助线构造轴对称图形

同学们在学习几何时,若能借助某些直线、射线(如角平分线、垂线)为对称轴构造对称图形,便会给解题带来极大方便,下面介绍这类几何题的思路及方法。一、以角平分线为对称轴构造图形图1例1已知,如图1,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,BE平分∠ABC,CE⊥BE,求证:CE=21BD.分析:因为角是轴对称图形,角平分线是对称轴,故根据对称性作出辅助线,不难发现CE=21CF,再证明BD=CF即可。证明:延长CE和BA交于点F∵∠1=∠2BE=BE∠BEC=∠BEF∴△BEC≌△BEF∴CE=EF=21CF∴∠1+∠F=∠3+∠F=90°∴∠1=∠3又∵AB=AC,∠BAD=∠CAF∴△ABD…     

关联多维视角 发展核心素养

<正>1试题呈现(2023年杭州中考第23题)如图1,在☉O中,直径AB垂直弦CD于点E,联结AC,AD,BC,作CF⊥AD,垂足为F,交线段OB于点G(不与点O,B重合),联结OF。(1)若BE=1,求GE的长。(2)求证:BC²=BG·BO。(3)若FO=FG,猜想∠CAD的度数,并证明你的结论。2解法探究     

用坐标系解几何题

例1 如图1,已知正方形 ABCD的边长为5,E、F分别为边CD、AD的中点,BE、CF交于点P．求AP的长．分析从几何解题的角度出发,此题有多种解法．解法1 如图2,延长CF、 BA交于点Q．因为 F为AD的中点,     

补形，妙哉！

例1 如图1，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直．CE⊥AC,EF//AC,AB=√2,CE=EF=1.     

细剖结论 逆向构思

<正>考题再现例（2020·辽宁·盘锦）如图1,四边形ABCD是正方形,点F是射线AD上的动点,连接CF,以CF为对角线作正方形CGFE(C,G,F,E按逆时针排列),连接BE,DG.(1)当点F在线段AD上时：(1)求证：BE=DG;     

平面几何＂定＂向辅导

1．定值问题 例1如图1,P为正方形ABCD的边AD上的一个动点,AE⊥BP,CF⊥BP,垂足分别为点E、F,已知AD=4．     

对一道中考试题的赏析

【题目】如图1,在正方形 ABCD 中,点 E、F 分别为边BC、CD 的中点,AF、DE 相交于点 G,则可得结论:①AF=DE;②AF⊥DE.(不需证明)(1)如图2,若点 E、F 不是正方形 ABCD 的边BC、CD 的中点,但满足 CE=DF,则上面结论①、②是否仍然成立?(请直接回答"成立"或"不成立")(2)如图3,若点 E、F 分别在正方形 ABCD 的边     

2002年全国高中数学联赛加试题第一题若干解法

今年全国高中数学联赛阅卷工作已结束 ,加试题第一题是平面几何问题 ,阅卷中发现不少考生构思巧妙、解法新颖 .现根据我们收集、整理 ,总结出 10种较简捷的解法 ,供读者参考 .图 1第一题 :如图 1,在△ ABC中 ,∠ A =60°,AB>AC,点 O是外心 ,两条高BE,CF交于点 H ,点 M,N分别在线段 BH ,H F上 ,且满足 BM =CN .求 :MH + N HOH .解法 1:如图 1,延长 BE交△ ABC的外接圆于 G,延长 CF交外接圆于 K ,连 KB、GC,过O作 OT⊥ BH于 T,作 OI⊥ CF于 I,则∠ BKC =∠ BGC =∠ A =60°又由 BE⊥ AC,CF⊥ AB知 A、F、H、E四…     

反思题目通法 突出变换引领——一道中考试题的深层次思考

<正>笔者近来研究2021年南通中考数学第25题时,发现该题以最基本的图形变换——轴对称为背景,渐次生长,思路开阔,值得回味. 现特撰此文与大家交流.一、原题呈现如图1,正方形ABCD中,点E在边AD上(不与端点A,D重合),点A关于直线BE的对称点为点F,连结CF,设∠ABE=α.(1)求∠BCF的大小(用含α的式子表示);(2)如图1,过点C作CG⊥AF,垂足为G,连结DG.判断DG与CF的位置关系,并说明理由;     

由平角与三角形内角和得出的一个结论

题目1:已知,如图1,在矩形 ABCD 中,点E,F 分别在 BC、CD 上,且 CE=AB,CF=BE求证:AE⊥EF.证明:由条件可得△ABE≌△ECF,所以∠1=∠2,又∠B ∠1 ∠3=180°,∠AEF ∠3 ∠2=180°,所以∠AEF=∠B=∠C=90°,所以 AE⊥EF.     

计算弦长方法种种

题目如图1,PA、PB、PC是⊙O的三条弦,PA=a,PB=b,∠APC=30°,∠BPC=60°,求弦PC的长.下面我们以此题为例来分析关于计算弦长的几种方法.解法一:灵活作垂线如图2,连结AB、AC,过点A作AE⊥PC于点E.在Rt△APE中,因为∠APC=30°,PA=a,所以AE=a2,PE=3姨a2.又因为∠ACP=∠PBA,∠AEC=90°,∠APB=∠APC ∠BPC=90°,所以△ACE∽△ABP.P图1COAB图2COPABE所以ECEA=PBPA,所以EC=EA·PBPA=a2·ba=b2,所以PC=PE CE=3姨a b2.解法二:巧用面积法如图3,连结AB、AC、BC,过点A作AE⊥PC于点E,过点B作BF⊥PC于点F.因…     

一道有趣的平面几何小题

如图1,在四边形ABCD中,∠ABC=∠D=90°,AB=BC,BE⊥AD,垂足为点E,则结论1 BE=DE.证明:过点C作CG⊥BE于G,如图2,则有矩形CDEG,CG=DE.易证△BAE≌△CBG,所以BE=CG=DE.结论2(1)BE=AE+CD;(2)2BE=AD+CD.证明:(1)由矩形CDEG得GE=CD.由△BAE≌△CBG得AE=BG,所以BE=BG+GE=AE+CD.     

中考中的四边形新题赏析

一、与平行四边形有关的问题例1(2012福建南平)如图,已知四边形ABCD是平行四边形,若点E,F分别在边BC,AD上,连接AE,CF,请再从下列三个备选条件中选择添加一个恰当的条件.使四边形AECF是平行四边形,并予以证明.备选条件:AE=CF,BE=DF,∠AEB=∠CFD.我选择添加的条件是:(注意:请根据所选择的条件在答题卡相应试题的图中,画出符合要求的示意图,并加以证明)解析添加的条件可以是BE=DF(答案不唯一).证明如下:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC.∵BE=DF,∴AF=CE,即AF=CE,AF∥CE.