洞察基本图形 发展数学思维——一道中考试题的赏析

<正>数学中考试卷上的每一题都凝聚着命题者的心血和智慧.教师不能仅仅满足于解出题目，而要站在高处去赏析试题.可从命题立意、解法赏析以及教学导向三个角度进行赏析.下面笔者以浙江省宁波市2022年一道中考试题为例谈谈自己的看法和思考.一、试题呈现(2022年浙江宁波中考第18题)如图1,四边形OABC为矩形，点A在第二象限，点A关于OB的对称为点D,点B,D都在函数的图象上，BE⊥x轴于点E.若DC的延长线交x轴于点F,     

2006届初三复习热点之二阅读理解题

阅读理解题是大家比较认可的考察数学活动过程的一种题型,阅读理解题不仅可以考察学生的数学学习过程,而且可以较充分地考察学生进一步学习数学的能力,即现在中考的重要目标之一.在2005年的中考试卷中阅读理解题随处可见,由于试题的长度较大,因此在整个试卷中至多一个,而且和其他的题型结合起来考的较多.一般分数占8%左右.题型一几何问题阅读题型例1(2005年福州市)已知:如图1,AB是⊙O的直径,P为AB上的一点(与A、B不重合),QP⊥AB,垂足为P,直线QA交⊙O与C点,过C点作⊙O的切线交直线QP于点D.则△CDQ是等腰三角形.对于上述命题证明如…     

一类相交圆问题的变形与思考

近年来,中考命题的热点之一,就是改编课本例题或习题。改编课本例题或习题,必须使改编后的题目不怪不偏,切中教材的重点、难点,使基础知识和基本技能在变式练习中不断以正用、逆用、连用、巧用等形式出现,以便引导学生扎扎实实地掌握和运用课本知识。下面以初中《几何》第三册第130页练习第2题的改编为例,加以说明. 题目:已知如图1,⊙O和⊙O′都经过点A和B,PQ切⊙O于P,交⊙O′于Q、M,交AB的延长线于N.求证:     

对一道上海中考题的探索(初三)

05年上海市中考数学最后一道题是:在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,O是边AC上的一个动点,以点图1O为圆心作半圆,与边AB相切于点D,交线段OC于点E,作EP⊥ED,交线段AB于点P,交射线CB于点F,     

对一个数学模型的思考——从2016年淄博市中考第24题说起

<正>2016中考已落下帷幕,近来对2016年淄博市中考第24题进行研究,发现该题题目典型,思路开阔,平面几何知识交叉丰富,可拓展,可延伸,本文结合该题对相关的命题导向和教学导向,与大家研讨.1题目呈现(2016年淄博中考第24题)如图1,正方形ABCD的对角线相交于点O,点M,N分别是边BC,CD上的动点(不与点B,C,D重合),AM,AN分别交BD于点E,F,且     

学会对典型题进行研究

对典型题进行研究是学好数学的重要方法之一 ,这将有助于同学们思维能力的训练 .下面通过一道典型例题来说明如何进行研究 .图 1题目　如图 1,点O是∠EPF的平分线上的一点 ,以O为圆心的圆和角的两边分别交于点A、B和C、D .求证 :AB =CD .(人民教育出版社九年义务教育教科书《几何》第三册 ,( 2 0 0 0年第一版 ,P73 )对本题可作探讨如下 .问题 1　该命题的逆命题是什么 ?若逆命题是真命题 ,请加以证明 ;若是假命题 ,请说明理由 .逆命题为 :如图 1,已知∠BPD的两边分别交⊙O于A、B、C、D .若AB =CD ,则PO平分∠BPD .该命题为真命…     

探求一题多解

在数学学习中,探求一题多解是培养发散思维的途径之一.本文以2000年江苏省淮安市中考一道平面几何题为例,介绍探求一题多解的方法. 题目如图1,已知在矩形八BCD中,过AB的中点M且平行于AD的直线交CD于N,点E在BC上,     

2012年北京市高中招生一道几何综合题多解研究

题目:已知如图,AB是圆O的直径,C是圆O上一点,OD⊥BC于点O,过点C作圆O的切线,交OD的延长线于点E,,连结BE.(1)求证:BE与圆O相切;(2)连结AD并延长交BE于点F,若OB=9,sin∠ABC=2/3,求BF的长.解析:显然,此题综合性很强,命题者把等腰三角形.直角三角形及锐角三角函数与圆O有机地组合在一起.考查学生对证     

浅析天津市1998年一道中考数学题

题目:如图1,PA切⊙O于A,割线PBC交⊙O于B、C两点,D为PC的中点,连结AD并延长交⊙O于E,已知BE~2=DE·EA.求证: (1)PA=PD; (2)2BP~2=AD·DE. 此题是天津市1998年中考数学的几何题。解题的切入点较多,下面根据课本中常见的添加辅助线方法给出结论(1)的多种证明,以说明     

一道奥赛题的解法研究

文 [1 ]给出了 2 0 0 0年亚太地区数学奥林匹克的一个试题 :如图 1 ,设AM、AN分别是△ABC的一条图 1中线和内角平分线 .过点N作AN的垂线 ,分别交AM、AB于点Q、P ,过P作AB的垂线交AN于点O .求证 :OQ⊥BC .本文用纯平面几何方法证明此题 ,并给出该题的几个变式 .首先证明一个引理 .引理　AM为∠BAX内一条射线 ,在AX上任取一点L ,作PL⊥AX交AB于点P、交AM于点Q ,再作PO⊥AB交AX于点O .则OQ方向不变 (不随点L而变 ) .图 2简证 :如图 2所示 ,在AX上任取一点L′,作P′L′⊥AX交AB于点P′、交AM于点Q′ ,再作P′O′⊥A…     

让课本题目鲜活起来

“源于教材 ,活于教材”是数学中考题的显著特征 ,因此 ,在基础知识学习和基本技能的训练中 ,要善于对常规题作变式思维 ,以教材基本内容为背景 ,抓住典型题进行演变 ,从而让课本题目鲜活起来 .图 1题目　如图 1,已知⊙O1 、⊙O2 相切于点T ,直线AB、CD经过点T ,交⊙O1 于点A、C ,交⊙O2 于点B、D .求证 :AC∥BD .(人民教育出版社《几何》(第三册 ) 1994年 10月、2 0 0 0年 10月版P97)该题证明方法很多 ,如过点T作两圆的公切线 ,再由弦切角性质等获证 ,这里不再赘述 .本文介绍以此题为背景的几种变式题 .图 2　　变式 1　如图 2 ,⊙…     

2014年安徽省中考压轴题的解法探究、思考、追寻与推广

中考试题对教学具有导向性,研究中考试题对教学有着重要的指导意义,多角度对中考试卷压轴题的研究,能挖掘其内涵,追寻命题者的足迹,既有意义,也有价值,为今后的教学指明方向.1试题呈现与解析题目如图1,正六边形ABCDEF的边长为a,P是BC边上一动点,过点P作PM∥AB交AF于点M,作PN∥CD交DE于点N.1)①求∠MPN;②求证:PM+PN=3a.     

对一道中考题压轴题的探究

笔者有幸参加了2005年宁波市中考数学试卷的命题及评析工作.对试卷中的第27题感触颇深,现把自已对该题的分析、探索、反思、感悟摘文如下,供同行参考.题目:已知抛物线y=-x2-2kx+3k2(k>0)交x轴于A、B两点,交y轴于点C,以AB为直径的⊙E交y轴于点D、F(如图1),且DF=4,G是劣弧AD上的动点(不与点A、D重合),直线CG交x轴于点P.(1)求抛物线的解析式;(2)当直线CG是⊙E的切线时,求tan∠PCO的值;(3)当直线CG是⊙E的割线时,GN⊥AB,垂足为H,交PF于点M,交⊙E于另一点N,设MN=t,GM=u,求u关于t的函数关系式.1试题的背景特色本题在初中主干知识…     

从一道常见几何题到一道IMO竞赛题

问题1.过⊙O直径AB的两端点作⊙O的切线AD,BC.在⊙O上任取一点E,过E作⊙O的另一条切线交AD于D,交BC于C. 求证:(1)以CD为直径的圆与AB相切; (2)AD·BC为定值. 这是一道常见题. 在问题1中,让A,B两点发生变化,可得: 问题2.A,B为⊙O的一条直径所在直线上的两点,且AO=OB.过A,B两点     

浅析一道几何题的证明方法

题目:如图,在等腰△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于D,过D点作DE⊥AC,垂足为E.BE交⊙O于F.AF的延长线交DE于G.求证:     

介绍三道几何题(初三)

有三道中考几何题出得很好,特介绍给同学们. 例1 如图1,四边形ABCD内接于O,延长DA、CB交于点E,EF∥DC交AB的延长线于点F,粥切O于点G.求证:EF=FG. (2001年北京丰台区中考) 证明在△EBF和△AEF中.因为EF//DC,所以∠1=∠2.因为对于圆内接四边形ABCD有∠3=∠2,     

关注基本图形 彰显数学素养

<正>一试题呈现（南京中考第24题）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D,E在BC上，BD=CE．过A,D,E三点作☉O，连结AO并延长，交BC于点F.(1)求证AF⊥BC;(2)若AB=10,BC=12,BD=2，求☉O的半径长．     

对一道中考压轴题的探究

笔者有幸参加了2005年宁波市中考数学试卷的命题及评析工作,对试卷中的第27题感触颇深,现把我们对该题的分析、探索、反思、感悟摘文如下,供同行参考.题目:已知抛物线 y=-x~2-2kx 3k~2(k>0)交 x 轴于 A、B 两点,交 y 轴于点 C,以AB 为直径的⊙E交 y 轴于点 D、F(如图),且DF=4,G 是劣弧 AD 上的动点(不与点 A、D重合),直线 CG 交 x 轴于点 P.(1)求抛物线的解析式;(2)当直线 CG 是⊙E的切线时,求tan∠PCO 的值;     

对一个数学模型的思考——从2016年淄博市中考第24题说起

<正>笔者近来对2016年淄博市中考第24题进行研究,发现该题题目典型,思路开阔,平面几何知识交叉丰富,可拓展,可延伸,本文结合该题对相关的命题导向和教学导向,与大家研讨.1题目呈现(2016年淄博中考第24题)如图1,正方形ABCD的对角线相交于点O,     

一道中考试题的解法探究

2011年江苏省苏州市中考数学试题中的第26题题目简单,但设计别具匠心,思路开阔,解法灵活,方法颇多,给学生以广阔的自主探究空间.题目:如图1,已知AB是⊙O的弦,∠B=30°,C是弦AB上的任意一点(不与点A,B重合),连接CO并延长CO交⊙O于点D,连接AD.当∠D=20°时,求∠BOD的度数.探究1:如图1,因为∠BOD=∠OCB+∠B,∠OCB=∠A+∠D,所以∠BOD=∠A+∠D+∠B,即∠BOD=∠A