从一道全国高中数学联赛题谈起

2005年全国高中数学联赛选择题第3题:若空间四点 A、B、C、D 满足||=3,||=7,||=11,||=9,则 AC·BD 的取值()(A)只有1个 (B)有2个(C)有4个 (D)有无穷多个命题组给出了它的一个向量解法,事实上由题目所提供的数据,容易联想到平几中的一个结论:     

改革作文命题 培养习作兴趣

培养小学生的作文兴趣,须从命题的改革入手。作文命题如何改革?近几年来,我们作了如下探索。 一、题目改小些,启迪联想 “写一篇关于秋收的作文”、“写一种动植物”等作文,都含有相当的联想成份,如借物喻人,借景抒情。对这样一些命题,学生常常放不开思路,拓不开文笔,舒展不开联想。针对这一情况,我们把原题改小。这小,是针对内容而言,即把原题集中到一个“焦点”:由什么联想到什么。如写秋天,由看到的金黄稻谷联想到披星戴月辛勤耕耘的农民叔叔,由听到的马达轰鸣联想到社会主义建设中忘我劳动的工人伯伯…如写植物,由鲜艳多姿的菊花联想到积极     

构造法解题初探

用构造法解题的基本思路是,欲证命题A,通过分析,联想,想象等手段,构造一个数学模型 B,再由 B 的性质可推出 A。下面从构造的类型出发,谈谈如何构造     

变换命题,培养解题思维能力

变换命题是一种常见有效的数学思想方法,即根据问题的特点变更命题,使原问题转化为一个与之相关,既直观又容易解决的新问题。在教学中,要使学生思维处于积极的活动状态,应该启迪学生对原命题的结构、特征进行观察、联想、类比,变换成等价的或拓广的命题,从而开拓学生解题思路,提高思维能力,促进智能发展。本文试举例说明几种命题变换模式的应用。一、模型变换例1 已知集合A与B各含有10个元素,A∩B含有4个元素,试求同时满足下面条件的集合的个数。 (1)C(?)A∪B,且C中含有3个元素, (2)C∩A≠(?)。分析:原题抽象,不易理解,若设计一个模型表示原题,实施抽象到具体的变换,可推设以下模型: 某班数学兴趣小组与英语兴趣小组各有     

“逻辑联结词”中值得注意的几个问题

简易逻辑是新教材中新增内容,对教师和学生来说都是新的知识,教师对教材把握的如何,将会直接影响教学效果.现将“逻辑联结词”中,值得注意的几个问题归纳如下.1　命题与命题的否定的之间区别与联系一个命题的否命题与对一个命题进行否定两者之间既有联系又有区别,学生容易把它们混为一谈.一个命题的否命题是将这个命题的题设和结论同时进行否定所得到的新命题;而对某一命题进行否定是不改变这个命题的题设,对其结论进行否定所得到的新命题.即命题“若A,则B”的否命题是“若非A,则非B”,但对这个命题进行否定得到的命题是“若A,则非B”.因…     

充要条件的两个性质及应用

充要条件是揭示命题与命题关系的重要概念,为了便于说明充要条件的两个性质,我想首先依据六年制高中代数第一册第44页摘要叙述它的定义: 如果“从命题A成立可以推得命题B成立”,即如果有“A(?)B”,那么我们说命题A是命题B成立的充分条件; 如果“从命题B成立可以推得命题A成立”,即如果有“B(?)A”,那么我们说命题A是命题B成立的必要条件; 如果既有A(?)B,又有B(?)A,即如果有A(?)B,我们就说A是B成立的充分而且必要条件,简称充要条件。上述定义强调了A、B是“命题”,这与十年制高中数学第二册第110页的定义相比,我感到提     

几何题的间接证法

一个几何命题总是由题设和题断两部分组成的，总可以归结为“若A则B”的形式，若交换题设和题断的位置，或用否定形式来表示它们，总共可有四种形式，     

论“反证法”在高中数学中的应用

高中数学具有较强的逻辑性与规律性,我们解决问题时往往从正面人手,难免会遇到思维障碍或者困难.如果我们另辟蹊径,逆向思维,问题也许就迎刃而解.反证法就是一种典型逆向数学思维,在数学中应用较广.一、"反证法"概述一般情况下,反证法可以这样解释:证明:命题A成立.这时可以首先假设:此命题A不成立(命题A的条件不变),这时根据命题A.不成立,往往会得到一个反命题C(一个或者多个),由反命题C而推出结论B,结论B很显然是矛盾或者错误的(根据某个正确的定理或者结论).     

洞察数学本质 巧构灵动新题——一次市级“命题说题”比赛的心路历程

<正>浙江省初中数学教师业务能力水平比赛由两个环节构成,即解题环节和命题说题环节.通过评比,教师在解题、命题、析题、说题和拓题等方面的专业知识与技能都得到了不同程度的提高,大大促进教师的专业成长.今撷取一例阐述"命题说题"环节的比赛心路历程和教学分析,以期抛砖引玉.一、命题环节1.准备材料和编制要求准备材料:在平面几何中,我们可以定义符合某些条件的图形叫做图形A(常称为"新定义") .     

构造椭圆模型解证三角问题

对于一些具有特征的三角问题,我们可以通过构造随圆模型来求解或证明,现分类举例说明如下:【例1】已知ccooss42BA+ssiinn42BA=1,求证ccooss24BA+ssiinn42AB=1.分析:这是一道纯碎的三角命题,由题中等式的形状可联想到构造一个椭圆方程.证明:设椭圆C:cosx22B+siny22B=1.由题设知点M(cos2A,sin2A)在椭圆C上,又N(cos2B,sin2B)也满足椭圆C,可知点N也在椭圆上,过点N的椭圆C的切线方程为xcos2Bcos2B+yssiinn22BB=1,即x+y=1,又点M也满足x+y=1,所以点M也在此切线上,故点M和点N重合,cos2A=cos2B,sin2B=sin2A,所以cos4Bcos2A+ssiinn24B…     

命题推广一例

贵刊在一九八四年第一期每周一题中刊登了吴苏同志的一篇文章。那里他用六种方法证明了如下命题:如图:ABC和A′B′C′是二正三角形,P、Q、R分别是AA′、BB′、CC′中点,则△PQR亦是正三角形。(芜湖市1983年数学竞赛题。) 但该题只就正三角形情况作出了证明。事实上如果把它推广成更一般的形式仍然可以。本文想就△ABC∽△A′B′C′情况予以证明。题:设△ABC∽△A′B′C′,(两三角形相应顶点顺序相同)P、Q、R分别是     

构造一元二次方程解几何题

在解决一些几何问题时 ,对问题的结构特征进行适当的联想 ,有时可以构造出一元二次方程 ,你将会感到用一元二次方程解几何题的轻松与简单 ,现举几例加以说明 .1　构造一元二次方程 ,运用根的判别式例 1　求证 :对于任一矩形A ,总存在一个矩形B ,使得矩形A和矩形B的周长之比和面积之比都等于常数k(k≥ 1 ) .(全国初中联赛题 )解　设A、B矩形的长宽分别为a、b ,x、y .由题意知 2 (x y) =k· 2 (a b) ,xy=kab相当于原命题等价于命题“二次方程t2 -k(a b)t kab =0的有两个正实根x、y”——— (1 ) .因为k≥ 1 ,a>0、b >0 ,所以x y=k(a b) >0…     

扩散联想 训练思维

用扩散联想分析应用题,主要包括:抓住题中的数量关系联想多个新的数量关系,交叉综合已知的两个或多个条件生发多个新的条件的联想,由问题联想多种求解的条件组合,解题经验的回忆等。下面举例说明。甲乙两车同时分别从A、B两地相向而行,甲车行到全程的3/7的地方与乙相遇。已知甲车每小时行30千     

关于“一对三角形”的若干命题及反例法判断

<正>中考命题中出现一对三角形的问题不多.命题时想要出新意,可以从这个方面考虑.本文归纳了若干相关的精彩命题,从全等、相似或面积等角度分析,构造出否定的反例.供同行品鉴.图1例1在△ABC和△A1B1C1中,已知AB=A1B1,BC=B1C1,∠BAC=∠B1A1C1=70°.试问:△ABC与△A1B1C1全等吗?为什么?分析对于这个问题,若命题正确,必须给出证明;若命题不正确,只需举一个反例即可.由于题设不满足三角形全等判定定理,可通过构造反例来否定结论.     

由一圆锥曲线命题联想得到的新轨迹命题

正本文提出了一个针对圆锥曲线的一个轨迹命题,并在该命题的基础上进一步联想提出了一个新的解析几何命题,并对该命题的轨迹进行了较深入的探讨.之后再进一步联想又提出了两个新的解析几何命题.先看如下关于圆锥曲线的轨迹命题.命题1不共线的三定点O,A,B所在直线OA,A B,O B,以O为圆心任作一圆与OA交于S,过S作OB的平行线,交AB于T,过T作某定直线的平行线交所作圆于M,求点M的轨迹方程.     

推广命题初探

一个命题由条件和结论两部分组成,把一个已知命题的条件由特殊推广到一般,或者同时把条件和结论进行适当推广,如果所得新命题为真命题,我们就把新命题称为推广命题,简称推广题,原来的已知命题则称为原命题。在有必要和可能对一个已知命题进行推广时,我们总是先找出这个命题的条件或结论中的某个关键因素,然后把它作为类概念,推广到与它最邻近的种概念,或者在该关键因素所在的集合内,把元素的个数推广到n个,从这个考虑出发,我们把中学数学中常见的推广题分为如下几类(以下推广命题的证明一般从略)。     

比例中项的基本图形及其应用

若将此题题设中的∠1=∠B与结论中的AC~2=AP·AB交换位置,命题同样正确. 我们把上面的图形权且称为比例中项的基本图形.利用这一图形,我们可以证出许多形如a~2=bc型结论的几何题.关键是推出角相等,找出比例中项的基本图形.下面试以近两年我省部分中     

一个容易忽略的条件

请看下面的问题:有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形是否全等?这个问题可以写成如下的命题:已知ABC与A1B1C1,若AB=A1B1,BC=B1C1,AD⊥BC,A1D1⊥B1C1,AD=A1D1.求证:ABC≌A1B1C1.证明如图1,在RtABD与RtA1B1D1中,AB=A1B1.AD=A1D1.∴RTABD≌RtA1B1D1.∴∠B=∠B1.∵AB=A1B1,BC=B1C1,∴ABC≌A1B1C1.上面的证明看似无懈可击,但事实上是错误的.若问题中的两个三角形一个是锐角三角形另一个是钝角三角形,它们同样可以满足题设条件,而此命题却不再成立,如图2:在ABC与A1B1C1中,AB=A1B1,BC=B1C1,AD⊥BC,A1…     

快速突破“无机化学工艺流程题”的方法和感悟

<正>化学工艺流程题具有较强的实用性和综合性,是近几年高考化学命题的必考题型,不同的载体和新颖的题设情境体现了对考生能力和素质的考查,体现了命题者的创新,有较好的区分度。我认为要想答好化学工艺流程题,可以从以下几个方面入手。一、牢记套路,一切尽在掌握之中试题的载体、情境年年在变,而考查的知识点并没有发生变化,我把这些常用的方法和采取的措施做了一个总结,概括为"四个6"工程。1.制备过程中原料预处理的6种常用方法。     

你是个浪漫的人吗?

你是不是经常给朋友说:"我才没那么浪漫呢!"说不定哦!在黑暗中出现了两个光点,这会是什么呢?请把你看到它后可能联想到的东西选出来。A.联想到汽车大灯或街灯。B.联想到动物目光。C.联想到UFO。